资源简介

四川泸州2026年初中数学学业水平适应性考试试卷
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2． 2025年，我国人工智能核心产业规模超过1.2万亿元，将1200000000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
3．用一张长方形纸片围成一个几何体的侧面，这个几何体可能是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．三棱锥
4．若a>b，则下列结论正确的是（　　）
A．-a>-b B．2a>a+b C．1-a>1-b D．2a+1<2b+1
5．如图，l1//l2，点A在l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交l1，l2于点B，C，连接AC，BC.若∠1=50°，则∠ABC的大小为（　　）
A．80° B．75° C．70° D．65°
6．不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字可能不同外无其他差别.其中，写有“马”的卡片有3张，写有“到"的卡片有1张，写有“成"的卡片有1张，写有“功”的卡片有1张.随机摸出一张写有“马”的卡片的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（　　）
A． B．4 C．5 D．6
9．近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2023年出口量为120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆.设新能源汽车出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　）
A．120.3（1+x）=261.5 B．120.3（1+2x）=261.5
C． D．
10．小区草坪上的自动喷水装置的旋转角为120°，且它的喷灌区域是一个扇形.若它能喷灌的扇形草坪面积为4π平方米，则这个扇形的半径是（　　）
A．米 B．2米 C．米 D．2米
11．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，点M为AP的中点，连接CM.若⊙O的半径为3，则CM长的最大值是（　　）
A． B． C． D．
12．已知点M，N的坐标分别为M（-1，1），N（5，1），连接MN，若线段MN（包括端点）与函数的图象有两个公共点，则c的取值范围为（　　）
A．-3C．c≤-1或1≤c≤4 D．-313．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　.
14．若方程的两个根是a和b，则的值为　 　.
15．某球员在罚球线上投篮的结果如下：
投篮次数 50 100 150 200 250 300 500
投中次数 24- 60 0 102 123 151 252
估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为　 　.（结果保留小数点后一位）.
16．在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所受拉力成正比.一根弹簧原长10cm，挂上2N的钩码后长度为13cm，挂上5N的钩码时，弹簧的长度为　 　cm.
17．在平面直角坐标系xOy中，对于点W和点M（m，n）给出如下定义：将点W先关于直线x=m翻折，再向上（n≥0时）或向下（n<0时）平移|n|个单位，得到的点叫作点W关于点M的“关联点”.若点B（2，1）关于点C的关联点的坐标是（-3，0），则点C的坐标是　 　.
18．计算：
19．先化简，再求值：其中a=-3.
20．学校准备购买一批课外读物.为使课外读物能够满足学生的需求，学校就“我最喜爱的课外读物类型”作了一次抽样调查.如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有多少人
（2）学校计划购买课外读物1200册，根据样本数据，估计学校购买多少册科普类读物比较合理
（3）已知甲、乙、丙、丁四位同学最喜爱文学类课外读物，其中甲、乙为男同学，丙、丁为女同学，学校决定从这四位同学中任选两名同学进行访谈，用列表或画树状图的方式求恰好选中一男一女的概率.
21．“绿水青山就是金山银山”，某林场计划购买A，B两种树苗.已知购买2株A种树苗、3株B种树苗共需130元；购买3株A种树苗、1株B种树苗共需90元.
（1）求A，B两种树苗每株各多少元
（2）据了解，A，B两种树苗的成活率分别为90%，95%，现计划购买两种树苗共100株.若要求这批树苗的总成活率不低于93%，且购买总费用最少，求A种树苗最多购买多少株 此时购买两种树苗的总费用最少为多少
22．某风景区内有一片百年梨园，园内梨树古朴苍劲，花开时节如云似雪，蔚为壮观.某数学学习小组带着测量工具来到该景区开展综合实践活动—测量梨树的高度.如图，梨树AB生长在一斜坡上方的平地上.在斜坡底部点C处测得梨树顶端点A的仰角为30°，在斜坡点D处测得点A的仰角为60°，斜坡CD长度为26米，坡度i=1：2.4（图中各点均在同一平面内）.
（1）求坡上平地DM离水平地面CN的高度；
（2）求梨树的高度AB.（参考数值：结果保留1位小数）
23．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点M在直线AB上，且位于第二象限，BM=AB.过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，交反比例函数的图象于第三象限的点C，连接OC，△OCN的面积为6.
（1）求k值和点C的坐标；
（2）如图，点D是直线AB上一动点，连接BC，OM，当△BCD的面积是△OCM面积的2倍时，求点D的坐标.
24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是边BC上一点，（点D不与点B，点C重合），以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接CE交⊙O于点G，交AD于点H，连接DG，且∠DGE=∠ACB.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知求OH的长.
25．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线（b为常数）.
（1）如图1，当抛物线经过点A（3，-3）时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为（1）中抛物线上一动点，且点P的横坐标为m，过点P作PB//x轴交直线OA于点B.当△PAB是等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）若抛物线上存在两点M（x1，y1）和N（x2，y2），对于都有请直接写出b的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1200000000000=1.2×1012
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
3．【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：如图是一张长方形纸片，用其围成一个几何体的侧面，这个几何体可能是圆柱，故选项A符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据圆柱的侧面展开图是矩形解答即可.
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a>b，
∴-a<-b， 2a>a+b， 1-a<1-b， 2a+1>2b+1，
故四个选项中，只有选项B符合题意
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图可知，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB
∵l1//l2
∴∠CAB=∠1=50°，
在△ABC中，.
故答案为：D.
【分析】根据作图可知AC=AB，从而△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB；由平行线的性质可得∠CAB=∠1，结合三角形内角和定理即可求解.
6．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵不透明盒子中共有6张卡片，其中写有“马”的卡片有3张，
∴随机摸出一张写有“马”的卡州的概率为
故答案为：D.
【分析】根据概率公式：随机事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有可能的总结果数，直按代入数据计算即可.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个相等的实数根
∴Δ=b2-4ac=0
即：22-4(m-1)=0，
解得：m=2
故答案为：B.
【分析】由于关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点
∴EH//BD，FG//BD，EF//AC，HG//AC，BD=2EH，AC=2EF，
∴EH//FG，EF//HG，
∴四边形EFGH是平行四边形
∵AC⊥BD
∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是矩形，
∵菱形ABCD的面积，
∴EF·EH=5，
∴四边形EFGH的面积为5.
故答案为：C.
【分析】连接菱形的对角线，利用菱形对角线垂直的性质，结合三角形中位线定理证明中点四边形EFGH是矩形，再根据菱形的面积公式推出EF·EH的值即可得到答案.
9．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵年平均增长率为x，从2023年到2025年共经过2年，初始出口量为2023年的120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆，
∴可列方程为：120.3(1+x)2=261.5
故答案为：C.
【分析】利用“增长后出口量=初始出口量×(1+年平均增长率)的增长年数次方”列方程，从2023年到2025年间隔2年，即可得出对应方程.
10．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为4π平方米，圆心角为120°，
∴它能喷灌的草坪的面积为：
解得：米
故答案为：D.
【分析】利用扇形面积公式，求出即可.
11．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，取OA的中点O'，连接OM、O'M、CO'
∵M为AP的中点，O为圆心，
∴OM⊥AP
∴∠OMA=90°，
当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O'，
∴CO'交⊙O'于点M，当C，O'，M三点共线时，且C与M在点O'的异侧时，CM的值最大，
由题意得，OA=OB=OC=3，
在Rt△O'OC中，OC=3，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】先确定出点M的运动轨迹为以OA为直径的有⊙O'，当C，O'，M三点共线时，此说CM的值最大，结合已知条件求得相关线段的长度，再利用勾股定理求得O'C的长度，最后即可求得CM的最大值.
12．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；分类讨论
【解析】【解答】解：如图1，MN与函数的图象恰有1个公共点
由题意得，当x=2时，y=1，即-4+8+c=1，
∴c=-3；
如图2所示，MN与函数的图象恰有2个公共点
∵抛物线y=x2-4x-c与y轴交点纵坐标为1，
∴-c=1，
∴c=-1；
∴当-3如图3所示，MN与二次函数的图象恰有3个公共点
∵抛物线y=-x2+4x+c经过点(0，1)，
∴c=1.
如图4所示：MN与二次函数的图象恰有2个公共点
∵抛物线y=x2-4x-c过M(-1，1)，
∴1+4-c=1，
∴c=4.
∴当1∴-3故答案为：A.
【分析】分两种情况讨论：当线段MN与函数的图象恰有1个公共点，令x=2，y=1，求出c的值，当线段MN与函数的图象恰有3个公共点，抛物线y=x2-4x-c与y轴交点纵坐标为1，可求c的值，进而得出取值范围；当线段MN与函数的图象恰有3个公共点，抛物线y=-x2+4x+c经过点(0，1)，求出c的值，当线段MN与函数的图象恰有2个公共点，抛物线y=x2-4x-c经过点M，可求c的值，进而得出取值范围.
13．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式有意义，只需，
∴，
则实数x的取值范围是x≠2.
故答案为：x≠2.
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，则x-2≠0，计算即可.
14．【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由条件可知a2-a-2026=0，即a2=a+2026
∴a2-b-2a=(a+2026)-2a-b=2026-a-b=2026-(a+b).
∵a，b是方程x2-x-2026=0的两个根
根据根与系数的关系可得a+b=1.
∴原式=2026-1=2025.
故答案为：2025.
【分析】根据方程根的定义得到a2与a的等量关系，再结合：根与系数的关系得到两根之和，整体代入化简即可求解.
15．【答案】0.5
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：计算各组投中频率如下：
24+50=0.48
60÷100=0.6
78÷150=0.52
102÷200=0.51
123÷250=0.492
151÷300≈0.503
252÷500=0.504
由计算结果可知，随着投篮次数不断增加，投中的频率逐渐稳定在0.5附近，根据频率估计概率，可得这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为0.5，
故答案为：0.5.
【分析】大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件发生的概率，计算不同投篮次数对应的投中频率，观察频率的稳定值即可得到结果.
16．【答案】17.5
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：设在弹性限度内，弹落伸长的长度为ycm，所受拉力为xN，
设y=kx(k≠0)，
由题意得，当x=2时，y=13-10=3
∴3=2k，解得
∴
当x=5时，
则弹黄的长度为10+7.5=17.5(cm).
故答案为：17.5.
【分析】根据弹簧长的长度与所受拉力成正比例关系，设出正比例函数解析式，利用已知条件求出比例系数，再计算拉力为5N时的伸长量，最后加上弹簧原长得到所求弹簧长度.
17．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：如图，点B(2，1)关于直线翻折后的横坐标为-3，纵坐标不变为1，再向下平移1个单位长度后坐标为(-3，0)，
∴点C的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据新定义，先确定对称轴，再确定平移距离.
18．【答案】解：原式
=2
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）；求二次根式的值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算.
19．【答案】解：原式
当a=-3时，
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的减法法则计算括号内的，再计算分式的除法化成最简分式，然后将a的值代入计算即可.
20．【答案】（1）解：这次被调查的学生共有32÷40%=80人
（2）解：C组的人数有80-16-32-20=12(人)；
∴，
∴估计学校购买180册科普类读物比较合理；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好选中一男一女的有8种情况
∴恰好选中一男一女的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据B组的人数和占比即可求解；
(2)用图书总数乘以科普类读物的占比解答即可；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与恰好选中一男一女的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.
21．【答案】（1）解：设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，
根据题意，可列方程组
解得
∴A种树苗每株20元，B种树苗每株30元.
（2）解：设购买A种树苗m株，则购买B种树苗(100-m)株，
根据题意，可列不等式，
解得m≤40
购买两种树苗的总费用W=20m+30(100-m)=-10m+3000，
∵-10<0
∴W随m的增大而减小，
∵m≤40，
∴当m=40时，W取得最小值，最小值W=-10×40+3000=2600(元)，
∴A种树苗最多购买40株，此时购买两种树苗的总费用最少为2600元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，根据已知条件列出二元一次方程组求解：
(2)设购买A种树苗m株，则购买B种树苗(100-m)株，根据总成活率不低于93%列一元一次不等式，求出m的取值范围，再根据总费用的表达式求出最小值.
22．【答案】（1）解：过点D作DP⊥CN于点P，
∵i=1：2.4，
∴
设DP=x，则CP=2.4x，CD=26米，
由勾股定理得CP2+DP2=CD2，
∴(2.4x)2+x2=262，
解得：x=10，
∴DP=10米，
∴坡上平地DM离水平地面CN的高度为10米.
（2）解：延长AB交CN于点H，则四边形DPHB是矩形，
∴PH=DB，BH=DP=10
在Rt△ABD中，∠ADB=60°
∴
∴
∴，
由(1)知CP=24，
∴
又AH=AB+10，
在Rt△ACH中，∠ACH=30°，
∴
∴
解得：AB≈5.8 (米)
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)过点D作DP⊥CN于点P，根据i=1：2.4得，设DP=x，则CP=2.4x，根据勾股定理列方程求解即可；
(2)延长AB交CN于点H，则四边形DPHB是矩形，得PH=DB，BH=DP，解Rt△ABD得，从而得，AH=AB+10，解Rt△ACH可得结论.
23．【答案】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A(4，0)，B(0，2)，
作BE⊥MN于点E，
∵MN⊥x轴
∴∠BEN=∠ENO=∠BON=90°
∴EN=BO=2，BE=ON，∠MBE=∠BAO
∵BM=AB
∴△MBE≌△BAO
∴EM=BO=2，BE=OA=4=ON，
∵△OCN的面积为6，
∴
解得yC=±3，
∵点C位于第三象限
∴点C的坐标为(-4，-3)，
∵反比例函数的图象经过点C
∴k=-3×(-4)=12
（2）解：∵CM=CN+EN+EM=3+2+2=7，ON=4，
∴，
∵△BCD的面积是△OCM面积的2倍
∴S△BCD=2S△OCM=28，
∴S△MCD=S△BCD+S△BCM=42，
∴
解得xD=8或-8
当x=8时，；
当x=-8时，
∴点D的坐标为(8，-2)或(-8，6).
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)作BE⊥MN于点E，证明△MBE≌△BAO，得到EM=BO=2，BE=OA=4=ON，由三角形面积公式求得yC=±3，得到点C的坐标为(-4，-3)，再利用待定系数法求解即可；(2)根据题意求得S△BCD=28，再利用三角形面积公式列式计算即可求解.
24．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∵∠DGE=∠ACB，∠DGE=∠BAD，
∴∠ACB=∠BAD，
∴∠B+∠BAD=90°
∴∠ADB=90°
∵AD是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线
（2）解：连接ED，如图，
∵AD是⊙O的直径，∠BAC=90°，
∴∠AED=90°=∠BED=∠BAC，
∵∠BAD=∠ACB，∠BAD=90°-∠ADE=∠BDE，
∴∠BAD=∠BDE=∠ACB，
∵BE=2，
∴
∴，，
∵
∴，
∴，
过点E作EK⊥BC于点K，
又∵AD⊥BC，
∴AD//EK，
∴∠BEK=∠BAD，
∴
设，则EK=2x，
由勾股定理得BK2+EK2=BE2，即，
解得(负值已舍去)，
∴，，
∵
∴，
∴
∵DH//EK，
∴△CHD∽△CEK，
∴，即
∴
∴
【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)先证明∠B+∠ACB=90°，即可证出∠ACB=∠BAD，继而证得∠ADB=90°，即可得证；
(2)连接ED，过点E作EK⊥BD于点K，易证∠BAD=∠BDE=∠ACB，利用直角三角形的边角关系，分别求出DE，AD，DK，CD，证△CHD∽△CEK，求得DH，即可求出OH长.
25．【答案】（1）解：把A(3，-3)代入y=-x2+2bx，得：
-32+2b×3=-3.
解得：b=1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x
（2）解：设直线OA的解析式为y=kx，
把A(3，-3)代入解析式得3k=-3，
∴k=-1，
∴直线OA的解析式为y=-x，
设点P(m，-m2+2m)，
∵PB//x轴
∴B(m2-2m，-m2+2m)，
∴PB=|m-(m2-2m)|=|-m2+3m|，
PA2=(m-3)2+(-m2+2m+3)2，
AB2=(m2-2m-3)2+(-m2+2m+3)2
若△PAB是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当PB=PA时，
(-m2+3m)2=(m-3)2+(-m2+2m+3)2
解得m=3(不合题意，舍去)，m=-1，
此时点P的坐标为(-1，-3)；
②当PB=AB时，
(-m2+3m)2=2(m2-2m-3)2，
解得或，
此时，点P的坐标为或；
③当PA=AB时，
(m-3)2+(-m2+2m+3)2=2(m2-2m-3)2
解得m=0(不合题意，舍去)或m=-2或m=3(不合题意，舍去)，
此时，点P的坐标为(-2，-8)；
综上，点P的坐标为(-1，-3)或或或(-2，-8)
（3）解：b<-2或1【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(3)由题可知，抛物线的对称轴为
∵抛物线经过点(0，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(2b，0)，
∵1≤x1≤2，x2=b+2，都有y1·y2<0，
∴当对称轴在y轴左侧，即b<0时，
解得b<-2，
∴此时b<-2；
当对称轴在y轴右侧，即b>0时，
解得1∴1当b=0时，
抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，
∵抛物线开口向下，1≤x1≤2，x2=b+2，则y1<0，y2<0，
∴y1·y2>0
故此情况不符合题意，
综上所述，b的取值范围为b<-2或1故答案为：b<-2或1【分析】(1)把A(3，-3)代入y=-x2+2bx，求出b的值即可得出结论；
(2)求出直线OA的解析式为y=-x，设点P(m，-m2+2m)， 则B(m2-2m，-m2+2m)，分别求得PB，PA，AB，根据等腰三角形的定义分PB=PA，PB=AB，PA=AB列式，求出m的值即可解答；
(3)由题可知，抛物线的对称轴为x=b，分别求当对称轴在y轴左侧；当对称轴在y轴右侧；抛物线的对称轴为y轴时，b的取值范围即可解答.
1 / 1四川泸州2026年初中数学学业水平适应性考试试卷
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.
2． 2025年，我国人工智能核心产业规模超过1.2万亿元，将1200000000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1200000000000=1.2×1012
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
3．用一张长方形纸片围成一个几何体的侧面，这个几何体可能是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．三棱锥
【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：如图是一张长方形纸片，用其围成一个几何体的侧面，这个几何体可能是圆柱，故选项A符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据圆柱的侧面展开图是矩形解答即可.
4．若a>b，则下列结论正确的是（　　）
A．-a>-b B．2a>a+b C．1-a>1-b D．2a+1<2b+1
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a>b，
∴-a<-b， 2a>a+b， 1-a<1-b， 2a+1>2b+1，
故四个选项中，只有选项B符合题意
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可.
5．如图，l1//l2，点A在l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交l1，l2于点B，C，连接AC，BC.若∠1=50°，则∠ABC的大小为（　　）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图可知，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB
∵l1//l2
∴∠CAB=∠1=50°，
在△ABC中，.
故答案为：D.
【分析】根据作图可知AC=AB，从而△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB；由平行线的性质可得∠CAB=∠1，结合三角形内角和定理即可求解.
6．不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字可能不同外无其他差别.其中，写有“马”的卡片有3张，写有“到"的卡片有1张，写有“成"的卡片有1张，写有“功”的卡片有1张.随机摸出一张写有“马”的卡片的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵不透明盒子中共有6张卡片，其中写有“马”的卡片有3张，
∴随机摸出一张写有“马”的卡州的概率为
故答案为：D.
【分析】根据概率公式：随机事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有可能的总结果数，直按代入数据计算即可.
7．关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个相等的实数根
∴Δ=b2-4ac=0
即：22-4(m-1)=0，
解得：m=2
故答案为：B.
【分析】由于关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可.
8．菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（　　）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点
∴EH//BD，FG//BD，EF//AC，HG//AC，BD=2EH，AC=2EF，
∴EH//FG，EF//HG，
∴四边形EFGH是平行四边形
∵AC⊥BD
∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是矩形，
∵菱形ABCD的面积，
∴EF·EH=5，
∴四边形EFGH的面积为5.
故答案为：C.
【分析】连接菱形的对角线，利用菱形对角线垂直的性质，结合三角形中位线定理证明中点四边形EFGH是矩形，再根据菱形的面积公式推出EF·EH的值即可得到答案.
9．近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2023年出口量为120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆.设新能源汽车出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　）
A．120.3（1+x）=261.5 B．120.3（1+2x）=261.5
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵年平均增长率为x，从2023年到2025年共经过2年，初始出口量为2023年的120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆，
∴可列方程为：120.3(1+x)2=261.5
故答案为：C.
【分析】利用“增长后出口量=初始出口量×(1+年平均增长率)的增长年数次方”列方程，从2023年到2025年间隔2年，即可得出对应方程.
10．小区草坪上的自动喷水装置的旋转角为120°，且它的喷灌区域是一个扇形.若它能喷灌的扇形草坪面积为4π平方米，则这个扇形的半径是（　　）
A．米 B．2米 C．米 D．2米
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为4π平方米，圆心角为120°，
∴它能喷灌的草坪的面积为：
解得：米
故答案为：D.
【分析】利用扇形面积公式，求出即可.
11．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，点M为AP的中点，连接CM.若⊙O的半径为3，则CM长的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，取OA的中点O'，连接OM、O'M、CO'
∵M为AP的中点，O为圆心，
∴OM⊥AP
∴∠OMA=90°，
当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O'，
∴CO'交⊙O'于点M，当C，O'，M三点共线时，且C与M在点O'的异侧时，CM的值最大，
由题意得，OA=OB=OC=3，
在Rt△O'OC中，OC=3，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】先确定出点M的运动轨迹为以OA为直径的有⊙O'，当C，O'，M三点共线时，此说CM的值最大，结合已知条件求得相关线段的长度，再利用勾股定理求得O'C的长度，最后即可求得CM的最大值.
12．已知点M，N的坐标分别为M（-1，1），N（5，1），连接MN，若线段MN（包括端点）与函数的图象有两个公共点，则c的取值范围为（　　）
A．-3C．c≤-1或1≤c≤4 D．-3【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；分类讨论
【解析】【解答】解：如图1，MN与函数的图象恰有1个公共点
由题意得，当x=2时，y=1，即-4+8+c=1，
∴c=-3；
如图2所示，MN与函数的图象恰有2个公共点
∵抛物线y=x2-4x-c与y轴交点纵坐标为1，
∴-c=1，
∴c=-1；
∴当-3如图3所示，MN与二次函数的图象恰有3个公共点
∵抛物线y=-x2+4x+c经过点(0，1)，
∴c=1.
如图4所示：MN与二次函数的图象恰有2个公共点
∵抛物线y=x2-4x-c过M(-1，1)，
∴1+4-c=1，
∴c=4.
∴当1∴-3故答案为：A.
【分析】分两种情况讨论：当线段MN与函数的图象恰有1个公共点，令x=2，y=1，求出c的值，当线段MN与函数的图象恰有3个公共点，抛物线y=x2-4x-c与y轴交点纵坐标为1，可求c的值，进而得出取值范围；当线段MN与函数的图象恰有3个公共点，抛物线y=-x2+4x+c经过点(0，1)，求出c的值，当线段MN与函数的图象恰有2个公共点，抛物线y=x2-4x-c经过点M，可求c的值，进而得出取值范围.
13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　.
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式有意义，只需，
∴，
则实数x的取值范围是x≠2.
故答案为：x≠2.
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，则x-2≠0，计算即可.
14．若方程的两个根是a和b，则的值为　 　.
【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由条件可知a2-a-2026=0，即a2=a+2026
∴a2-b-2a=(a+2026)-2a-b=2026-a-b=2026-(a+b).
∵a，b是方程x2-x-2026=0的两个根
根据根与系数的关系可得a+b=1.
∴原式=2026-1=2025.
故答案为：2025.
【分析】根据方程根的定义得到a2与a的等量关系，再结合：根与系数的关系得到两根之和，整体代入化简即可求解.
15．某球员在罚球线上投篮的结果如下：
投篮次数 50 100 150 200 250 300 500
投中次数 24- 60 0 102 123 151 252
估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为　 　.（结果保留小数点后一位）.
【答案】0.5
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：计算各组投中频率如下：
24+50=0.48
60÷100=0.6
78÷150=0.52
102÷200=0.51
123÷250=0.492
151÷300≈0.503
252÷500=0.504
由计算结果可知，随着投篮次数不断增加，投中的频率逐渐稳定在0.5附近，根据频率估计概率，可得这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为0.5，
故答案为：0.5.
【分析】大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件发生的概率，计算不同投篮次数对应的投中频率，观察频率的稳定值即可得到结果.
16．在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所受拉力成正比.一根弹簧原长10cm，挂上2N的钩码后长度为13cm，挂上5N的钩码时，弹簧的长度为　 　cm.
【答案】17.5
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：设在弹性限度内，弹落伸长的长度为ycm，所受拉力为xN，
设y=kx(k≠0)，
由题意得，当x=2时，y=13-10=3
∴3=2k，解得
∴
当x=5时，
则弹黄的长度为10+7.5=17.5(cm).
故答案为：17.5.
【分析】根据弹簧长的长度与所受拉力成正比例关系，设出正比例函数解析式，利用已知条件求出比例系数，再计算拉力为5N时的伸长量，最后加上弹簧原长得到所求弹簧长度.
17．在平面直角坐标系xOy中，对于点W和点M（m，n）给出如下定义：将点W先关于直线x=m翻折，再向上（n≥0时）或向下（n<0时）平移|n|个单位，得到的点叫作点W关于点M的“关联点”.若点B（2，1）关于点C的关联点的坐标是（-3，0），则点C的坐标是　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：如图，点B(2，1)关于直线翻折后的横坐标为-3，纵坐标不变为1，再向下平移1个单位长度后坐标为(-3，0)，
∴点C的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据新定义，先确定对称轴，再确定平移距离.
18．计算：
【答案】解：原式
=2
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）；求二次根式的值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算.
19．先化简，再求值：其中a=-3.
【答案】解：原式
当a=-3时，
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的减法法则计算括号内的，再计算分式的除法化成最简分式，然后将a的值代入计算即可.
20．学校准备购买一批课外读物.为使课外读物能够满足学生的需求，学校就“我最喜爱的课外读物类型”作了一次抽样调查.如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有多少人
（2）学校计划购买课外读物1200册，根据样本数据，估计学校购买多少册科普类读物比较合理
（3）已知甲、乙、丙、丁四位同学最喜爱文学类课外读物，其中甲、乙为男同学，丙、丁为女同学，学校决定从这四位同学中任选两名同学进行访谈，用列表或画树状图的方式求恰好选中一男一女的概率.
【答案】（1）解：这次被调查的学生共有32÷40%=80人
（2）解：C组的人数有80-16-32-20=12(人)；
∴，
∴估计学校购买180册科普类读物比较合理；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好选中一男一女的有8种情况
∴恰好选中一男一女的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据B组的人数和占比即可求解；
(2)用图书总数乘以科普类读物的占比解答即可；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与恰好选中一男一女的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.
21．“绿水青山就是金山银山”，某林场计划购买A，B两种树苗.已知购买2株A种树苗、3株B种树苗共需130元；购买3株A种树苗、1株B种树苗共需90元.
（1）求A，B两种树苗每株各多少元
（2）据了解，A，B两种树苗的成活率分别为90%，95%，现计划购买两种树苗共100株.若要求这批树苗的总成活率不低于93%，且购买总费用最少，求A种树苗最多购买多少株 此时购买两种树苗的总费用最少为多少
【答案】（1）解：设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，
根据题意，可列方程组
解得
∴A种树苗每株20元，B种树苗每株30元.
（2）解：设购买A种树苗m株，则购买B种树苗(100-m)株，
根据题意，可列不等式，
解得m≤40
购买两种树苗的总费用W=20m+30(100-m)=-10m+3000，
∵-10<0
∴W随m的增大而减小，
∵m≤40，
∴当m=40时，W取得最小值，最小值W=-10×40+3000=2600(元)，
∴A种树苗最多购买40株，此时购买两种树苗的总费用最少为2600元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，根据已知条件列出二元一次方程组求解：
(2)设购买A种树苗m株，则购买B种树苗(100-m)株，根据总成活率不低于93%列一元一次不等式，求出m的取值范围，再根据总费用的表达式求出最小值.
22．某风景区内有一片百年梨园，园内梨树古朴苍劲，花开时节如云似雪，蔚为壮观.某数学学习小组带着测量工具来到该景区开展综合实践活动—测量梨树的高度.如图，梨树AB生长在一斜坡上方的平地上.在斜坡底部点C处测得梨树顶端点A的仰角为30°，在斜坡点D处测得点A的仰角为60°，斜坡CD长度为26米，坡度i=1：2.4（图中各点均在同一平面内）.
（1）求坡上平地DM离水平地面CN的高度；
（2）求梨树的高度AB.（参考数值：结果保留1位小数）
【答案】（1）解：过点D作DP⊥CN于点P，
∵i=1：2.4，
∴
设DP=x，则CP=2.4x，CD=26米，
由勾股定理得CP2+DP2=CD2，
∴(2.4x)2+x2=262，
解得：x=10，
∴DP=10米，
∴坡上平地DM离水平地面CN的高度为10米.
（2）解：延长AB交CN于点H，则四边形DPHB是矩形，
∴PH=DB，BH=DP=10
在Rt△ABD中，∠ADB=60°
∴
∴
∴，
由(1)知CP=24，
∴
又AH=AB+10，
在Rt△ACH中，∠ACH=30°，
∴
∴
解得：AB≈5.8 (米)
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)过点D作DP⊥CN于点P，根据i=1：2.4得，设DP=x，则CP=2.4x，根据勾股定理列方程求解即可；
(2)延长AB交CN于点H，则四边形DPHB是矩形，得PH=DB，BH=DP，解Rt△ABD得，从而得，AH=AB+10，解Rt△ACH可得结论.
23．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点M在直线AB上，且位于第二象限，BM=AB.过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，交反比例函数的图象于第三象限的点C，连接OC，△OCN的面积为6.
（1）求k值和点C的坐标；
（2）如图，点D是直线AB上一动点，连接BC，OM，当△BCD的面积是△OCM面积的2倍时，求点D的坐标.
【答案】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A(4，0)，B(0，2)，
作BE⊥MN于点E，
∵MN⊥x轴
∴∠BEN=∠ENO=∠BON=90°
∴EN=BO=2，BE=ON，∠MBE=∠BAO
∵BM=AB
∴△MBE≌△BAO
∴EM=BO=2，BE=OA=4=ON，
∵△OCN的面积为6，
∴
解得yC=±3，
∵点C位于第三象限
∴点C的坐标为(-4，-3)，
∵反比例函数的图象经过点C
∴k=-3×(-4)=12
（2）解：∵CM=CN+EN+EM=3+2+2=7，ON=4，
∴，
∵△BCD的面积是△OCM面积的2倍
∴S△BCD=2S△OCM=28，
∴S△MCD=S△BCD+S△BCM=42，
∴
解得xD=8或-8
当x=8时，；
当x=-8时，
∴点D的坐标为(8，-2)或(-8，6).
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)作BE⊥MN于点E，证明△MBE≌△BAO，得到EM=BO=2，BE=OA=4=ON，由三角形面积公式求得yC=±3，得到点C的坐标为(-4，-3)，再利用待定系数法求解即可；(2)根据题意求得S△BCD=28，再利用三角形面积公式列式计算即可求解.
24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是边BC上一点，（点D不与点B，点C重合），以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接CE交⊙O于点G，交AD于点H，连接DG，且∠DGE=∠ACB.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知求OH的长.
【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∵∠DGE=∠ACB，∠DGE=∠BAD，
∴∠ACB=∠BAD，
∴∠B+∠BAD=90°
∴∠ADB=90°
∵AD是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线
（2）解：连接ED，如图，
∵AD是⊙O的直径，∠BAC=90°，
∴∠AED=90°=∠BED=∠BAC，
∵∠BAD=∠ACB，∠BAD=90°-∠ADE=∠BDE，
∴∠BAD=∠BDE=∠ACB，
∵BE=2，
∴
∴，，
∵
∴，
∴，
过点E作EK⊥BC于点K，
又∵AD⊥BC，
∴AD//EK，
∴∠BEK=∠BAD，
∴
设，则EK=2x，
由勾股定理得BK2+EK2=BE2，即，
解得(负值已舍去)，
∴，，
∵
∴，
∴
∵DH//EK，
∴△CHD∽△CEK，
∴，即
∴
∴
【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)先证明∠B+∠ACB=90°，即可证出∠ACB=∠BAD，继而证得∠ADB=90°，即可得证；
(2)连接ED，过点E作EK⊥BD于点K，易证∠BAD=∠BDE=∠ACB，利用直角三角形的边角关系，分别求出DE，AD，DK，CD，证△CHD∽△CEK，求得DH，即可求出OH长.
25．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线（b为常数）.
（1）如图1，当抛物线经过点A（3，-3）时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为（1）中抛物线上一动点，且点P的横坐标为m，过点P作PB//x轴交直线OA于点B.当△PAB是等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）若抛物线上存在两点M（x1，y1）和N（x2，y2），对于都有请直接写出b的取值范围.
【答案】（1）解：把A(3，-3)代入y=-x2+2bx，得：
-32+2b×3=-3.
解得：b=1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x
（2）解：设直线OA的解析式为y=kx，
把A(3，-3)代入解析式得3k=-3，
∴k=-1，
∴直线OA的解析式为y=-x，
设点P(m，-m2+2m)，
∵PB//x轴
∴B(m2-2m，-m2+2m)，
∴PB=|m-(m2-2m)|=|-m2+3m|，
PA2=(m-3)2+(-m2+2m+3)2，
AB2=(m2-2m-3)2+(-m2+2m+3)2
若△PAB是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当PB=PA时，
(-m2+3m)2=(m-3)2+(-m2+2m+3)2
解得m=3(不合题意，舍去)，m=-1，
此时点P的坐标为(-1，-3)；
②当PB=AB时，
(-m2+3m)2=2(m2-2m-3)2，
解得或，
此时，点P的坐标为或；
③当PA=AB时，
(m-3)2+(-m2+2m+3)2=2(m2-2m-3)2
解得m=0(不合题意，舍去)或m=-2或m=3(不合题意，舍去)，
此时，点P的坐标为(-2，-8)；
综上，点P的坐标为(-1，-3)或或或(-2，-8)
（3）解：b<-2或1【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(3)由题可知，抛物线的对称轴为
∵抛物线经过点(0，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(2b，0)，
∵1≤x1≤2，x2=b+2，都有y1·y2<0，
∴当对称轴在y轴左侧，即b<0时，
解得b<-2，
∴此时b<-2；
当对称轴在y轴右侧，即b>0时，
解得1∴1当b=0时，
抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，
∵抛物线开口向下，1≤x1≤2，x2=b+2，则y1<0，y2<0，
∴y1·y2>0
故此情况不符合题意，
综上所述，b的取值范围为b<-2或1故答案为：b<-2或1【分析】(1)把A(3，-3)代入y=-x2+2bx，求出b的值即可得出结论；
(2)求出直线OA的解析式为y=-x，设点P(m，-m2+2m)， 则B(m2-2m，-m2+2m)，分别求得PB，PA，AB，根据等腰三角形的定义分PB=PA，PB=AB，PA=AB列式，求出m的值即可解答；
(3)由题可知，抛物线的对称轴为x=b，分别求当对称轴在y轴左侧；当对称轴在y轴右侧；抛物线的对称轴为y轴时，b的取值范围即可解答.
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