资源简介

浙江金华市第四中学2025-2026学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在实数中，无理数有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在实数，0.31，，0.1010010001中，是无理数的是，，共2个，
故答案为：B.
【分析】根据无限不循环小数是无理数求解即可.
2．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：-b4·b3=-(b4+3)=-b7.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解.
3．杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．如图是常见的一种秤砣，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面看所得到图形可得答案A
故答案为：A.
【分析】根据主视图是从正面看所得到图形进行逐项判断。
4．已知三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边长可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4-3因此，本题的第三边应满足11，7，8都不符合不等式1故答案为：B.
【分析】已知三角形的两边长分别为4cm和3cm，根据在三角形中任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边；即可求第三边长的范围.
5．某校学生进行了一次心理健康知识竞赛，现随机抽取10名学生的竞赛成绩，分成四组，绘制出如图所示的频数分布直方图，已知这一组中的4个数据为：83，84，86，88，则抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数为（　　）
A．83.5 B．84 C．85 D．86
【答案】A
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】解：∵10名学生的竞赛成绩的中位数为第5位，第6位
根据频数分布直方图可知，排名第5位，第6位在80~90这一组中，
∵80~90这一组中的4个数据为：83，84，86，88，
∴10名学生的竞赛成绩的中位数为
故答案为：A.
【分析】根据数据找出排名第5位，第6位的成绩，再结合中位数定义求解，即可解题.
6．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC= 110°
∴∠ADC=180°-110°=70°，
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的性质，四边形ABCD的对角和为180°，已知∠ABC的度数，可以通过180°减去∠ABC的度数来计算其对角∠ADC的度数.
7．中考新考法：真实问题情境·实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆，且，连杆与底坐的夹角为，则该椭圆机的机身高度（点到地面的距离）为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：作DE⊥BC，AH⊥BC，垂足分别为点E和点H，作AF⊥DE于点F，
∴∠DEH=∠EHA=∠AFE=90°，AF//BC，
∴四边形EFAH是矩形，∠BAF=∠ABC=60°，
∴EF=AH，∠DAF=∠DAB-∠BAF=30°，
∵AD=20cm，AB=160cm，
∴(m)，(cm)，
∴(cm)，
∴cm，
故答案为：D.
【分析】作DE⊥BC，AH⊥BC，垂足分别为点E和点H，作AF⊥DE于点F，证明四边形EFAH是矩形，同时得到∠BAF=∠ABC=60°，求得AH，DF的值，即可得到答案.
8．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面的宽度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-6=9(cm)
第二个高脚杯盛液体的高度为：9-6=3(cm)，
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
∴图1和图2中的两个三角形相似，
∴
解得：AB=2，
故答案为：B.
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB.
9．如图，在矩形中，E为边上一点，将沿折叠，使点A的对应点F恰好落在边上，连接交于点G，若，则的长度为（　　）
A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BG，
在矩形ABCD中，AD//BC，∠DAF=∠AFB
∴AE=EF，AD=DF
∴DE垂直平分AF于点G，
∵∠ABF=90°
∴
∴∠BGF=2∠BAG=2∠ADE=∠FDA
∵∠DAF=∠AFB，
∴△GBF∽△DAF
∴，即AF·BG=BF·AD，
∴AF·BG=6
∴
∴
故答案为：D.
【分析】连接BG，根据矩形的性质可得，再根据相似三角形的判定与性质即可求解.
10．已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时，若，则 B．当时，若，则
C．当时，若，则 D．当时，若，则
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，在函数，为常数）的图象上，
，．
当时，
A、若，
．
．
．
．
，故A错误，故本选项不符合题意；
B、若，
．
．
或．
的符号不确定．
故B错误，故本选项不符合题意；
当时，
C、若，
．
．
或．
的符号不确定．
故C错误，故本选项不符合题意；
D、若，
．
．
．
．
，故D正确，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】把，代入，为常数）可得，，然后根据和分别计算即可解题．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．“满堂守岁欢声聚，一室围炉影共亲”呈现了除夕夜一家人在灯光下围炉煮茶、喜乐融融的温馨场景．其中，亲人身影映于墙上的现象属于　 　．（填“中心投影”或“平行投影”）
【答案】中心投影
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：“满堂守岁欢声聚，一室围炉影共亲”呈现了除夕夜一家人在灯光下围炉煮茶、喜乐融融的温馨场景.其中，亲人身影映于墙上的现象属于中心投影，
故答案为：中心投影.
【分析】中心投影是指由同一点(点光源)发出的光线形成的投影，平行投影是指由平行光线形成的投影.
12．当　 　时，多项式能利用完全平方公式进行因式分解．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：完全平方公式的形式为，
多项式需与该形式匹配，
，
解得，
代入一次项系数关系，得或；
当时，多项式为，符合题意；
当时，多项式为，符合题意；
故答案是：．
【分析】根据完全平方公式的特征“ 常数项为平方数，且一次项系数为平方根的二倍 ”解答即可．
13．分式方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：原方程可变形为
方程两边同乘最简公分母(x-2)，得-1=x+1，
移项，合并同类项得x=-2，
检验：当x=-2时，x-2=-2-2=-4≠0.
因此x=-2是原分式方程的解.
故答案为：x=-2.
【分析】先对原分式方程变形，再去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验，即可得到原分式方程的解.
14．一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵∵一共有12个球，绿球有3个，
∴ 从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为 .
故答案为：
【分析】利用已知条件可知一共12种结果数，绿球的个数为3，利用概率公式可求出 从袋中任意摸出一个球为绿球的概率
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是　 　
【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵ax2-mx-n+c≤0，
∴ax2+c≤mx+n.
∴不等式ax2-mx-n+c≤0的解集可以看作是二次函数y=ax2+c的图象在一次函数y=mx+n的图象下方的部分对应的自变量的取值范围
∵A(2， p)，B(-4， q)
∴结合图象，不等式ax2-mx-n+c≤0的解集为x≤-4或x≥2
故答案为：x≤-4或x≥2.
【分析】依据题意，由图象中直线在抛物线上方的x的取值范围，进而判断得解.
16．如图，正方形与矩形在直线l的同侧，边在直线l上．保持正方形不动，并将矩形以的速度沿方向移动，移动开始前点E与点D重合，当矩形完全穿过正方形即点H与A点重合）时停止移动，设移动时间为．已知，，，连接．
（1）矩形从开始移动到完全穿过正方形，所用时间为　 　；
（2）在矩形移动的过程中，存在最小值时相应的　 　；
【答案】（1）9
（2）4.4
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的性质；正方形的性质；四边形-动点问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：(1)如图，
由运动知，E'H'=EH=4，
∵AD=5
∴E'D=E'H'+AD=4+5=9
∴9÷1=9秒
故答案为：9.
(3)由运动知，AE=|t-5|，QG=DH=|t-4|，
在Rt△AEF中，
在Rt△CQG中，，
∴，
此式子的几何意义是：如图5，x轴上一点J(t，0)到点I(5，3)和点T(4，2)的距离之和，
∵当AF+CG的最小时，最小值是点I(5，3)关于x轴的对称点I(5，-3)和点T(4，2)的距离，
即：AF+CG的最小值为
此时点J是TI'与x轴的交点
∵点I(5，-3)和点T(4，2)，
∴I'T直线的解析式为y=-5x+22
将点J(t，0)，代入直线I'T的解析式中得，-5t+22=0
∴t=4.4秒
故答案为：4.4.
【分析】(1)根据平移求出DE'=E'H'+AD=9，即可得出结论；
(2)分两种情况画出图形，利用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可；
(3)建立AG+CG与t的函数关系式，利用几何意义即可得出结论.
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．计算：
【答案】解：原式=-1+2×1+1-4
=-1+2+1-4
=-2
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】按乘方、特殊角三角函数、零指数幂、负整数指数幂的法则计算各项，最后进行加减运算得出结果即可.
18．先阅读下面的解题过程，然后解题．
已知，试比较与的大小．
解：∵，
∴．第一步
故．第二步
（1）上述解题过程中，从第　 　步开始出现错误，错误的原因是　 　．
（2）请写出正确的解题过程．
【答案】（1）一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变
（2）解：∵a>b，
∴-2026a<-2026b
∴-2026a+1<-2026b+1.
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变
故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变.
【分析】(1)由题意a>b，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断；
(2)正确的运用不等式的性质解题即可得到答案.
19．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，且的面积为．
（1）求和的值；
（2）当时，求函数值的取值范围．
【答案】（1）解： ∵A(5，m)
∴OB=5， AB=m，
∴，
∴m=2
∴点A的坐标为(5，2)，
把A(5，2)代入(k>1)，得k=11
（2）解：∵当x=8时，
又∵反比例函数在x>0时，y随x的增大而减小，
∴当x≥8时，y的取值范围为
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入解析式，可求出k的值；
(2)求出x=8时，y的值，再根据反比例函数的性质求解.
20．端午节是中国的传统节日，民间有吃粽子、划龙舟的习俗，在端午节来临之际，某校组织七年级学生分组开展了一次“包粽子”劳动实践活动，每组10名学生，并对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩均为不低于6分的整数．为了解这次活动的效果，现从中随机抽取甲、乙两个小组的活动成绩进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
乙组10名学生成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 m n 2
已知乙组10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2）甲组活动成绩为7分的学生数是　 　人，乙组活动成绩的众数为　 　分；
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据两组数据，判断本次活动中优秀率高的组是否平均成绩也高，并说明理由．
【答案】（1）2；3
（2）1；9
（3）解：否，理由如下：
由题可得：甲组优秀率a>b，
甲组平均成绩=10%×7+50%×8+20%×9+20%×10=8.5(分)
乙组优秀率a>b，
乙组平均成绩(分)，
∵40%<50%，8.3<8.5
∴本次活动中优秀率高的组平均成绩低
【知识点】统计表；扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：(1)∵乙组10名学生活动成绩的中位数为8.5分
∴从小到大排列时乙组10名学生中中间两位学生的活动成绩分别为8和9，
∴
解得：
故答案为：2，3.
(2)由扇形图可知：甲组活动成绩为7分的学生占比为：1-20%-20%-50%=10%
∴甲组活动成绩为7分的学生数为：10×10%=1，
由(1)可知，乙组活动成绩9分出现次数最多为3次，
故乙组活动成绩的众数为9分，
故答案为：1，9.
【分析】(1)根据统计表信息和乙组中位数即可确定乙组数据从小到大的中间两位数字，从而求得m和n的值；
(2)根据扇形图即可求得甲组活动成绩为7分的学生占比，从而求得甲组活动成绩为7分的学生数，再根据众数的定义结合(1)中结果即可解题；
(3)分别求得甲组与乙组的优秀率与平均成绩并判断，即可求解.
21．综合与实践．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间 0 1 2 3
刹车后行驶的距离y 0 27 48 63
发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
【答案】（1）解：设y=at2+bt+c，将(0，0)，(1，27)，(2，48)代入，
得，解得，
∴y关于t的函数解析式为：
（2）解：当t=4时，y=-3×42+30×4=72，
答：汽车刹车4s后，行驶了72m.
（3）解：不会，理由如下：
∵y=-3t2+30t=-3(t-5)2+75，
∴当t=5时，汽车停下，行驶了75m，
∵75<80
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式；
(2)将t=4代入(1)中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离；
(3)求出(1)中函数的最大值，与80m比较，即可解决问题.
22．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE，
∴，
∴
∵，
∴∠AOC=3×72°=216°，
∴
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接ON，FN，
由作图知：FN=FO，
∵ON=OF，
∴ON=OF=FN，
∴△OFN是正三角形，
∴∠OFN=60°，
∴∠AMN=∠OFN=60°
同理∠ANM=60°，
∴∠MAN=60°， 即∠AMN=∠ANM=∠MAN，
∴△AMN是正三角形；
（3）解：∵△AMN是正三角形，
∴∠AON=2∠AMN=120°
∵，
∴∠AOD=2×72°=144°，
∵，
∴∠NOD=144°-120°=24°，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】】(1)根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则∠AOC(优弧所对圆心角)=3×72°=216°，然后根据圆周角定理即可得出结论；
(2)根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
(3)运用圆周角定理并结合(1)(2)中结论得出∠NOD=144°-120°=24°，即可得出结论.
23．【问题情境】如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止．
（1）【问题提出】如图2．
当时，点A的坐标为；
（2）在运动过程中，取的中点Q，连接、，求和的长并直接写出的最大值；
（3）【问题探究】
如图3，点P为线段上一点，．
①在运动过程中，的大小是否会发生改变，如果不变，请求出这个角的正切值，如果改变，请说明理由；
②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程．
【答案】（1）解：如图，作AE⊥OB于点E，
∵BC=5，OC=3，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°
∴∠ABE+∠OBC=90°
∵∠OBC+∠OCB=90°
∴∠ABE=∠OCB，
∵∠AEB=∠BOC=90°
∴△AEB∽△BOC，
∵AB=2
∴
∴
解得，
∴
∴点A的坐标为
（2）解：
（3）解：①大小不变，理由如下：
∵AP=1，AD=5，
∴PD=4
如图，连接PB，PC，
∵，
∴
∵∠A=∠D=90°
∴△BAP∽△PDC
∴∠ABP=∠CPD
∴
∴∠ABP+∠APB=90°
∴∠CPD+∠APB=90°
∴∠BPC=90°，∠BOC+∠BPC=180°，
∴B，O，C，P四点共圆
∴∠POC=∠PBC，
∴
即在运动过程中，∠POC的大小不变，且tan∠POC=2
②
【知识点】勾股定理；坐标系中的两点距离公式；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)如图，
∵Q为BC的中点，
∴
∴
当O，Q，A三点共线时，OA的值最大，此时
故答案为：.
(3)②记点P运动起点为P1，运动终点为P2，如图所示，
由①知∠POC的大小不变，且tan∠POC=2
∴P在直线y=2x上运动，
由①知，
当PB⊥y轴时，点P坐标为，
由题知P1的坐标为(2，4)，P2的坐标为(1，2)，运动变化过程为点P到y轴的距离从2(即P1所在位置)到最大为(即PB⊥y轴)，再回到距离2为直线到P2所在位置，
∴
∴，
∴点P所走过的路程为
故答案为：.
【分析】(1)作AE⊥OB于点E，利用勾股定理算出OB，利用矩形的性质证明△AEB∽△BOC，根据相似三角形性质得到AE，EB，进而得到OE，即可解题；
(2)利用直角三角形性质即可得到OQ，利用勾股定理即可算出AQ，根据题意可知当O，Q，A三点共线时，OA的值最大，利用线段和差求出OA的最大值即可；
(3)①根据，，可证△BAP∽△PDC，进而有∠ABP=∠CPD，，从而可得点B，O，C，P四点共PBAP圆，都在以BC为直径的圆上，∠POC=∠PBC，进而证得tan∠POC为定值；
②根据①的结论可知，点在直线y=2x上运动，运动变化过程为点P到y轴的距离从2(即P1所在位置)到最大为(即PB⊥y轴)，再回到距离2为直线到P2所在位置，利用两点距离公式可求出路径的长度，进而求解.
24．如图，四边形是菱形，其中，点在对角线上，点在射线上运动，连接，作，交直线于点．
（1）在线段上取一点，使，求证：；
（2）图中，．
①点在线段上，求周长的最大值和最小值；
②记点关于直线的轴对称点为点，若点落在的内部（不含边界），求的取值范围．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AB=BC
∵∠ABC=60°
∴∠BCG=∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵CE=CT
∴△CET是等边三角形，
∴∠ETC=∠TEC=60°
∴∠FTE=180°-∠ETC=180°-60°=120°，∠GCE=∠GCT+∠TCE=60°+60°=120°
∴∠FTE=∠GCE
∵∠FEG=60°，∠TEC=60°，
∴∠FET+∠TEG=∠GEC+∠TEG，
∴∠FET=∠GEC
在△FET和△GEC中，
∴△EFT≌△EGC(ASA)
∴FT=CG
（2）解：①如下图，当点F与点B重合时，
同(1)可得，FE=GF
∵∠FEG=60°
∴△FEG是等边三角形，
同理可得，当点F在BC边上时，△FEG均是等边三角形，
当FE⊥BC时，EF最短，如下图，
∵AB=AC=7，AE=1，
∴CE=AC-AE=7-1=6
又∵∠ACF=60°，
∴∠CEF=30°
∴
∴
∴等边三角形FEG的周长最小值为：，
当点F与点B重合时，如下图，
过点E作EH⊥BC于H，则CH=3，，
∴BH=BC-CH=7-3=4，
在Rt△BHE中，，
∴此时△FEG的周长最大，最大值为：
∴△FEG的周长最小值为，最大值为
②当点N在CD上时，如下图，
作CM⊥AB于M，点F关于AB的对称点N在DC上，
∴OF=ON=CM
∴
在Rt△BOF中， ∠OBF=∠ABC=60°，
∴
∴CF=14
当点N在DE上时，如下图，
连接BN，
∵点N与点F关于AB对称，
∴∠ABN=∠ABC=60°
∵∠BAC=60°，
∴∠ABN=∠BAC
∴BN//AC
∴
∵AD//BC
∴△ADE∽△CME，△APD∽△BPM
∴，
∴
∴MC=42
∴MB=MC-BC=42-7=35，
∴
∴
∴BN=5，
∴BF=BN=5，
∴CF=BC-BF=2
∴014
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可得AB//CD，AB=BC，再利用等边三角形的判定与性质可得∠FET=∠GEC，进而用ASA定理证△EFT≌△EGC即可得证结论；
(2)①先证明点F在线段BC上时，△FEG是等边三角形，确定△EFG周长最大时和最小时点F的位置，从而可求出FE的长，进而求出周长即可；
②分情况讨论：当点N落在DC上的位置，当N落在DE上时，进而分别利用直角三角形的边角关系与相似三角形的判定与性质，从而确定CF的取值范围即可.
1 / 1浙江金华市第四中学2025-2026学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在实数中，无理数有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
3．杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．如图是常见的一种秤砣，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．已知三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边长可能是（　　）
A． B． C． D．
5．某校学生进行了一次心理健康知识竞赛，现随机抽取10名学生的竞赛成绩，分成四组，绘制出如图所示的频数分布直方图，已知这一组中的4个数据为：83，84，86，88，则抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数为（　　）
A．83.5 B．84 C．85 D．86
6．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．中考新考法：真实问题情境·实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆，且，连杆与底坐的夹角为，则该椭圆机的机身高度（点到地面的距离）为（　　）
A． B． C． D．
8．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面的宽度为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，E为边上一点，将沿折叠，使点A的对应点F恰好落在边上，连接交于点G，若，则的长度为（　　）
A．3 B．6 C． D．
10．已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时，若，则 B．当时，若，则
C．当时，若，则 D．当时，若，则
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．“满堂守岁欢声聚，一室围炉影共亲”呈现了除夕夜一家人在灯光下围炉煮茶、喜乐融融的温馨场景．其中，亲人身影映于墙上的现象属于　 　．（填“中心投影”或“平行投影”）
12．当　 　时，多项式能利用完全平方公式进行因式分解．
13．分式方程的解为　 　．
14．一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是　 　
16．如图，正方形与矩形在直线l的同侧，边在直线l上．保持正方形不动，并将矩形以的速度沿方向移动，移动开始前点E与点D重合，当矩形完全穿过正方形即点H与A点重合）时停止移动，设移动时间为．已知，，，连接．
（1）矩形从开始移动到完全穿过正方形，所用时间为　 　；
（2）在矩形移动的过程中，存在最小值时相应的　 　；
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．计算：
18．先阅读下面的解题过程，然后解题．
已知，试比较与的大小．
解：∵，
∴．第一步
故．第二步
（1）上述解题过程中，从第　 　步开始出现错误，错误的原因是　 　．
（2）请写出正确的解题过程．
19．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，且的面积为．
（1）求和的值；
（2）当时，求函数值的取值范围．
20．端午节是中国的传统节日，民间有吃粽子、划龙舟的习俗，在端午节来临之际，某校组织七年级学生分组开展了一次“包粽子”劳动实践活动，每组10名学生，并对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩均为不低于6分的整数．为了解这次活动的效果，现从中随机抽取甲、乙两个小组的活动成绩进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
乙组10名学生成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 m n 2
已知乙组10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2）甲组活动成绩为7分的学生数是　 　人，乙组活动成绩的众数为　 　分；
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据两组数据，判断本次活动中优秀率高的组是否平均成绩也高，并说明理由．
21．综合与实践．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间 0 1 2 3
刹车后行驶的距离y 0 27 48 63
发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
22．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
23．【问题情境】如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止．
（1）【问题提出】如图2．
当时，点A的坐标为；
（2）在运动过程中，取的中点Q，连接、，求和的长并直接写出的最大值；
（3）【问题探究】
如图3，点P为线段上一点，．
①在运动过程中，的大小是否会发生改变，如果不变，请求出这个角的正切值，如果改变，请说明理由；
②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程．
24．如图，四边形是菱形，其中，点在对角线上，点在射线上运动，连接，作，交直线于点．
（1）在线段上取一点，使，求证：；
（2）图中，．
①点在线段上，求周长的最大值和最小值；
②记点关于直线的轴对称点为点，若点落在的内部（不含边界），求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在实数，0.31，，0.1010010001中，是无理数的是，，共2个，
故答案为：B.
【分析】根据无限不循环小数是无理数求解即可.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：-b4·b3=-(b4+3)=-b7.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面看所得到图形可得答案A
故答案为：A.
【分析】根据主视图是从正面看所得到图形进行逐项判断。
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4-3因此，本题的第三边应满足11，7，8都不符合不等式1故答案为：B.
【分析】已知三角形的两边长分别为4cm和3cm，根据在三角形中任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边；即可求第三边长的范围.
5．【答案】A
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】解：∵10名学生的竞赛成绩的中位数为第5位，第6位
根据频数分布直方图可知，排名第5位，第6位在80~90这一组中，
∵80~90这一组中的4个数据为：83，84，86，88，
∴10名学生的竞赛成绩的中位数为
故答案为：A.
【分析】根据数据找出排名第5位，第6位的成绩，再结合中位数定义求解，即可解题.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC= 110°
∴∠ADC=180°-110°=70°，
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的性质，四边形ABCD的对角和为180°，已知∠ABC的度数，可以通过180°减去∠ABC的度数来计算其对角∠ADC的度数.
7．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：作DE⊥BC，AH⊥BC，垂足分别为点E和点H，作AF⊥DE于点F，
∴∠DEH=∠EHA=∠AFE=90°，AF//BC，
∴四边形EFAH是矩形，∠BAF=∠ABC=60°，
∴EF=AH，∠DAF=∠DAB-∠BAF=30°，
∵AD=20cm，AB=160cm，
∴(m)，(cm)，
∴(cm)，
∴cm，
故答案为：D.
【分析】作DE⊥BC，AH⊥BC，垂足分别为点E和点H，作AF⊥DE于点F，证明四边形EFAH是矩形，同时得到∠BAF=∠ABC=60°，求得AH，DF的值，即可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-6=9(cm)
第二个高脚杯盛液体的高度为：9-6=3(cm)，
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
∴图1和图2中的两个三角形相似，
∴
解得：AB=2，
故答案为：B.
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB.
9．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BG，
在矩形ABCD中，AD//BC，∠DAF=∠AFB
∴AE=EF，AD=DF
∴DE垂直平分AF于点G，
∵∠ABF=90°
∴
∴∠BGF=2∠BAG=2∠ADE=∠FDA
∵∠DAF=∠AFB，
∴△GBF∽△DAF
∴，即AF·BG=BF·AD，
∴AF·BG=6
∴
∴
故答案为：D.
【分析】连接BG，根据矩形的性质可得，再根据相似三角形的判定与性质即可求解.
10．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，在函数，为常数）的图象上，
，．
当时，
A、若，
．
．
．
．
，故A错误，故本选项不符合题意；
B、若，
．
．
或．
的符号不确定．
故B错误，故本选项不符合题意；
当时，
C、若，
．
．
或．
的符号不确定．
故C错误，故本选项不符合题意；
D、若，
．
．
．
．
，故D正确，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】把，代入，为常数）可得，，然后根据和分别计算即可解题．
11．【答案】中心投影
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：“满堂守岁欢声聚，一室围炉影共亲”呈现了除夕夜一家人在灯光下围炉煮茶、喜乐融融的温馨场景.其中，亲人身影映于墙上的现象属于中心投影，
故答案为：中心投影.
【分析】中心投影是指由同一点(点光源)发出的光线形成的投影，平行投影是指由平行光线形成的投影.
12．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：完全平方公式的形式为，
多项式需与该形式匹配，
，
解得，
代入一次项系数关系，得或；
当时，多项式为，符合题意；
当时，多项式为，符合题意；
故答案是：．
【分析】根据完全平方公式的特征“ 常数项为平方数，且一次项系数为平方根的二倍 ”解答即可．
13．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：原方程可变形为
方程两边同乘最简公分母(x-2)，得-1=x+1，
移项，合并同类项得x=-2，
检验：当x=-2时，x-2=-2-2=-4≠0.
因此x=-2是原分式方程的解.
故答案为：x=-2.
【分析】先对原分式方程变形，再去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验，即可得到原分式方程的解.
14．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵∵一共有12个球，绿球有3个，
∴ 从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为 .
故答案为：
【分析】利用已知条件可知一共12种结果数，绿球的个数为3，利用概率公式可求出 从袋中任意摸出一个球为绿球的概率
15．【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵ax2-mx-n+c≤0，
∴ax2+c≤mx+n.
∴不等式ax2-mx-n+c≤0的解集可以看作是二次函数y=ax2+c的图象在一次函数y=mx+n的图象下方的部分对应的自变量的取值范围
∵A(2， p)，B(-4， q)
∴结合图象，不等式ax2-mx-n+c≤0的解集为x≤-4或x≥2
故答案为：x≤-4或x≥2.
【分析】依据题意，由图象中直线在抛物线上方的x的取值范围，进而判断得解.
16．【答案】（1）9
（2）4.4
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的性质；正方形的性质；四边形-动点问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：(1)如图，
由运动知，E'H'=EH=4，
∵AD=5
∴E'D=E'H'+AD=4+5=9
∴9÷1=9秒
故答案为：9.
(3)由运动知，AE=|t-5|，QG=DH=|t-4|，
在Rt△AEF中，
在Rt△CQG中，，
∴，
此式子的几何意义是：如图5，x轴上一点J(t，0)到点I(5，3)和点T(4，2)的距离之和，
∵当AF+CG的最小时，最小值是点I(5，3)关于x轴的对称点I(5，-3)和点T(4，2)的距离，
即：AF+CG的最小值为
此时点J是TI'与x轴的交点
∵点I(5，-3)和点T(4，2)，
∴I'T直线的解析式为y=-5x+22
将点J(t，0)，代入直线I'T的解析式中得，-5t+22=0
∴t=4.4秒
故答案为：4.4.
【分析】(1)根据平移求出DE'=E'H'+AD=9，即可得出结论；
(2)分两种情况画出图形，利用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可；
(3)建立AG+CG与t的函数关系式，利用几何意义即可得出结论.
17．【答案】解：原式=-1+2×1+1-4
=-1+2+1-4
=-2
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】按乘方、特殊角三角函数、零指数幂、负整数指数幂的法则计算各项，最后进行加减运算得出结果即可.
18．【答案】（1）一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变
（2）解：∵a>b，
∴-2026a<-2026b
∴-2026a+1<-2026b+1.
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变
故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变.
【分析】(1)由题意a>b，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断；
(2)正确的运用不等式的性质解题即可得到答案.
19．【答案】（1）解： ∵A(5，m)
∴OB=5， AB=m，
∴，
∴m=2
∴点A的坐标为(5，2)，
把A(5，2)代入(k>1)，得k=11
（2）解：∵当x=8时，
又∵反比例函数在x>0时，y随x的增大而减小，
∴当x≥8时，y的取值范围为
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入解析式，可求出k的值；
(2)求出x=8时，y的值，再根据反比例函数的性质求解.
20．【答案】（1）2；3
（2）1；9
（3）解：否，理由如下：
由题可得：甲组优秀率a>b，
甲组平均成绩=10%×7+50%×8+20%×9+20%×10=8.5(分)
乙组优秀率a>b，
乙组平均成绩(分)，
∵40%<50%，8.3<8.5
∴本次活动中优秀率高的组平均成绩低
【知识点】统计表；扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：(1)∵乙组10名学生活动成绩的中位数为8.5分
∴从小到大排列时乙组10名学生中中间两位学生的活动成绩分别为8和9，
∴
解得：
故答案为：2，3.
(2)由扇形图可知：甲组活动成绩为7分的学生占比为：1-20%-20%-50%=10%
∴甲组活动成绩为7分的学生数为：10×10%=1，
由(1)可知，乙组活动成绩9分出现次数最多为3次，
故乙组活动成绩的众数为9分，
故答案为：1，9.
【分析】(1)根据统计表信息和乙组中位数即可确定乙组数据从小到大的中间两位数字，从而求得m和n的值；
(2)根据扇形图即可求得甲组活动成绩为7分的学生占比，从而求得甲组活动成绩为7分的学生数，再根据众数的定义结合(1)中结果即可解题；
(3)分别求得甲组与乙组的优秀率与平均成绩并判断，即可求解.
21．【答案】（1）解：设y=at2+bt+c，将(0，0)，(1，27)，(2，48)代入，
得，解得，
∴y关于t的函数解析式为：
（2）解：当t=4时，y=-3×42+30×4=72，
答：汽车刹车4s后，行驶了72m.
（3）解：不会，理由如下：
∵y=-3t2+30t=-3(t-5)2+75，
∴当t=5时，汽车停下，行驶了75m，
∵75<80
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式；
(2)将t=4代入(1)中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离；
(3)求出(1)中函数的最大值，与80m比较，即可解决问题.
22．【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE，
∴，
∴
∵，
∴∠AOC=3×72°=216°，
∴
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接ON，FN，
由作图知：FN=FO，
∵ON=OF，
∴ON=OF=FN，
∴△OFN是正三角形，
∴∠OFN=60°，
∴∠AMN=∠OFN=60°
同理∠ANM=60°，
∴∠MAN=60°， 即∠AMN=∠ANM=∠MAN，
∴△AMN是正三角形；
（3）解：∵△AMN是正三角形，
∴∠AON=2∠AMN=120°
∵，
∴∠AOD=2×72°=144°，
∵，
∴∠NOD=144°-120°=24°，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】】(1)根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则∠AOC(优弧所对圆心角)=3×72°=216°，然后根据圆周角定理即可得出结论；
(2)根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
(3)运用圆周角定理并结合(1)(2)中结论得出∠NOD=144°-120°=24°，即可得出结论.
23．【答案】（1）解：如图，作AE⊥OB于点E，
∵BC=5，OC=3，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°
∴∠ABE+∠OBC=90°
∵∠OBC+∠OCB=90°
∴∠ABE=∠OCB，
∵∠AEB=∠BOC=90°
∴△AEB∽△BOC，
∵AB=2
∴
∴
解得，
∴
∴点A的坐标为
（2）解：
（3）解：①大小不变，理由如下：
∵AP=1，AD=5，
∴PD=4
如图，连接PB，PC，
∵，
∴
∵∠A=∠D=90°
∴△BAP∽△PDC
∴∠ABP=∠CPD
∴
∴∠ABP+∠APB=90°
∴∠CPD+∠APB=90°
∴∠BPC=90°，∠BOC+∠BPC=180°，
∴B，O，C，P四点共圆
∴∠POC=∠PBC，
∴
即在运动过程中，∠POC的大小不变，且tan∠POC=2
②
【知识点】勾股定理；坐标系中的两点距离公式；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)如图，
∵Q为BC的中点，
∴
∴
当O，Q，A三点共线时，OA的值最大，此时
故答案为：.
(3)②记点P运动起点为P1，运动终点为P2，如图所示，
由①知∠POC的大小不变，且tan∠POC=2
∴P在直线y=2x上运动，
由①知，
当PB⊥y轴时，点P坐标为，
由题知P1的坐标为(2，4)，P2的坐标为(1，2)，运动变化过程为点P到y轴的距离从2(即P1所在位置)到最大为(即PB⊥y轴)，再回到距离2为直线到P2所在位置，
∴
∴，
∴点P所走过的路程为
故答案为：.
【分析】(1)作AE⊥OB于点E，利用勾股定理算出OB，利用矩形的性质证明△AEB∽△BOC，根据相似三角形性质得到AE，EB，进而得到OE，即可解题；
(2)利用直角三角形性质即可得到OQ，利用勾股定理即可算出AQ，根据题意可知当O，Q，A三点共线时，OA的值最大，利用线段和差求出OA的最大值即可；
(3)①根据，，可证△BAP∽△PDC，进而有∠ABP=∠CPD，，从而可得点B，O，C，P四点共PBAP圆，都在以BC为直径的圆上，∠POC=∠PBC，进而证得tan∠POC为定值；
②根据①的结论可知，点在直线y=2x上运动，运动变化过程为点P到y轴的距离从2(即P1所在位置)到最大为(即PB⊥y轴)，再回到距离2为直线到P2所在位置，利用两点距离公式可求出路径的长度，进而求解.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AB=BC
∵∠ABC=60°
∴∠BCG=∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵CE=CT
∴△CET是等边三角形，
∴∠ETC=∠TEC=60°
∴∠FTE=180°-∠ETC=180°-60°=120°，∠GCE=∠GCT+∠TCE=60°+60°=120°
∴∠FTE=∠GCE
∵∠FEG=60°，∠TEC=60°，
∴∠FET+∠TEG=∠GEC+∠TEG，
∴∠FET=∠GEC
在△FET和△GEC中，
∴△EFT≌△EGC(ASA)
∴FT=CG
（2）解：①如下图，当点F与点B重合时，
同(1)可得，FE=GF
∵∠FEG=60°
∴△FEG是等边三角形，
同理可得，当点F在BC边上时，△FEG均是等边三角形，
当FE⊥BC时，EF最短，如下图，
∵AB=AC=7，AE=1，
∴CE=AC-AE=7-1=6
又∵∠ACF=60°，
∴∠CEF=30°
∴
∴
∴等边三角形FEG的周长最小值为：，
当点F与点B重合时，如下图，
过点E作EH⊥BC于H，则CH=3，，
∴BH=BC-CH=7-3=4，
在Rt△BHE中，，
∴此时△FEG的周长最大，最大值为：
∴△FEG的周长最小值为，最大值为
②当点N在CD上时，如下图，
作CM⊥AB于M，点F关于AB的对称点N在DC上，
∴OF=ON=CM
∴
在Rt△BOF中， ∠OBF=∠ABC=60°，
∴
∴CF=14
当点N在DE上时，如下图，
连接BN，
∵点N与点F关于AB对称，
∴∠ABN=∠ABC=60°
∵∠BAC=60°，
∴∠ABN=∠BAC
∴BN//AC
∴
∵AD//BC
∴△ADE∽△CME，△APD∽△BPM
∴，
∴
∴MC=42
∴MB=MC-BC=42-7=35，
∴
∴
∴BN=5，
∴BF=BN=5，
∴CF=BC-BF=2
∴014
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可得AB//CD，AB=BC，再利用等边三角形的判定与性质可得∠FET=∠GEC，进而用ASA定理证△EFT≌△EGC即可得证结论；
(2)①先证明点F在线段BC上时，△FEG是等边三角形，确定△EFG周长最大时和最小时点F的位置，从而可求出FE的长，进而求出周长即可；
②分情况讨论：当点N落在DC上的位置，当N落在DE上时，进而分别利用直角三角形的边角关系与相似三角形的判定与性质，从而确定CF的取值范围即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑