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贵州黔西南州顶兴高级中学2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷
1．设集合，，则（　　）．
A． B． C． D．
2．已知复数的共轭复数为，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的焦点为F，准线为l，若点与点F关于直线l对称，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．在梯形中，，点在对角线上，且，则（　　）
A． B．
C． D．
5．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（　　）
A．1m B．2m C．m D．m
6．已知向量，且，则（　　）
A． B． C． D．
7．在中，的平分线交于，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
9．以下说法正确的有（　　）
A．数据，，3，3，4，7，9的第八十百分位数是7
B．若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越差
C．已知随机变量，若，则实数
D．已知数据的平均数为10，方差为4，现去掉数据10，则剩余数据的方差仍为4
10．函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（　　）
A．最小正周期为
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象
11．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（　　）
A．椭圆的焦距为 B．的最小值为
C．（为原点）是定值 D．的最大值为
12．函数的单调递减区间为　 　.
13．已知在数列中，，则数列的通项公式　 　．
14．如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有　 　种．
15．在中，内角所对的边长分别是，且．
（1）求角；
（2）若，求的面积的最大值．
16．如图，在直三棱柱中，.点满足.
（1）过点作垂直于点，证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．记为数列的前项和，已知，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）求数列的前项和.
18．已知函数.
（1）若是的导函数，且0为的极值点，求；
（2）当时，过原点的直线与的图象相切，证明：当时，在图象的上方.
19．设双曲线的左、右焦点分别为，，且离心率为．分别过，作两条平行直线，．设与C交于P，Q两点，与y轴交于点M．
（1）求C的方程；
（2）若点M在y轴的负半轴上，求斜率的取值范围；
（3）若，求直线与的一般式方程．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，，则．
故答案为：A.
【分析】解方程求得集合A，解不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：易知复数的共轭复数为，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】先求复数的共轭复数，再根据复数的乘方运算求，最后根据复数的加法运算求即可.
3．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线，
因为点和关于直线对称，所以，解得．
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，根据对称性列式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得.
故答案为：A.
【分析】以为基向量，根据平面向量线性运算表示即可.
5．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：设这个圆锥底面半径为，母线为，
则圆锥底面面积为，底面周长为，侧面展开图的半圆弧长为，
由弧度制的定义知：，即，则侧面积为，
则圆锥的表面积为，解得，故圆锥的底面直径为2m．
故答案为：B.
【分析】设这个圆锥底面半径为，母线为，根据圆锥的表面积求底面半径，再求圆锥的底面直径即可.
6．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
由，可得，整理得，
则.
故答案为：A.
【分析】根据向量垂直的坐标表示求得可，再根据余弦二倍角公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，
由正弦定理，可得，
因为为三角形内角，所以，所以，
再在中，由正弦定理，解得.
故答案为：D.
【分析】直接利用正弦定理求解即可.
8．【答案】C
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质；指数式与对数式的互化；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：有三个不同的根，
则与的图象有三个不同的交点，
作出与的图象，如图所示：
当时，函数开口向下，对称轴为，
则关于对称，即，即，
由图象可得，
令，解得，令，解得，所以，
则，
即的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】与的图象有三个不同的交点，作出函数的图象，当时，根据二次函数的对称性，可得，由图象可得k的范围，令，解得，令，解得，求得的范围，即可得的取值范围.
9．【答案】A,C
【知识点】极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、因为，所以第八十百分位数是7，故A正确；
B、若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好，故B错误；
C、 随机变量 ，则，，
因为，所以，
则，解得，故C正确；
D、由题意可得，则，
，
则，
则去掉数据10，则剩余数据的平均数为，
则剩余数据的方差为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据百分数的定义求解即可判断A；根据决定系数越大的模型，拟合效果越好，即可判断B；根据正态分布求解即可判断C；根据平均数，方差的公式求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由图象可知，函数的最小正周期，故A正确；
易知，则，
因为函数过点，所以，
即，所以，所以，
又因为，所以，所以，
当时，可得，
根据正弦函数的图象性质，可知当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，故B错误；
令，解得，
所以函数的对称中心为，
当时，对称中心为，故C正确；
将函数的图象向左平移个单位长度可得到，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据函数的图象求函数的最小正周期即可判断A；根据周期求，再根据函数过点求确定函数的解析式，再根据正弦函数的图象与性质即可判断BC；根据三角函数图象的平移变换求解即可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】基本不等式；平面内两点间的距离公式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、由题意可得，解得，
，则焦距，故A错误；
B、，
，
当且仅当时等号成立，故B正确；
C、设，易知，为上的动点，
则，即，故C正确；
D、
，即，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】根据椭圆的离心率求出，再由求出，得椭圆的焦距即可判断A；根据椭圆的定义，结合基本不等式求额吉即可判断B；设，根据中点坐标公式可得，由点在椭圆上代入化简即可判断C；利用两点间距离公式求，利用配方法求最值即可判断D．
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
令，解得，
故函数的单调递减区间为.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，令，求解单调递减区间即可.
13．【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，，可得，，即，
由，可得，则数列是以1为首项，为公差的等差数列，
则，即.
故答案为：.
【分析】递推式两边取倒得到，可得舒蕾是以1为首项，为公差的等差数列，根据等差数列求通项公式即可.
14．【答案】216
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先对上底面的顶点进行涂色，有种涂法；
再将剩下的1种颜色涂在下底面的顶点处，有种涂法；
以涂在点处为例，可对点的涂法进行分类：
①若点与点同色，则点只能与点同色，此时有1种；
②若点与点同色，则点可在点与所涂的颜色中选1种，此时有2种，
则，即不同的涂法有216种.
故答案为：.
【分析】利用分步计数原理，结合排列组合数计数求解即可.
15．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，
因为，所以，
又因为，所以，即，
因为，所以，即，解得；
（2）解：，，由余弦定理可得：，
由基本不等式可得：，则，当且仅当取等号，
则的面积，
故的面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理、正弦两角和公式化简求角即可；
（2）由|（1）的结论，利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，再根据三角形面积公式求解即可.
（1）由
，
由于，所以，
又因为，所以，即，
因为，所以，即，
故；
（2）因为，，所以由余弦定理可得：
，
由基本不等式可得：，所以，
当且仅当取等号，
则的面积，
故的面积的最大值为.
16．【答案】（1）证明：如图所示：
在直三棱柱中，因为平面，且平面，所以，
又因为，，且平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：在直三棱柱中，因为平面，所以以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，
所以，
设平面的一个法向量为：，
由，则，
令，则，可得，
设平面的一个法向量为：，，
则，令，则，可得，
设平面与平面所成角为，则
，
故平面与平面夹角的余弦值为：.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在直三棱柱中，根据线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理证明即可；
（2）在直三棱柱中，由平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相应的点，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求解平面与平面所成角的余弦值即可.
（1）由题意如图所示：
在直三棱柱中，因为平面，且平面，
所以，又，，
且平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）在直三棱柱中，因为平面，
所以以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，
所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
所以，
设平面的一个法向量为：，
由，
则，
令，则，所以，
设平面的一个法向量为：，
由，
则，
令，则，所以，
设平面与平面所成角为，
所以
，
所以平面与平面夹角的余弦值为：.
17．【答案】（1）解： 数列的前项和 ，
当时，，
当时，，
经验证，时，满足上式，
则；
（2）证明：因为，所以数列为等比数列；
（3）解：由（2）可知数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
设数列的前项和为，
则，
，
两式相减得
，
则.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列中之间的关系求解即可；
（2）根据等比数列的定义证明即可；
（3）由（2）可知数列是等比数列，根据等比数列的定义可得，则，再利用错位相减法求和即可.
（1）当时，，
也满足上式，
所以；
（2）因为，
所以数列为等比数列；
（3）由（2）可知数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
设数列的前项和为，
所以，
，
两式相减得
.
18．【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，则，
由0为的极值点，可得，即；
检验：当时，，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故0为的极值点，故符合题意；
（2）解：当时，，设与的切点为，
由，可得，即，解得，
故直线，则只需证：当时，，
令，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
即恒成立，即当时，在图象的上方.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，令，再求导，由题意可得，求得a的值，借再借助导数研究单调性检验0是否为极值点即可；
（2）当时，，设切点，根据导数的几何意义可得，则只需证：当时，，构造函数，利用导数研究其单调性，求其最小值，即可得解.
（1），令，则，
由0为的极值点，则，即；
检验：当时，，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故0为的极值点，故符合题意；
（2）当时，，设与的切点为，
由，则有，即，
解得，故直线，则只需证：当时，，
令，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
即恒成立，即当时，在图象的上方.
19．【答案】（1）解：设c为双曲线C的半焦距，由题意可得，
因为双曲线的离心率为，所以，解得，则，
故双曲线；
（2）解：易得斜率不为0，
又因为，平行，且点M在y轴的负半轴上，故斜率大于0，
①当P，Q分别在左、右两支上时，斜率应小于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率，且为，此时斜率的取值范围为；
②当P，Q在双曲线左支上时，斜率应大于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率，此时斜率的取值范围为，
综上，斜率的取值范围为；
（3）解：易得，斜率存在，设、的方程分别为、，
可知，设，，
联立，得，
其中，要使双曲线与直线有两个交点，必有，
因此，则，
设中点为A，则，即，
若，则必有，
而，，
故，解得，
故平行直线的斜率为，
则与的一般式方程分别为和，
或和．
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由双曲线的焦点坐标，可得c值，再根据离心率，求a值，最后根据a，b，c的关系，求b值，即可得双曲线方程；
（2）易得斜率不为0，分析可得斜率大于0，分P，Q分别在左、右两支上和当P，Q在双曲线左支上讨论，根据渐近线的意义及其斜率，分析求解即可；
（3）易得，斜率存在，设、的方程分别为、，将与双曲线联立，利用韦达定理，可得表达式，进而可得表达式，设中点为A，可得A点坐标，由题意可得，分别求出直线AM和直线PQ的斜率，根据斜率的关系，化简计算即可.
（1）设c为双曲线C的半焦距，则．
又离心率为，故，解得．
则．即．
（2）易得斜率不为0，
又因为，平行，且点M在y轴的负半轴上，故斜率大于0，
①当P，Q分别在左、右两支上时，斜率应小于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率，
且为，此时斜率的取值范围为．
②当P，Q在双曲线左支上时，斜率应大于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率，
此时斜率的取值范围为．
综上，斜率的取值范围为．
（3）易得，斜率存在，设、的方程分别为、，
可知，设，，，
联立，得，
其中，要使双曲线与直线有两个交点，必有．
因此，则，
方法一：要使，只需成立，
即，
将、代入得：，
整理得，
即，所以，解得，
则与的一般式方程分别为和，
或和．
方法二：设中点为A，则，即，
若，则必有，
而，，
故，解得．
故平行直线的斜率为，
则与的一般式方程分别为和，
或和．
1 / 1贵州黔西南州顶兴高级中学2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷
1．设集合，，则（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，，则．
故答案为：A.
【分析】解方程求得集合A，解不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．已知复数的共轭复数为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：易知复数的共轭复数为，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】先求复数的共轭复数，再根据复数的乘方运算求，最后根据复数的加法运算求即可.
3．已知抛物线的焦点为F，准线为l，若点与点F关于直线l对称，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线，
因为点和关于直线对称，所以，解得．
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，根据对称性列式求解即可.
4．在梯形中，，点在对角线上，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得.
故答案为：A.
【分析】以为基向量，根据平面向量线性运算表示即可.
5．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（　　）
A．1m B．2m C．m D．m
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：设这个圆锥底面半径为，母线为，
则圆锥底面面积为，底面周长为，侧面展开图的半圆弧长为，
由弧度制的定义知：，即，则侧面积为，
则圆锥的表面积为，解得，故圆锥的底面直径为2m．
故答案为：B.
【分析】设这个圆锥底面半径为，母线为，根据圆锥的表面积求底面半径，再求圆锥的底面直径即可.
6．已知向量，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
由，可得，整理得，
则.
故答案为：A.
【分析】根据向量垂直的坐标表示求得可，再根据余弦二倍角公式求解即可.
7．在中，的平分线交于，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，
由正弦定理，可得，
因为为三角形内角，所以，所以，
再在中，由正弦定理，解得.
故答案为：D.
【分析】直接利用正弦定理求解即可.
8．已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质；指数式与对数式的互化；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：有三个不同的根，
则与的图象有三个不同的交点，
作出与的图象，如图所示：
当时，函数开口向下，对称轴为，
则关于对称，即，即，
由图象可得，
令，解得，令，解得，所以，
则，
即的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】与的图象有三个不同的交点，作出函数的图象，当时，根据二次函数的对称性，可得，由图象可得k的范围，令，解得，令，解得，求得的范围，即可得的取值范围.
9．以下说法正确的有（　　）
A．数据，，3，3，4，7，9的第八十百分位数是7
B．若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越差
C．已知随机变量，若，则实数
D．已知数据的平均数为10，方差为4，现去掉数据10，则剩余数据的方差仍为4
【答案】A,C
【知识点】极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、因为，所以第八十百分位数是7，故A正确；
B、若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好，故B错误；
C、 随机变量 ，则，，
因为，所以，
则，解得，故C正确；
D、由题意可得，则，
，
则，
则去掉数据10，则剩余数据的平均数为，
则剩余数据的方差为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据百分数的定义求解即可判断A；根据决定系数越大的模型，拟合效果越好，即可判断B；根据正态分布求解即可判断C；根据平均数，方差的公式求解即可判断D.
10．函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（　　）
A．最小正周期为
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由图象可知，函数的最小正周期，故A正确；
易知，则，
因为函数过点，所以，
即，所以，所以，
又因为，所以，所以，
当时，可得，
根据正弦函数的图象性质，可知当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，故B错误；
令，解得，
所以函数的对称中心为，
当时，对称中心为，故C正确；
将函数的图象向左平移个单位长度可得到，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据函数的图象求函数的最小正周期即可判断A；根据周期求，再根据函数过点求确定函数的解析式，再根据正弦函数的图象与性质即可判断BC；根据三角函数图象的平移变换求解即可判断D.
11．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（　　）
A．椭圆的焦距为 B．的最小值为
C．（为原点）是定值 D．的最大值为
【答案】B,C
【知识点】基本不等式；平面内两点间的距离公式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、由题意可得，解得，
，则焦距，故A错误；
B、，
，
当且仅当时等号成立，故B正确；
C、设，易知，为上的动点，
则，即，故C正确；
D、
，即，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】根据椭圆的离心率求出，再由求出，得椭圆的焦距即可判断A；根据椭圆的定义，结合基本不等式求额吉即可判断B；设，根据中点坐标公式可得，由点在椭圆上代入化简即可判断C；利用两点间距离公式求，利用配方法求最值即可判断D．
12．函数的单调递减区间为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
令，解得，
故函数的单调递减区间为.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，令，求解单调递减区间即可.
13．已知在数列中，，则数列的通项公式　 　．
【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，，可得，，即，
由，可得，则数列是以1为首项，为公差的等差数列，
则，即.
故答案为：.
【分析】递推式两边取倒得到，可得舒蕾是以1为首项，为公差的等差数列，根据等差数列求通项公式即可.
14．如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有　 　种．
【答案】216
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先对上底面的顶点进行涂色，有种涂法；
再将剩下的1种颜色涂在下底面的顶点处，有种涂法；
以涂在点处为例，可对点的涂法进行分类：
①若点与点同色，则点只能与点同色，此时有1种；
②若点与点同色，则点可在点与所涂的颜色中选1种，此时有2种，
则，即不同的涂法有216种.
故答案为：.
【分析】利用分步计数原理，结合排列组合数计数求解即可.
15．在中，内角所对的边长分别是，且．
（1）求角；
（2）若，求的面积的最大值．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，
因为，所以，
又因为，所以，即，
因为，所以，即，解得；
（2）解：，，由余弦定理可得：，
由基本不等式可得：，则，当且仅当取等号，
则的面积，
故的面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理、正弦两角和公式化简求角即可；
（2）由|（1）的结论，利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，再根据三角形面积公式求解即可.
（1）由
，
由于，所以，
又因为，所以，即，
因为，所以，即，
故；
（2）因为，，所以由余弦定理可得：
，
由基本不等式可得：，所以，
当且仅当取等号，
则的面积，
故的面积的最大值为.
16．如图，在直三棱柱中，.点满足.
（1）过点作垂直于点，证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：如图所示：
在直三棱柱中，因为平面，且平面，所以，
又因为，，且平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：在直三棱柱中，因为平面，所以以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，
所以，
设平面的一个法向量为：，
由，则，
令，则，可得，
设平面的一个法向量为：，，
则，令，则，可得，
设平面与平面所成角为，则
，
故平面与平面夹角的余弦值为：.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在直三棱柱中，根据线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理证明即可；
（2）在直三棱柱中，由平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相应的点，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求解平面与平面所成角的余弦值即可.
（1）由题意如图所示：
在直三棱柱中，因为平面，且平面，
所以，又，，
且平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）在直三棱柱中，因为平面，
所以以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，
所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
所以，
设平面的一个法向量为：，
由，
则，
令，则，所以，
设平面的一个法向量为：，
由，
则，
令，则，所以，
设平面与平面所成角为，
所以
，
所以平面与平面夹角的余弦值为：.
17．记为数列的前项和，已知，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）求数列的前项和.
【答案】（1）解： 数列的前项和 ，
当时，，
当时，，
经验证，时，满足上式，
则；
（2）证明：因为，所以数列为等比数列；
（3）解：由（2）可知数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
设数列的前项和为，
则，
，
两式相减得
，
则.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列中之间的关系求解即可；
（2）根据等比数列的定义证明即可；
（3）由（2）可知数列是等比数列，根据等比数列的定义可得，则，再利用错位相减法求和即可.
（1）当时，，
也满足上式，
所以；
（2）因为，
所以数列为等比数列；
（3）由（2）可知数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
设数列的前项和为，
所以，
，
两式相减得
.
18．已知函数.
（1）若是的导函数，且0为的极值点，求；
（2）当时，过原点的直线与的图象相切，证明：当时，在图象的上方.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，则，
由0为的极值点，可得，即；
检验：当时，，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故0为的极值点，故符合题意；
（2）解：当时，，设与的切点为，
由，可得，即，解得，
故直线，则只需证：当时，，
令，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
即恒成立，即当时，在图象的上方.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，令，再求导，由题意可得，求得a的值，借再借助导数研究单调性检验0是否为极值点即可；
（2）当时，，设切点，根据导数的几何意义可得，则只需证：当时，，构造函数，利用导数研究其单调性，求其最小值，即可得解.
（1），令，则，
由0为的极值点，则，即；
检验：当时，，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故0为的极值点，故符合题意；
（2）当时，，设与的切点为，
由，则有，即，
解得，故直线，则只需证：当时，，
令，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
即恒成立，即当时，在图象的上方.
19．设双曲线的左、右焦点分别为，，且离心率为．分别过，作两条平行直线，．设与C交于P，Q两点，与y轴交于点M．
（1）求C的方程；
（2）若点M在y轴的负半轴上，求斜率的取值范围；
（3）若，求直线与的一般式方程．
【答案】（1）解：设c为双曲线C的半焦距，由题意可得，
因为双曲线的离心率为，所以，解得，则，
故双曲线；
（2）解：易得斜率不为0，
又因为，平行，且点M在y轴的负半轴上，故斜率大于0，
①当P，Q分别在左、右两支上时，斜率应小于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率，且为，此时斜率的取值范围为；
②当P，Q在双曲线左支上时，斜率应大于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率，此时斜率的取值范围为，
综上，斜率的取值范围为；
（3）解：易得，斜率存在，设、的方程分别为、，
可知，设，，
联立，得，
其中，要使双曲线与直线有两个交点，必有，
因此，则，
设中点为A，则，即，
若，则必有，
而，，
故，解得，
故平行直线的斜率为，
则与的一般式方程分别为和，
或和．
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由双曲线的焦点坐标，可得c值，再根据离心率，求a值，最后根据a，b，c的关系，求b值，即可得双曲线方程；
（2）易得斜率不为0，分析可得斜率大于0，分P，Q分别在左、右两支上和当P，Q在双曲线左支上讨论，根据渐近线的意义及其斜率，分析求解即可；
（3）易得，斜率存在，设、的方程分别为、，将与双曲线联立，利用韦达定理，可得表达式，进而可得表达式，设中点为A，可得A点坐标，由题意可得，分别求出直线AM和直线PQ的斜率，根据斜率的关系，化简计算即可.
（1）设c为双曲线C的半焦距，则．
又离心率为，故，解得．
则．即．
（2）易得斜率不为0，
又因为，平行，且点M在y轴的负半轴上，故斜率大于0，
①当P，Q分别在左、右两支上时，斜率应小于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率，
且为，此时斜率的取值范围为．
②当P，Q在双曲线左支上时，斜率应大于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率，
此时斜率的取值范围为．
综上，斜率的取值范围为．
（3）易得，斜率存在，设、的方程分别为、，
可知，设，，，
联立，得，
其中，要使双曲线与直线有两个交点，必有．
因此，则，
方法一：要使，只需成立，
即，
将、代入得：，
整理得，
即，所以，解得，
则与的一般式方程分别为和，
或和．
方法二：设中点为A，则，即，
若，则必有，
而，，
故，解得．
故平行直线的斜率为，
则与的一般式方程分别为和，
或和．
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