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内蒙古自治区包头市第九中学外国语学校2025-2026学年下学期八年级数学4月学情自测
一、单选题
1．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，直线交坐标轴于A，B两点，则不等式的解集是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在中，，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（　　）
A．7 B．8 C．9 D．
7．如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．已知一个边形的内角和是，则_____．
10．在-3，0，2.5，3，3.5五个数中，其中哪些数是不等式的解？______．
11．请写出命题“如果，那么”的逆命题：________．
12．如图，点为的外心，若，，则的大小为___________．
13．一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为________．
14．如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M，，则______．
三、解答题
15．下面是圆圆同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得…………．第四步 两边都除以7，得…………第五步
任务：
(1)第一步的依据是______，第_______步开始出现错误，具体的错误是_______．
(2)该不等式的正确解集为_______．
(3)请你根据平时的学习经验，写出一条解不等式时的注意事项．
16．解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解．
17．如图，的各顶点坐标分别为．
(1)下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图；
步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的；
步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的；
(2)在嘉嘉设计的图案中，点的坐标为______．
18．某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，若购买甲种笔记本10个．乙种笔记本5个，需花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，需花费200元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价；
（2）如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少个甲种笔记本？
19．如图，四边形中，，E是的中点，平分．

(1)求证： 平分；
(2)判断、、之间的数量关系，并证明；
(3)若，，求．
20．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+,理由如下:
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB
∴∠1+∠2＝ (∠ABC+∠ACB)
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠1+∠2＝ (180 ° ∠A)＝90° ∠A
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A
探究2：如图2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由.
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论：
参考答案
1．B
【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．D
【详解】解：选项A：，，不符合题意；
选项B：，，不符合题意；
选项C：，，不符合题意；
选项D：，，符合题意；
故选：D．
3．A
【详解】解：由得，
由得，
解集在数轴上表示为：
，则不等式组的解集为．
故选：A．
4．B
【详解】解：如图，作于点D，
中,，，
，
，
，
故选B．
是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．
5．D
【详解】解：观察图象得：不等式的解集是，
故选：D．
6．A
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴的周长．
故选：A．
7．B
【详解】解：根据题意，得阴影图形是矩形，且矩形的宽为，长为，
故面积为，
故选：B．
8．A
【详解】解：由作图过程可知平分，
，
，
，
，
，
，
故选A．
9．7
【详解】这个多边形的边数是，
则：，
解得．
故答案为：7．
10．3.5
【详解】解：解得，
∴不等式的解为3.5，
故答案为：3.5．
11．如果，那么
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
12．
【详解】∵点为的外心，，，
∴点P为三边垂直平分线的交点，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
故答案为：．
13．/75度
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．(1)不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；二；去括号时，括号前是负号时，括号内的的符号没改变
(2)
(3)不等式两边乘以负数时，要注意变号（答案不唯一）
【详解】（1）解：第一步的依据是：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
第二步开始出现错误，具体的错误是：去括号时，括号前是负号时，括号内的的符号没改变．
故答案为：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；二；去括号时，括号前是负号时，括号内的的符号没改变
（2）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以，得．
故答案为：
（3）解：解不等式时的注意事项：不等式两边乘以负数时，要注意变号（答案不唯一）．
16．不等式组的解集为；整数解为，，0．
【详解】解：，
解不等式①得，；
解不等式②得，，
所以原不等式组的解集为，
∴整数解为，，0．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了作旋转图形、作中心对称图形、平面直角坐标系等知识点，掌握基本的作图方法是解题的关键．
（1）分别作出点A、B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可得；再将点分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可得；
（2）结合（1）的作图写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图：，即为所求．
（2）解：由（1）作图可得：点的坐标为．
18．（1）购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；（2）至多需要购买25个甲种笔记本．
【详解】解：（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，
由题意可得：，解得：，
答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；
（2）设需要购买a个甲种笔记本，
由题意可得：10a＋5（35 a）300，
解得：a25，
答：至多需要购买25个甲种笔记本．
19．(1)见解析
(2)，见解析
(3)20
【详解】（1）证明：过点E作于点F，
∵，平分，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分．
（2）证明：，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴；
（3）解：∵，E是的中点，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴．

20．（1）探究2结论：∠BOC=；（2）探究3：结论∠BOC=90°－
【详解】（1）探究2结论：∠BOC=∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A；
（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
∠BOC=180°-∠0BC-∠OCB，
=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），
=180°-∠A-（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC=90°-∠A．

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