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浙江省金华市金东区2025-2026学年上学期期末考试八年级数学卷
一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)
1．以下是2025年第15 届全国运动会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
2．下列各数中，能使 有意义的x的值是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是(　　)
A．1， 2， 3 B．3， 4， 5 C．2， 2， 4 D．2， 3， 6
4． 如图， AB=AE， ∠E=∠B， 再添加一个条件仍不能判定△ABC≌△AED 的是(　　)
A．∠CAD=∠BAE B．AC=AD C．DE=CB D．∠C=∠D
5．法国数学家笛卡尔首先建立了坐标思想，从而使数学的两大要素“数”与“形”统一起来．在平面直角坐标系中，关于点(-2，4)和(2，-4)，下列结论正确的是(　　)
A．横坐标相同 B．纵坐标相同
C．所在象限相同 D．到y轴距离相等
6．已知a、b为任意实数，a>b，则下列变形一定正确的是(　　)
A．|a|>|b| B．- a>-b C．a-1>b-1 D．ac< bc
7．下列选项中，可以用来说明命题“若 则a>b”是假命题的反例是(　　)
A．a=-1，b=2 B．a=-2，b=3 C．a=-3，b=2 D．a=3，b=2
8．关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b的取值可以是(　　)
A．3 B．2 C．- 2 D．- 3
9． 已知一次函数y= ax+b的图象经过点(-2，c)，(c，2)， 若c<-3， 则 (　　)
A．a>0， b>0 B．a<0， b>0
C．a>0， b<0 D．a<0， b<0
10．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，则下列结论：①乙车前6秒行驶的路程为48米；②在0到6秒内甲车的速度每秒增加 米；③当两车速度相等时，乙车行驶的路程为19.2米；④在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，其中正确的个数有(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(本大题有6小题，每小题3分，共18分)
11．命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是　 　．
12．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：　 　．
13． 如图， 在△ABC中， 已知∠C=90°， AB=16， 则AB边上的中线CD=　 　．
14． 若 是整数，则正整数n的最小值为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点B、C在x轴上，且关于y轴对称，AB=2AC，OE⊥AB，OF⊥AC， E， F分别为垂足， 则OE与OF的长度之比为　 　．
16． 如图， △ABC的外角∠CBG的角平分线与AC边的中垂线交于点E， 过E作 ED⊥BC于点D，则AB、BC、BD三条线段之间的数量关系为　 　．
三、解答题(本大题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程)
17． 计算
18．如图，测量一池塘的宽度，测量点B，F，C，E在直线l上，测量点A，D在直线l的异侧， 且AC=DF， ∠A=∠D， AB∥DE．
（1） 求证： △ABC≌△DEF．
（2） 若BE=110， BF=30， 求 CF的长．
19．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度， 各顶点均在网格格点上．
（1）写出△ABC三个顶点的坐标．
（2） 画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C' (其中A'、B'、C'分别是A、B、C的对应点) ．
（3） 求△ABC的面积．
20．如图，在某一景观河的一侧有一最佳观景点 C，河边有两个入口A、B，通过道路AC、BC可前往观景点C，BC=AB．因景区改造，需要关闭通道AC，为了方便游客观景，分散人流，决定新修道路CH(点H在河边，A、H、B在同一直线上)．经测量：BC=250米，HC=240米， BH=70米．
（1）判断CH 是否为从C到河边的最近道路，并说明理由．
（2）求原道路AC的长度．
21．在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)之间的关系如图所示，已知 请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）求乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式．
（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样 (不考虑都燃尽时的情况)
（3）蜡烛燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差2cm
22．金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售2个小号佛手柑挂件和1个大号佛手柑挂件共可获利26元，销售5个小号佛手柑挂件的获利和销售4个大号佛手柑挂件的获利相等．
（1）求销售1个小号佛手柑挂件和1个大号佛手柑挂件分别获利几元
（2）该店某天销售佛手柑挂件共80个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的2倍还多，获得的总利润不足750元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个
23．【概念学习】规定：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点E，过E作 交AB 于点D， 求证： DE为△ABE的“等腰分割线”．
（2）【概念应用】如图2， 在△ABC中， ∠C=90°， BD 是△ABC的“等腰分割线”， 且.BD=4，求△ABD的面积．
（3）【问题探究】在△ABC中，AB=AC，若存在一条线段是△ABC的“等腰分割线”，请求出所有符合条件的∠BAC 的度数．
24．已知直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，点 P 是线段AB 上的动点，点C是x轴上的动点，连结 PC．
（1） 求A， B两点的坐标；
（2）如图1，连结BC，若△BCP 是以BP为斜边的等腰直角三角形，求直线PC的解析式；
（3） 如图2， 作PM⊥x轴于点 M， 以PM为边向右作正方形 PMNR， 边NR 交直线AB于点Q．若AQ=PC， AN=OC， 求点 P 的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选： B.
【分析】根据轴对称图形的定义“一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”进行逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义
∴3-2x≥0，
解得x≤，
符合条件的数值为1，
故选：A.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到x的取值范围，然后逐项判断解答即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、1+2=3，不能构成三角形，不符合题意；
能构成三角形，符合题意；
C、2+2=4，不能构成三角形，不符合题意；
D、2+3<6，不能构成三角形，不符合题意.
故选： B.
【分析】利用三角形的三边关系定理进行分析即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： A、由得到 E， 由ASA判定 故A不符合题意；
和 分别是AC和AD的对角，不能判定△ ，故B符合题意；
C、由SAS判定 故C不符合题意；
D、由AAS判定 故D不符合题意.
故选： B.
【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断.
5．【答案】D
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ 点(-2，4)和(2，-4)，
∴横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数；所在象限不同；当y轴距离都等于4，相同；
故答案为：D.
【分析】根据点的坐标特征逐项判断解答即可.
6．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：当b在不等式a>b的两边同时乘以-1，可得-a<-b，故B错误；
在不等式a>b的两边同时减去1，可得a-1>b-1，故C正确；
在不等式a>b的两边同时乘以c(c>0)，可得ac>bc，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质逐项判断解答即可.
7．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A： a=-1，b=2时，a2B： a=-2，b=3 时，a2C： a=-3，b=2 时，满足 但是aD： a=3，b=2 ，满足 a>b，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据举例满足条件，但不能使结论成立，据此逐项判断解答即可.
8．【答案】D
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式x-b>0得x>b，
∵ 不等式x-b>0恰有两个负整数解，
∴负整数解为-1，-2，
∴b的取值范围为-3≤b<-2，
符合条件的数值为-3，
故答案为：-3.
【分析】先解不等式求出解集，然后根据负整数解求出b的取值范围，然后逐项判断解答即可.
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：把 (-2，c)，(c，2)代入y=ax+b得
，解得，
∵ c<-3，
∴2-c>0，c+2<0，c2+4>0，
∴a<0，b<0，
故选：D.
【分析】把两点代入求出a，b的值，然后根据c的取值范围确定a，b的取值范围即可.
10．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：乙车前6秒行驶的路程为88×6=48(米)，
∴①正确，符合题意；
在0到6秒内甲车的速度每秒增加 (米)，
∴②正确，符合题意；
当两车速度相等时所用时间为 (秒)，此时乙车行驶了 (米)，
∴③正确，符合题意；
由③知，第 秒时两车速度相等，根据图象，在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，
∴④正确，符合题意.
综上， ①②③④正确.
故选： A.
【分析】①根据路程=速度×时间计算即可；②根据速度的增加量÷所用时间列式计算即可；③求出两车速度相等时所用时间，再由路程=速度×时间求出乙车行驶的路程即可；④根据两车速度相等时所用时间和图象判断即可.
11．【答案】同旁内角互补，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：依题可得逆命题： 同旁内角互补 ， 两直线平行 .
故答案为： 同旁内角互补 ， 两直线平行.
【分析】根据原命题和逆命题之间的关系即可得出答案.
12．【答案】x+1<3（答案不唯一）
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：根据数轴表示的解集可得不等式为x+1<3，
故答案为：x+1<3.
【分析】根据数轴上表示的解集写出不等式即可.
13．【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CD是斜边上中线，
∴，
故答案为：8.
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可.
14．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：，
∵是整数，
∴ 正整数n的最小值为2，
故答案为：2.
【分析】先化为最简二次根式，然后根据被开方数是平方数解答即可.
15．【答案】1：2
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接AO，
∵ B、C在x轴上，且关于y轴对称，
∴BO=CO，
∴，
又∵，，
∴，即，
故答案为：1：2.
【分析】根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据三角形的面积公式求出比值解答即可.
16．【答案】AB +2BD =BC
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥AG于点G。连接AE，EC，
∵BE平分∠GBC，ED⊥BC，
∴EG=ED，∠BHE=∠BDE=∠BDC=90°，
又∵EB=EB，
∴Rt△BEH≌Rt△BED，
∴BH=BD，
又∵BF垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴Rt△AEH≌Rt△CED，
∴CD=AH，
∴BC=BD+CD=BD+AB+BE=AB+2BD，
故答案为：AB +2BD =BC.
【分析】过点E作EH⊥AG于点G。连接AE，EC，先根据角平分线的性质得到EG=ED，然后根据HL得到Rt△BEH≌Rt△BED，即可得到BH=BD，再根据垂直平分线的性质得到AE=CE，即可证明Rt△AEH≌Rt△CED，进而得到CD=AH，然后根据线段的和差解答即可.
17．【答案】解：原式=
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算乘方和二次根式的化简，然后合并解答即可.
18．【答案】（1）证明：因为AB∥DE，
所以∠ABC=∠DEF.
在△ABC 与△DEF 中，
所以△ABC≌△DEF(AAS).
（2）解：因为△ABC≌△DEF，
所以 BC=EF，
所以 BF=EC.
又因为BE=110，BF=30，
所以CF=BE-BF-EC=110-30-30=50.
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC=∠DEF，然后根据AAS证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到BC=EF，即可得到BF=EC，然后根据线段的和差解答即可.
19．【答案】（1）解：A(-4，0)B(-2，-2)C(-1，2)
（2）解：如图， △A'B'C'即为所作；
（3）解：.
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系中点的位置写出坐标即可；
（2）根据轴对称的性质作出点 A、B、C的对应点，然后依次连接得到△A'B'C'即可；
（3）根据割补法求出三角形的面积即可.
20．【答案】（1）解：是，CH是从C到河边的最近道路。
理由： 在△BCH中， 已知BC=250米， HC=240米，BH=70米。
∵
∴△BCH 是直角三角形， 且∠CHB=90°
即CH⊥AB
根据垂线段最短的性质，CH 是从点 C 到河边的最近道；
（2）解：∵ BC=AB=250米， BH=70米，
∴AH=AB-BH=250-70=180 (米)
在 Rt△ACH中， CH=240米， AH=180米，
根据勾股定理： ，
∴ (米)
答：原道路AC的长度为300米.
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】(1)根据勾股定理的逆定理得到△BCH是直角三角形，然后根据垂线段最短解答即可；
(2)先根据线段的和差求出AH的长，然后根据勾股定理求出AC长即可.
21．【答案】（1）解：设乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式y=mx+n，把(0，25)(2.5，0)代入得：
解得：
∴乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式y=-10x+25；
（2）解：由题意得：-10x+25=-15x+30，
解得：x=1，
答：燃烧1h时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样；
（3）解：当-15x+30-(-10x+25)=2时，
解得：
当-10x+25-(-15x+30)=2时，
解得：
甲的高度是0厘米，乙的高度是2厘米时，-10x+25=2，
解得：
综上所述，当燃烧 小时或 小时或 小时，甲、乙两根蜡烛的高度相差2厘米.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)先设出乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式，然后根据函数图象中的数据即可求得相应的函数解析式；
(2)根据题意，令(1)中的函数解析式与 x+30的值相等，即可解答本题；
(3)用分类讨论，由解析式建立方程，求出其解就可以得出高度相差2厘米时的时间.
22．【答案】（1）解：设销售1个小号佛手柑挂件获利x元，销售1个大号佛手柑挂件获利y元。
由题意可得
解得
答：销售1个小号佛手柑挂件获利8元，销售1个大号佛手柑挂件获利10元.
（2）解：设销售小号佛手柑挂件m个，则销售大号佛手柑挂件(80-m)个。
由题意可得
解得 因为m为正整数，
所以m=26，
则80-m=80-26=54。
答：销售小号佛手柑挂件26个，销售大号佛手柑挂件54个.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设销售1个小号佛手柑挂件获利x元，销售1个大号佛手柑挂件获利y元，根据“销售2个小号佛手柑挂件和1个大号佛手柑挂件共可获利26元”和“销售5个小号佛手柑挂件的获利和销售4个大号佛手柑挂件的获利相等”列出方程组求解即可；
（2）设销售小号佛手柑挂件m个，则销售大号佛手柑挂件(80-m)个，根据“销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的2倍还多”和“获得的总利润不足750元“列出不等式组求解求出m的整数解即可
23．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC， ∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠DEB，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形，
∴DE为△ABE的“等腰分割线”；
（2）解：∵BD 是△ABC的“等腰分割线”，
∴△ABD，△BCD是等腰三角形，
∴BC=CD，BD=AD=4，
∵∠C=90°，
∴CD2+BC2=BD2，
∴BC=，
∴；
（3）解：①如图①， 则BD=CD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∴∠BAC=90°；
②AB=AC，AD=BD，AC=CD，
设∠B=∠C=x°，
∴∠DAD=∠B=x°，
∴∠CAD=∠ACD=∠DAB+∠B=2x°，
在△ACD中，x°+2x°+2x°=180°，
解得x=36，
∴∠BAC=x°+2x°=3x°=108°；
③AB=AC，AD=BD，BD=BC，
设∠A=y°，则∠ABD=y°，
∴∠C=∠ABC=∠BDC=∠DAB+∠ABD=2y°，
在△ABC中，y°+2y°+2y°=180°，
解得y=36，即∠BAC=36°，
④AB=AC，AD=BD，CD=BC，
设∠BAD=m°，则∠ABD=m°，
∴∠CBD=∠BDC=2m°，
∴∠ABC=∠C=m°+2m°=3m°，
在Rt△ABC中，m°+3m°+3m°=180°，
解得m=，即∠BAC=，
综上所述，∠BAC的度数为90°或36°或或108°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADE=∠ABC， ∠AED=∠ACB，即可得到∠ADE=∠AED，进而证明△ADE是等腰三角形，然后根据角平分线的定义和平行线的性质得到∠ABE=∠DEB，即可得到BD=DE，证明△BDE是等腰三角形，即可得到结论；
（2）根据“等腰分割线”的定义求出BD长，再根据勾股定理求出BC长，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分为四种情况画图，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理求出∠BAC的度数即可.
24．【答案】（1）解：当x=0时，y=3；
∴B(0，3)，
当y=0时，，解得x=6，
∴A(6，0)；
（2）解：如图，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的坐标为，
∴OD=m，，
∵∠BOA=∠BCP=∠PDC=90°，
∴∠OBC+∠OCB=∠PCD+∠BCO=90°，
∴∠OBC=∠PCD，
又∵BC=PC，
∴△OBC≌△DCP，
∴PD=OC=，CD=OB=3，
∴，
解得m=4，
∴OC=1，
∴点C的坐标为(1，0)，P点坐标为(4，1)
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴
（3）解：设点P的坐标为，则点Q的横坐标为，纵坐标为，
∵ AN=OC=，
∴点C的坐标为
则，
解得或，
当时，点P的坐标为，
当时，点P的坐标为，综上所述，点P的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）分别令x=0或y=0 ，求出对应的y，x的值即可得到与坐标轴的交点坐标；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的坐标为，然后根据AAS证明△OBC≌△DCP，即可得到PD=OC=，CD=OB=3，然后根据OD长列方程求出m值解答即可；
（3）设点P的坐标为，点C的坐标为(n，0)，根据正方形的性质表示点Q的坐标，然后根据两点间距离公式列方程求出m的值，即可得到点P的坐标.
1 / 1浙江省金华市金东区2025-2026学年上学期期末考试八年级数学卷
一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)
1．以下是2025年第15 届全国运动会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选： B.
【分析】根据轴对称图形的定义“一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”进行逐一判断即可.
2．下列各数中，能使 有意义的x的值是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义
∴3-2x≥0，
解得x≤，
符合条件的数值为1，
故选：A.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到x的取值范围，然后逐项判断解答即可.
3．下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是(　　)
A．1， 2， 3 B．3， 4， 5 C．2， 2， 4 D．2， 3， 6
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、1+2=3，不能构成三角形，不符合题意；
能构成三角形，符合题意；
C、2+2=4，不能构成三角形，不符合题意；
D、2+3<6，不能构成三角形，不符合题意.
故选： B.
【分析】利用三角形的三边关系定理进行分析即可.
4． 如图， AB=AE， ∠E=∠B， 再添加一个条件仍不能判定△ABC≌△AED 的是(　　)
A．∠CAD=∠BAE B．AC=AD C．DE=CB D．∠C=∠D
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： A、由得到 E， 由ASA判定 故A不符合题意；
和 分别是AC和AD的对角，不能判定△ ，故B符合题意；
C、由SAS判定 故C不符合题意；
D、由AAS判定 故D不符合题意.
故选： B.
【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断.
5．法国数学家笛卡尔首先建立了坐标思想，从而使数学的两大要素“数”与“形”统一起来．在平面直角坐标系中，关于点(-2，4)和(2，-4)，下列结论正确的是(　　)
A．横坐标相同 B．纵坐标相同
C．所在象限相同 D．到y轴距离相等
【答案】D
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ 点(-2，4)和(2，-4)，
∴横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数；所在象限不同；当y轴距离都等于4，相同；
故答案为：D.
【分析】根据点的坐标特征逐项判断解答即可.
6．已知a、b为任意实数，a>b，则下列变形一定正确的是(　　)
A．|a|>|b| B．- a>-b C．a-1>b-1 D．ac< bc
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：当b在不等式a>b的两边同时乘以-1，可得-a<-b，故B错误；
在不等式a>b的两边同时减去1，可得a-1>b-1，故C正确；
在不等式a>b的两边同时乘以c(c>0)，可得ac>bc，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质逐项判断解答即可.
7．下列选项中，可以用来说明命题“若 则a>b”是假命题的反例是(　　)
A．a=-1，b=2 B．a=-2，b=3 C．a=-3，b=2 D．a=3，b=2
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A： a=-1，b=2时，a2B： a=-2，b=3 时，a2C： a=-3，b=2 时，满足 但是aD： a=3，b=2 ，满足 a>b，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据举例满足条件，但不能使结论成立，据此逐项判断解答即可.
8．关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b的取值可以是(　　)
A．3 B．2 C．- 2 D．- 3
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式x-b>0得x>b，
∵ 不等式x-b>0恰有两个负整数解，
∴负整数解为-1，-2，
∴b的取值范围为-3≤b<-2，
符合条件的数值为-3，
故答案为：-3.
【分析】先解不等式求出解集，然后根据负整数解求出b的取值范围，然后逐项判断解答即可.
9． 已知一次函数y= ax+b的图象经过点(-2，c)，(c，2)， 若c<-3， 则 (　　)
A．a>0， b>0 B．a<0， b>0
C．a>0， b<0 D．a<0， b<0
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：把 (-2，c)，(c，2)代入y=ax+b得
，解得，
∵ c<-3，
∴2-c>0，c+2<0，c2+4>0，
∴a<0，b<0，
故选：D.
【分析】把两点代入求出a，b的值，然后根据c的取值范围确定a，b的取值范围即可.
10．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，则下列结论：①乙车前6秒行驶的路程为48米；②在0到6秒内甲车的速度每秒增加 米；③当两车速度相等时，乙车行驶的路程为19.2米；④在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，其中正确的个数有(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：乙车前6秒行驶的路程为88×6=48(米)，
∴①正确，符合题意；
在0到6秒内甲车的速度每秒增加 (米)，
∴②正确，符合题意；
当两车速度相等时所用时间为 (秒)，此时乙车行驶了 (米)，
∴③正确，符合题意；
由③知，第 秒时两车速度相等，根据图象，在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，
∴④正确，符合题意.
综上， ①②③④正确.
故选： A.
【分析】①根据路程=速度×时间计算即可；②根据速度的增加量÷所用时间列式计算即可；③求出两车速度相等时所用时间，再由路程=速度×时间求出乙车行驶的路程即可；④根据两车速度相等时所用时间和图象判断即可.
二、填空题(本大题有6小题，每小题3分，共18分)
11．命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是　 　．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：依题可得逆命题： 同旁内角互补 ， 两直线平行 .
故答案为： 同旁内角互补 ， 两直线平行.
【分析】根据原命题和逆命题之间的关系即可得出答案.
12．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：　 　．
【答案】x+1<3（答案不唯一）
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：根据数轴表示的解集可得不等式为x+1<3，
故答案为：x+1<3.
【分析】根据数轴上表示的解集写出不等式即可.
13． 如图， 在△ABC中， 已知∠C=90°， AB=16， 则AB边上的中线CD=　 　．
【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CD是斜边上中线，
∴，
故答案为：8.
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可.
14． 若 是整数，则正整数n的最小值为　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：，
∵是整数，
∴ 正整数n的最小值为2，
故答案为：2.
【分析】先化为最简二次根式，然后根据被开方数是平方数解答即可.
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点B、C在x轴上，且关于y轴对称，AB=2AC，OE⊥AB，OF⊥AC， E， F分别为垂足， 则OE与OF的长度之比为　 　．
【答案】1：2
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接AO，
∵ B、C在x轴上，且关于y轴对称，
∴BO=CO，
∴，
又∵，，
∴，即，
故答案为：1：2.
【分析】根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据三角形的面积公式求出比值解答即可.
16． 如图， △ABC的外角∠CBG的角平分线与AC边的中垂线交于点E， 过E作 ED⊥BC于点D，则AB、BC、BD三条线段之间的数量关系为　 　．
【答案】AB +2BD =BC
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥AG于点G。连接AE，EC，
∵BE平分∠GBC，ED⊥BC，
∴EG=ED，∠BHE=∠BDE=∠BDC=90°，
又∵EB=EB，
∴Rt△BEH≌Rt△BED，
∴BH=BD，
又∵BF垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴Rt△AEH≌Rt△CED，
∴CD=AH，
∴BC=BD+CD=BD+AB+BE=AB+2BD，
故答案为：AB +2BD =BC.
【分析】过点E作EH⊥AG于点G。连接AE，EC，先根据角平分线的性质得到EG=ED，然后根据HL得到Rt△BEH≌Rt△BED，即可得到BH=BD，再根据垂直平分线的性质得到AE=CE，即可证明Rt△AEH≌Rt△CED，进而得到CD=AH，然后根据线段的和差解答即可.
三、解答题(本大题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程)
17． 计算
【答案】解：原式=
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算乘方和二次根式的化简，然后合并解答即可.
18．如图，测量一池塘的宽度，测量点B，F，C，E在直线l上，测量点A，D在直线l的异侧， 且AC=DF， ∠A=∠D， AB∥DE．
（1） 求证： △ABC≌△DEF．
（2） 若BE=110， BF=30， 求 CF的长．
【答案】（1）证明：因为AB∥DE，
所以∠ABC=∠DEF.
在△ABC 与△DEF 中，
所以△ABC≌△DEF(AAS).
（2）解：因为△ABC≌△DEF，
所以 BC=EF，
所以 BF=EC.
又因为BE=110，BF=30，
所以CF=BE-BF-EC=110-30-30=50.
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC=∠DEF，然后根据AAS证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到BC=EF，即可得到BF=EC，然后根据线段的和差解答即可.
19．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度， 各顶点均在网格格点上．
（1）写出△ABC三个顶点的坐标．
（2） 画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C' (其中A'、B'、C'分别是A、B、C的对应点) ．
（3） 求△ABC的面积．
【答案】（1）解：A(-4，0)B(-2，-2)C(-1，2)
（2）解：如图， △A'B'C'即为所作；
（3）解：.
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系中点的位置写出坐标即可；
（2）根据轴对称的性质作出点 A、B、C的对应点，然后依次连接得到△A'B'C'即可；
（3）根据割补法求出三角形的面积即可.
20．如图，在某一景观河的一侧有一最佳观景点 C，河边有两个入口A、B，通过道路AC、BC可前往观景点C，BC=AB．因景区改造，需要关闭通道AC，为了方便游客观景，分散人流，决定新修道路CH(点H在河边，A、H、B在同一直线上)．经测量：BC=250米，HC=240米， BH=70米．
（1）判断CH 是否为从C到河边的最近道路，并说明理由．
（2）求原道路AC的长度．
【答案】（1）解：是，CH是从C到河边的最近道路。
理由： 在△BCH中， 已知BC=250米， HC=240米，BH=70米。
∵
∴△BCH 是直角三角形， 且∠CHB=90°
即CH⊥AB
根据垂线段最短的性质，CH 是从点 C 到河边的最近道；
（2）解：∵ BC=AB=250米， BH=70米，
∴AH=AB-BH=250-70=180 (米)
在 Rt△ACH中， CH=240米， AH=180米，
根据勾股定理： ，
∴ (米)
答：原道路AC的长度为300米.
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】(1)根据勾股定理的逆定理得到△BCH是直角三角形，然后根据垂线段最短解答即可；
(2)先根据线段的和差求出AH的长，然后根据勾股定理求出AC长即可.
21．在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)之间的关系如图所示，已知 请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）求乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式．
（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样 (不考虑都燃尽时的情况)
（3）蜡烛燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差2cm
【答案】（1）解：设乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式y=mx+n，把(0，25)(2.5，0)代入得：
解得：
∴乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式y=-10x+25；
（2）解：由题意得：-10x+25=-15x+30，
解得：x=1，
答：燃烧1h时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样；
（3）解：当-15x+30-(-10x+25)=2时，
解得：
当-10x+25-(-15x+30)=2时，
解得：
甲的高度是0厘米，乙的高度是2厘米时，-10x+25=2，
解得：
综上所述，当燃烧 小时或 小时或 小时，甲、乙两根蜡烛的高度相差2厘米.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)先设出乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式，然后根据函数图象中的数据即可求得相应的函数解析式；
(2)根据题意，令(1)中的函数解析式与 x+30的值相等，即可解答本题；
(3)用分类讨论，由解析式建立方程，求出其解就可以得出高度相差2厘米时的时间.
22．金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售2个小号佛手柑挂件和1个大号佛手柑挂件共可获利26元，销售5个小号佛手柑挂件的获利和销售4个大号佛手柑挂件的获利相等．
（1）求销售1个小号佛手柑挂件和1个大号佛手柑挂件分别获利几元
（2）该店某天销售佛手柑挂件共80个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的2倍还多，获得的总利润不足750元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个
【答案】（1）解：设销售1个小号佛手柑挂件获利x元，销售1个大号佛手柑挂件获利y元。
由题意可得
解得
答：销售1个小号佛手柑挂件获利8元，销售1个大号佛手柑挂件获利10元.
（2）解：设销售小号佛手柑挂件m个，则销售大号佛手柑挂件(80-m)个。
由题意可得
解得 因为m为正整数，
所以m=26，
则80-m=80-26=54。
答：销售小号佛手柑挂件26个，销售大号佛手柑挂件54个.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设销售1个小号佛手柑挂件获利x元，销售1个大号佛手柑挂件获利y元，根据“销售2个小号佛手柑挂件和1个大号佛手柑挂件共可获利26元”和“销售5个小号佛手柑挂件的获利和销售4个大号佛手柑挂件的获利相等”列出方程组求解即可；
（2）设销售小号佛手柑挂件m个，则销售大号佛手柑挂件(80-m)个，根据“销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的2倍还多”和“获得的总利润不足750元“列出不等式组求解求出m的整数解即可
23．【概念学习】规定：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点E，过E作 交AB 于点D， 求证： DE为△ABE的“等腰分割线”．
（2）【概念应用】如图2， 在△ABC中， ∠C=90°， BD 是△ABC的“等腰分割线”， 且.BD=4，求△ABD的面积．
（3）【问题探究】在△ABC中，AB=AC，若存在一条线段是△ABC的“等腰分割线”，请求出所有符合条件的∠BAC 的度数．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC， ∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠DEB，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形，
∴DE为△ABE的“等腰分割线”；
（2）解：∵BD 是△ABC的“等腰分割线”，
∴△ABD，△BCD是等腰三角形，
∴BC=CD，BD=AD=4，
∵∠C=90°，
∴CD2+BC2=BD2，
∴BC=，
∴；
（3）解：①如图①， 则BD=CD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∴∠BAC=90°；
②AB=AC，AD=BD，AC=CD，
设∠B=∠C=x°，
∴∠DAD=∠B=x°，
∴∠CAD=∠ACD=∠DAB+∠B=2x°，
在△ACD中，x°+2x°+2x°=180°，
解得x=36，
∴∠BAC=x°+2x°=3x°=108°；
③AB=AC，AD=BD，BD=BC，
设∠A=y°，则∠ABD=y°，
∴∠C=∠ABC=∠BDC=∠DAB+∠ABD=2y°，
在△ABC中，y°+2y°+2y°=180°，
解得y=36，即∠BAC=36°，
④AB=AC，AD=BD，CD=BC，
设∠BAD=m°，则∠ABD=m°，
∴∠CBD=∠BDC=2m°，
∴∠ABC=∠C=m°+2m°=3m°，
在Rt△ABC中，m°+3m°+3m°=180°，
解得m=，即∠BAC=，
综上所述，∠BAC的度数为90°或36°或或108°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADE=∠ABC， ∠AED=∠ACB，即可得到∠ADE=∠AED，进而证明△ADE是等腰三角形，然后根据角平分线的定义和平行线的性质得到∠ABE=∠DEB，即可得到BD=DE，证明△BDE是等腰三角形，即可得到结论；
（2）根据“等腰分割线”的定义求出BD长，再根据勾股定理求出BC长，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分为四种情况画图，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理求出∠BAC的度数即可.
24．已知直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，点 P 是线段AB 上的动点，点C是x轴上的动点，连结 PC．
（1） 求A， B两点的坐标；
（2）如图1，连结BC，若△BCP 是以BP为斜边的等腰直角三角形，求直线PC的解析式；
（3） 如图2， 作PM⊥x轴于点 M， 以PM为边向右作正方形 PMNR， 边NR 交直线AB于点Q．若AQ=PC， AN=OC， 求点 P 的坐标．
【答案】（1）解：当x=0时，y=3；
∴B(0，3)，
当y=0时，，解得x=6，
∴A(6，0)；
（2）解：如图，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的坐标为，
∴OD=m，，
∵∠BOA=∠BCP=∠PDC=90°，
∴∠OBC+∠OCB=∠PCD+∠BCO=90°，
∴∠OBC=∠PCD，
又∵BC=PC，
∴△OBC≌△DCP，
∴PD=OC=，CD=OB=3，
∴，
解得m=4，
∴OC=1，
∴点C的坐标为(1，0)，P点坐标为(4，1)
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴
（3）解：设点P的坐标为，则点Q的横坐标为，纵坐标为，
∵ AN=OC=，
∴点C的坐标为
则，
解得或，
当时，点P的坐标为，
当时，点P的坐标为，综上所述，点P的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）分别令x=0或y=0 ，求出对应的y，x的值即可得到与坐标轴的交点坐标；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的坐标为，然后根据AAS证明△OBC≌△DCP，即可得到PD=OC=，CD=OB=3，然后根据OD长列方程求出m值解答即可；
（3）设点P的坐标为，点C的坐标为(n，0)，根据正方形的性质表示点Q的坐标，然后根据两点间距离公式列方程求出m的值，即可得到点P的坐标.
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