资源简介

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太原市2026年高三年级模拟考试（二)】
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的客泰无效
请在各题目的答题区球内作答，超出爷题区域的答案无效
数学答题卡
15.〔13分)
16.(15分)
4“,
姓
名
贴条形码区
准考证号
1,答题前，
注
号地写在相应位世，
2.答选择通时，必须健用26铅笔填涂，修玫时，要用 皮将德改处擦干净。规范填涂样例：
金2
事
效
在试题、
项
4.保持答2卡清洁、完整，严禁析叠，严禁在答恩卡上作任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸和修正带。严禁污染
此栏禁止考生填涂扶考标记口缺考考生由监考员账条形码，并用2B铅笔填涂左边的缺考标记。
选择题〔用2B铅笔填涂)】
1 B1.c
6LA」BJC:Lm
11Em心Dm
2IC四
7田
3AI心四
8B四四
◆
4E四
94」四CD
5 ED
10JBCD则
■■■■■■■■■■■
非选择题〔用0,5毫米的黑色笔迹签字笔书写}
12.
13.
14.
考生请勿在此区域内答题
请在各题目的答题区域内作，超出斧题区蛾的答索无效
请在各趣目的答趣区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在弃题目的答题区域内作答，稻出答题区域的答案无效
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缴学第1页【共2页)
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多美妓名
请在各题自的管趣区域丙作著，超出答题区域的誉采无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
18.【17分)
请在各題目的答题区感内作答，超出答趣区鹹的答柔无效
19.(17分】
17.【15分)
请在各瓯目的答题区域内作菩，超出答趣区域的答率无效
请在各题自的答题区域内作答，超出皆题区域的答来无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区球的答案无效
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数学第2页（共2页】太原市 2026 年高三年级模拟考试（二）
数学试题参考答案及评分建议
一．选择题： B D A B C D B A
二. 选择题： 9.BC 10.ACD 11.BCD
三．填空题: 12.10 13. 5 14. 14
四．解答题:本题共 5 小题，共 77 分.
2
15.解:（1）由题意得T 2 ， 0， 1， f (x) sin(x )，
| |
f (3 ) sin( 3 ) 1 3 ， 2k ， k Z ， 2k ，
4 4 4 2 4
f (x) sin(x ， ， )， ………4 分
2 2 4 4

由 2k x

2k 得 2k
3
x 2k ， k Z ，
2 4 2 4 4
f (x) 3 的单调递增区间为[ 2k , 2k ]，k Z . ………6 分
4 4

（2）由题意得 g (x) f (x ) sin x， g ( x) sin( x)， ………8 分
4 3 3
y g (x)g ( x) 3 sin xsin( x) sin xcosx 1 sin2 x 3 sin2x 1 1 cos2x
3 3 2 2 4 4 4
1 sin(2x ) 1 y 3 1 , g (x)g ( x)的值域为[ , ]. ………13 分
2 6 4 3 4 4

e
c 3
,
a 2
a 2,
x2 2
16.解：（1）由题意得 4a 8, 得 b 1, 椭圆C的方程为 y 1. ………6 分
a2 b2 c2
4
c 3,

（2）由（1）得 F2 ( 3,0)，设直线 l的方程为 x my 3， P(x1, y1),Q(x2 , y2 )，
x my 3,
2 2
由 x2 得 (4 m ) y 2 3my 1 0 y y
2 3m 1
， 1 2 ，y y 2 4 m2 1 2 4 m2
，
y 1
4
| y 2 2 3m 2 4 4 m
2 1
1 y2 | ( y1 y2 ) 4y1y2 ( ) ， ………10 分4 m2 4 m2 4 m2
1 2
S1 S2 | F1F2 | (| y
4 3 m 1
2 1
| | y2 |) 3 | y1 y2 | 2 2， m 2，4 m
直线 l的方程为 x 2 y 3 0 . ………15 分
17.解:（1） AB 2， AC 3， BAC 45 ，
BC 2 AB2 AC 2 2AB AC cos BAC 5， BC 5， ………1 分
PC 2， PB 1， BC2 PB2 PC2 5， BPC 90 ， PB PC，
PA 5， PC 2， AC 3， AC2 PA 2 PC2 9， PA PC，
PA PB P， PC 平面 PAB， ………4 分
2 2 2
cos AB PB PA 2 ABP ， 0 ABP 180 2， sin ABP ，
2AB BP 2 2
△PAB S 1 AB 1 2 1的面积为 PAB PBsin ABP 2 ，2 2 2 2
P ABC 1 1 1 1三棱锥 的体积V S PAB PC 2 . ………6分3 3 2 3
（2）过点 B作 BD AC ，垂足为D， BAC 45 ， AB 2 ， AD BD 1，
以D为原点，DB,DC 所在直线分别为 x轴、y轴建立如图
所示的空间直角坐标系，则 A(0, 1,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，
过点 P作 PQ 平面 ABC，垂足为Q，由直线 PB与平面
ABC 3 1所成的角为60 ，可得 PQ ， BQ ，
2 2
设 (0 2 )为在Dxy平面内射线 Bx从 x轴的非负半轴开始，绕点 B按逆时针方向旋
转至 BQ 1时的旋转角，则Q(1 cos , 1 sin ,0) 1 1， P(1 cos , sin , 3 )，……8分
2 2 2 2 2
设m (x, y, z)是平面 PAC 的一个法向量，
3y 0,
则
m AC,
1 1
m AP, (1 cos ) x (1 sin ) y
3
z 0,
2 2 2
令 x 3，则 y 0, z 2 cos ， m ( 3,0,2 cos )， ………10 分
显然 n (0,0,1)是平面 ABC的一个法向量，
cos m,n m n 2 cos ， ………12 分
|m || n | 3 (2 cos )2
令 t 2 cos ，0 2 ，则1 t 3， f (t) t 1 3 2 在[1,3]上递增，3 t 2 3 t
1
cos m,n t 3 ，
2 3 t 2 2
PAC 1设平面 与平面 ABC的夹角为 ，则 cos | cos m,n 3 | ，
2 2
平面 PAC 与平面 ABC夹角 的取值范围为[ , ] . …………15分
6 3
18.解：（1） f (x) ax a ln x， f (x) a a 1 2 ， f (1) 0， f (1) 2a 1，x x x
f (x)在 x 1处的切线方程为 y f (1) f (1)(x 1)，即 y (2a 1)(x 1)，
该切线过点 (3,2)， 2 (2a 1)(3 1)， a 1. ………5 分
f (1) 0 f (x) a a 1 ax
2 x a
（2）由题意易得 ，由（1）得 ， x 0，
x2 x x2
当 a 0时， f (x) 0， f (x)在 (0, )上单调递减， f (x)有唯一零点 x 1；…7 分
a 1当 时， f (x) 0， f (x)在 (0, )上单调递增， f (x)有唯一零点 x 1；…8 分
2
1 1 1 4a2 1 1 4a2
当0 a 时，令 f (x) 0，则 x 或 x ，
2 1 2a 2 2a
f (x)在 (0, x1)和 (x2 , )上单调递增，在 (x1, x2 )上单调递减， ………9 分
① x1 1 x2， f (x)在 (x1, x2 )内的零点是 x 1；
② f (x)在 (x1, x2 )上单调递减， f (x1) f (1) 0 f (x2 )，
当 x 0时， f (x) ax a ln x ， f (x)在 (0, x1)内有一个零点；x
a
③当 x 时， f (x) ax ln x ， f (x)在 (x2 , )内有一个零点；x
1
综上，当 a 0或 a 时， f (x)有一个零点；
2
当0 a 1 时，f (x)有三个不同零点. ………12 分
2
1
（3）由（2）得当0 a 时，f (x)有三个不同零点，即 f (x)在 (x
2 1
, x2 )内的零点是 x 1，
在 (0, x1)和 (x2 , )内各有一个零点，分别记它们为m,n，0 m x1 1 x2 n，
则 f (m) am a a lnm 0， f (n) an ln n 0， ………13 分
m n
f ( 1 ) a am 1 1 1 1 1 4a
2
lnm f (m) 0，且 x ，
m m m x 2 21 1 1 4a 2a
2a
f (x)在 (x2 , )
1
内有一个零点， n ， ………16 分
m
f (x)的三个不同零点的乘积为1 m n 1. ………17 分
19.解：（1）由题意得 P1(A) 0,P1(B)
1
,P 2
3 1
(C) ，
3
P2 (A)
2
P1(B)
1
P1(C)
2 1 1 2 4
，
3 3 3 3 3 3 9
P 12 (B) P1(A)
2
P (C) 1 0 2 2 41 ，3 3 3 3 3 9
P2 (C)
2
P (A) 1 P (B) 2 1 1 1 0 ，
3 1 3 1 3 3 3 9
P 23 (A) P2 (B)
1 P (C) 2 4 1 1 1 2 . ………5 分3 3 3 9 3 9 3
2 1
（2）由题意可得 Pn 1(A) Pn (B) Pn (C)， Pn 1(B)
1 2
Pn (A) P3 3 3 3 n
(C)，
Pn 1(C)
2
Pn (A)
1
Pn (B)，且 Pn (A) Pn (B) Pn (C) 1(n N
* )， ………8 分
3 3
P 2n 1(A) P
1 2 1
n (B) Pn (C) Pn (B) [1 P3 3 3 3 n
(A) Pn (B)]，
Pn (B) 3Pn 1(A) Pn (A) 1， Pn 1(B) 3Pn 2 (A) Pn 1(A) 1，
又 Pn 1(B)
1
Pn (A)
2
Pn (C)
1 P 2 n (A) [1
2 1
Pn (B) Pn (A)] Pn (A)
2
P (B)
3 3 3 3 3 3 3 n
2 1
Pn (A)
2 (3P 4
3 3 3 n 1
(A) Pn (A) 1) 2P (A) P (A)，3 n 1 n
3Pn 2 (A) P
4
n 1(A) 1 2P (A) P (A)，3 n 1 n
P (A) P 1 7 n 2 n 1(A) Pn (A) . ………11 分3 9
1
（3）由（2）得 Pn 2 (A) Pn 1(A) Pn (A)
7
，设 an Pn (A)
1
(n N * )，
3 9 3
则 a 1 1n 2 an 1 an 0，且 a1 ,a
1
，
3 3 2 9
x2 x 1 3 3i 3 3i由方程 0的根为 x , x ，
3 1 6 2 6
可得 an x
n kx n ( 3 3i )n k( 3 3i n1 2 ) ，6 6

a 3 3i 3 3i 1 k
1
,
6 6 3 k 1则 ，
3 3i 3
a2 ( )
2 ( 3 3i )2k 1 ,
6 6 9
a 1 [( 3 3i )n ( 3 3i )n ] 1 ( 3 )n[( 3 1 i)n ( 3 1n i)
n ]
3 6 6 3 3 2 2 2 2
2 ( 3 )n cos 5n P (A) 1 2 3 5n , n ( )
n cos . ………17 分
3 3 6 3 3 3 6
注：以上各题其它解法请酌情赋分.4.已知a=2,b=1,a-b=√7，则向量a与b夹角为
太原市2026年高三年级模拟考试（二）
A.60
B.120
数学
C.135
D.150°
5.已知随机变量~N(3,σ2)，且P(传≥3.5)=02，则下列结论正确的是
(考试时间：下午3：00一5：00)
A.P(E≤2)<0.1
B.P(2≤≤3)<0.3
注意事项
C.P(≥2)>0.8
D.P(5≥2)>0.9
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页.
2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上
6.已知{a},{b}分别是等差数列和等比数列，其前n项和分别是S和T,且a=b=1,a,+b,=5,
3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
T=3,则S=
:如
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效，
A.5或11
B.7或13
4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效
C.9或18
D.12或21
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
7.已知函数f(x)=(x2-a2)ln(x+b)(a>0),若f(x)≥0，则a2+2+2a的最小值为
第I卷（选择题共58分）》
A.1
3
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
C.2
合题目要求的
8.物体在太阳光照射下影子的长度是随着太阳高度（相对于地面）的变化而变化.如图，在某
1.已知集合U=1,2,3,4,5},A={1,2,3},B=(1,3,5},则(CA)∩B=
游
斜坡面道路旁A,B两点处（其中A在斜坡路面底，B在斜坡路面上），有两根长度均为10米
A.(4}
B.{5
且垂直于水平面放置的路灯杆，在阳光的照射下（阳光可视为平行光），A处路灯杆的影子
闻
C.{2,4,5)
D.{1,3,4,5】
在水平路面上，长度为10米；B处路灯杆的影子完全在斜坡路面上，长度为10V2米.则该
2.已知x-i=1,则1
斜坡面与水平面的夹角α：的正弦值为
1
A.V6-2
A.1
B.-1
4
杆
C.i
D.-i
B.V3-1
4
B
3.已知平面a与直线a,b满足a￠，bC&,则“a∥b”是a∥c"的
C5-1
水平面
4
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C,充要条件
D,既不充分也不必要条件
D.V14-v2
4
数学试题第1页（共8页）
数学试题第2页（共8页）

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