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中考复习--圆练习专题
1．如图，为的直径，为的弦，交于点D，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，求证：．
如图，是的直径，是的弦，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
如图，在中，直径与弦的延长线相交于点，，，弦于点，连接．
(1)求的度数．
(2)若，求的长．

如图，以等边的边为直径作，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的直径．
如图，以为直径的经过的顶点C，是的切线，过点A作的垂线，并延长，交的延长线于点E，延长，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
如图，为外接圆，为的直径，，是的切线，，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求阴影部分的面积．（结果不取近似值，请保留精确值）
如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
如图，在正方形中，，E为上一动点，连接，以的长为直径的与边交于点F．
(1)如图1，若，求的长．
(2)如图2，若与相切于点H，求的长．
如图，为的直径，为上一点，连接，和过点的切线互相垂直，垂足为．
(1)求证：平分．
(2)连接，若，，求的半径．
如图，四边形内接于，为的直径，，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
如图，是的直径，点C在上，且点C为的中点，连接并延长交的延长线于点D．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)过点C作，垂足为点F，求证：是的切线；
(3)在（2）的条件下，若的半径为6，，求的值．
如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的长度．
如图，为的直径，切于点，交于点，点在上，交于点，且，于点，连接．
(1)请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)若，，求的半径．
中考复习---圆专题练习答案
1．证明：过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点．连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．(1)
(2)4
（1）解：∵点C在上，是的直径
∴
∵
∴
∵
∴
（2）解：在中，，
∴
设，则
在中，，由勾股定理得：
∵，，
∴
∵解得：，（舍）
∴的长为4
3．(1)
(2)
（1）解：连接，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）解：∵，，
∴，
，是直径
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
4．(1)见解析
(2)10
（1）证明：如图，连接，
为等边三角形，
∴，
∵，
是等边三角形，
∴，
是的切线，
，即，
，
．
（2）解：由（1）知是等边三角形，
，
在中，，即，
解得，
，
的直径为10．
5．(1)见解析
(2)
（1）证明：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵为直径，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．(1)见详解
(2)
（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：连接，如下图，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，且为的直径，，
∴，，
∴阴影部分的面积
．
7．(1)；
(2)．
（1）证明：连接，如图，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：作于点，如图，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
8．(1)
(2)
（1）解：连接，
，，
为等边三角形，
，
，
，半径，
，
，
；
（2）解：连接并延长交于，
由对称性可知分别为中点，且，
在正方形中，，
，
，，
设的半径为，则，
在中，，
即，解得，
，
，
．
9．(1)见解析
(2)的半径为
（1）证明：如图，连接，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
即平分；
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
，，
，
，
的半径为．
10．(1)见解析
(2)
（1）证明：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图：连接交于点，
，
，
，
是的切线，
，
为的直径，
，
四边形是矩形，
∴，
，
，
由，可设，则，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
11．(1)等腰三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)
（1）解：是等腰三角形，理由如下：
如图1，连接，
是的直径，
，
，
，
∴
，
是等腰三角形；
（2）证明：如图2，连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（3）解：，，
，
，
，
，
由题意，，
，
．
12．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）证明：∵C是的中点，
，
．
∵是的直径，
．
，
．
，
；
，
；
（2）证明：连接，如图，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
．
∵为的半径，
∴是的切线；
（3）解：过点O作于点F，如图，
则，
，
．
，，，
∴四边形为矩形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
13．(1)，理由见解析；
(2)见解析；
(3)的半径长为．
（1）解：，理由如下，
∵为的直径，
∴，
∴；
（2）证明：∵是的切线，
∴，
∴，即，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）解：连接，如图所示，
∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴的半径长为．
13．见解析
【分析】连接，根据相切得出，根据推出，再根据圆的性质得出，对顶角相等得，最后等量代换即可求解．
【详解】证明：过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点．连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
14．(1)
(2)4
【分析】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质以及勾股定理等知识：
（1）由圆周角定理得，根据直径所对圆周角是直角可知，再由三角形内角和定理可求出的度数；
（2）由角所骊直角边等于斜边的一半知，再由勾股定理可求出的长．
【详解】（1）∵点C在上，是的直径
∴
∵
∴
∵
∴
（2）在中，，
∴
设，则
在中，，由勾股定理得：
∵，，
∴
∵解得：，（舍）
∴的长为4
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了圆的基本知识，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；
（1）根据，，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后根据三角形外角的性质得出答案即可．
（2）根据握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出，根据直角三角形求出CH，由垂径定理得．
【详解】（1）解：连接，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）∵，，
∴，
，是直径
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
16．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，再证明是等边三角形得出，由切线的性质可得，求出，即可得证；
（2）由（1）可得，再解直角三角形求出，即可得出结果．
【详解】（1）证明：如图，连接，
为等边三角形，
∴，
∵，
是等边三角形，
∴，
是的切线，
，即，
，
．
（2）解：由（1）知是等边三角形，
，
在中，，即，
解得，
，
的直径为10．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，由切线得到，然后得到，然后结合等边对等角，等量代换得到，即可得到；
（2）如图所示，连接，由直径得到，利用勾股定理求出，利用三线合一得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵为直径，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．(1)见详解
(2)
【分析】（1）首先证明，结合，即可证明结论；
（2）用梯形的面积减去扇形的面积即得阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）连接，如下图，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，且为的直径，，
∴，，
∴阴影部分的面积
．
19．(1)；
(2)．
【分析】（1）连接，利用切线的性质结合已知判定出，得出，由等弧对等角得，再利用角的等量代换即可解答；
（2）作于点，证明四边形是矩形，求出，再利用垂径定理、勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：作于点，如图，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】（1）先得到为等边三角形，进而得到，再解三角形得到，结合扇形弧长公式求解；
（2）连接并延长交于，设的半径为，利用勾股定理求出，再解三角形得到，进而得到．
【详解】（1）解：连接，
，，
为等边三角形，
，
，
，半径，
，
，
；
（2）解：连接并延长交于，
由对称性可知分别为中点，且，
在正方形中，，
，
，，
设的半径为，则，
在中，，
即，解得，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)的半径为
【分析】（1）连接，由得到，结合切线的性质得到，由，得到，推出，即可得证；
（2）证明得到，求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
即平分；
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
，，
，
，
的半径为．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆内接四边形的性质可得，再结合三角形内角和定理得出，结合题意可得，即可得证；
（2）连接交于点，证明四边形是矩形，得出，由垂径定理可得，设，则，，，证明为的中位线，得出，由勾股定理可得，从而可得，即可得出结果．
【详解】（1）证明：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图：连接交于点，
，
，
，
是的切线，
，
为的直径，
，
四边形是矩形，
∴，
，
，
由，可设，则，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
23．(1)等腰三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图1，连接，由是的直径，得到，根据，得到，求得；
（2）如图2，连接，，证明过半径的外端点垂直于这条半径的直线是圆的切线；
（3）证明，由相似三角形的性质求得，根据勾股定理得到，再求得的正弦即可．
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
如图1，连接，
是的直径，
，
，
，
∴
，
是等腰三角形；
（2）证明：如图2，连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（3）解：，，
，
，
，
，
由题意，，
，
．
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）证明，然后根据相似三角形的性质即可得证；
（2）连接，根据等边对等角并结合（1）中结论可得出，然后根据平行线的判定与性质可得出，最后根据切线的判定即可得证；
（3）过点O作于点F，根据垂径定理得出，证明四边形为矩形得出，结合已知可求出，最后根据弧长公式求解即可.
【详解】（1）证明：∵C是的中点，
，
．
∵是的直径，
．
，
．
，
；
，
；
（2）证明：连接，如图，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
．
∵为的半径，
∴是的切线；
（3）解：过点O作于点F，如图，
则，
，
．
，，，
∴四边形为矩形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
25．(1)，理由见解析；
(2)见解析；
(3)的半径长为．
【分析】（）利用圆周角定理，垂直定义即可求解；
（）由是的切线，则，得，又，所以，然后通过角度和差，等腰三角形的判定方法即可求证；
（）连接，通过圆周角定理可得，所以，由角平分线性质可得，因为，，，所以，通过勾股定理得，设的半径为，则，，，由即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
∵为的直径，
∴，
∴；
（2）证明：∵是的切线，
∴，
∴，即，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）解：连接，如图所示，
∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴的半径长为．
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