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第四章《因式分解》单元测试·培优卷
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的定义．分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【详解】解：A.是整式的乘法，不是因式分解；
B. 是整式的乘法，不是因式分解；
C. 是因式分解；
D. 最后运算加法，不是因式分解；
故选：C．
2．（3分）（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）将多项式因式分解时，应提取的公因式是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查公因式的确定，在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂，据此即可求解．
【详解】解：，
故因式分解时，应提取的公因式是，
故选：A．
3．（3分）（24-25七年级下·浙江金华·期末）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式，判断各选项是否能表示为两个平方的差．
【详解】解：A、，可变形为，即，符合平方差公式，分解为，符合题意；
B、，提取负号后为，是两平方项的和，无法用平方差公式分解，不符合题意；
C、，不是完全平方项（系数需为平方数），且中为一次项，无法构成平方差，不符合题意；
D、，同样因为一次项，无法表示为平方项，不符合平方差条件，不符合题意．
故选：A．
4．（3分）（24-25七年级下·河南平顶山·期中）若n为整数，关于代数式的值，下列说法属于随机事件的是（ ）
A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除
【答案】A
【分析】本题主要考查了事件的分类，因式分解，把原式先提取公因式6，再利用平方差公式分解因式得到，则一定能被2或3或6整除，可能被9整除，也能可能不被9整除，再一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此可得答案，
【详解】解：
，
∵n为整数，
∴是整数，
∴一定能被2或3或6整除，可能被9整除，也能可能不被9整除，
∴被9整除是随机事件，被3或被6或被2整除都是必然事件，
故选：A．
5．（3分）（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）计算 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握提公因式法．首先提取公因式，得到，即可求解．
【详解】解：
故选：A．
6．（3分）将多项式分解因式的结果为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分组，然后根据提公因式法与平方差公式进行因式分解即可求解．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．（3分）（24-25八年级下·山东枣庄·期末）李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．美丽中国 B．我爱中国 C．我爱美 D．我爱美丽
【答案】B
【分析】本题考查因式分解的应用．
先提取公因式，再提根据完全平方公式分解因式，再根据对应的汉字判断即可．
【详解】解：
，
∵对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”，
∴组合结果只有B“我爱中国”符合，
故选：B．
8．（3分）（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）给出下面四个多项式：①；②；③；④．其中含因式的多项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查提取公因式和公式分解因式，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
【详解】解：①；
②；
③；
④不能分解因式；
其中含有因式的多项式为：①②③，共3个，
故选C．
9．（3分）（24-25八年级下·河南郑州·期末）小明给同桌小亮出了一道因式分解的题目“若多项式（ ）可以因式分解，括号里填什么？”小亮不能填的整式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解．添加各项，再看能否分解，即可判断．
【详解】解：A、多项式为，，可以分解，本选项不符合题意；
B、多项式为，
，可以分解，本选项不符合题意；
C、多项式为，
，可以分解，本选项不符合题意；
D、多项式为，
，不可以分解，本选项符合题意；
故选：D．
10．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（　　）
A．5 B．6 C．3 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论．
【详解】解： ，，，
，，，
，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·广东阳江·期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤．
先提取公因式，再利用平方差公式继续分解．
【详解】解：．
故答案为：．
12．（3分）（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可．
【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下：
，
∴符合题意，
故答案为：（答案不唯一）．
13．（3分）若a，b，c为的三边，且，则的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【分析】利用分组分解因法整理得，由于a，b，c都为正数，进而可求解．
【详解】解：，
a，b，c都为正数，
，即，
是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解及等腰三角形的判定，熟练掌握分组分解因式法是解题的关键．
14．（3分）（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则代数式，的大小关系是 ．
【答案】
【分析】此题考查了整式加减法和因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．把变形为，根据即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（3分）将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解 ．
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解的应用，矩形和正方形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
根据图形可知，图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积，列式即可．
【详解】解：图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积，
即：，
∴根据图形写出一个多项式的因式分解为
故答案为：．
16．（3分）（2025·四川成都·二模）正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差 ，则这两个正方形的边长之和为 .
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键．设正方形Ⅰ的边长为 正方形Ⅱ的边长为 ，根据题意可得：，，然后进行计算即可解答．
【详解】解：设正方形Ⅰ的边长为 ，正方形Ⅱ的边长为 ，
由题意得：，，
，，
解得：，
这两个正方形的边长之和为，
故答案为：．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级上·江西宜春·期中）把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式因式分解、平方差公式因式分解等知识，熟练掌握因式分解的方法求解是解决问题的关键．
（1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）先对式子恒等变形，再提公因式即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（6分）（24-25七年级下·山东潍坊·期末）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
（2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
（3）运用平方差公式进行因式分解，最后再提公因式，即可作答．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
．
19．（8分）（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
（1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解；
（2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
20．（8分）（24-25七年级下·河北沧州·期末）一次随堂练习，珍珍做了如下四道因式分解题：
①；
②；
③；
④．
(1)珍珍做错的或不完整的题目是_________（填序号）；
(2)请写出（1）题中标记做错或不完整题目的正确解题过程．
【答案】(1)②④
(2)②；④
【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键．
（1）根据提取公因式法和公式法分别判断即可；
（2）②先提取公因式，再用平方差公式分解，④先提取公因式，再用完全平方公式公式分解．
【详解】（1）解：①，因式分解正确；
②，因式分解不彻底，还可以使用平方差公式继续分解；
③，因式分解正确；
④，因式分解错误，应先提取公因式，再用完全平方公式分解；
故答案为：②④；
（2）解：②；
④．
21．（10分）（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值．
(2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
(3)分解因式：．
【答案】(1)；
(2)m、n的值分别为和0；
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组：
（1）根据题意当时，，则，据此求解即可；
（2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可；
（3）先分组得到，再利用提公因式法和十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：当时，，
∵是多项式的一个因式，
∴当时，，
∴，
∴
（2）解：∵和是多项式的两个因式，
∴当或时，，
∴或时，，
∴，
解得，
∴原多项式为；
（3）解：
．
22．（10分）（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等
①分组分解法：例如：
．
②拆项法：例如：
．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)当，，满足时，求，，的值．
【答案】(1)①；②
(2)，，
【分析】本题主要考查了因式分解及其因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
（1）根据题干中提供的信息用分组分解法和拆项法分解因式即可；
（2）根据得出，根据非负数的性质求出结果即可．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：，
，
，
，，，
，，，
，，．
23．（12分）（24-25八年级下·河南平顶山·期末）小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义．
(1)如图1，小明把左侧两个正方形和两个长方形，拼接为右边的一个大正方形，计算发现：左侧四个图形的面积和为___________，右侧大正方形的面积为___________，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：___________；
(2)按照小明的思路，图2的四个图形也可以拼成一个大长方形．
①拼成的大长方形的长为___________，宽为___________；
②根据图2的拼接，写出该多项式的因式分解．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积，因式分解的应用；
（1）观察图象可知大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论；
（2）观察图象可知大长方形面积等于1个正方形面积加上3个长方形面积，即可得到结论；
【详解】（1）左侧四个图形的面积和为，右侧大正方形的面积为，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：；
故答案为：；
（2）解：①拼成的大长方形的长为，宽为，
故答案为： ；
②依题意， ．
24．（12分）（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：的最小值．
解：原式
，
当时，的值最小，最小值为0，
，
当时，的值最小，最小值为1984，
代数式：的最小值是1984．
例如：分解因式：
解：原式
．
(1)分解因式；
(2)若，求的最大值；
【答案】(1)
(2)1314
【分析】本题考查了因式分解，准确理解题意是解题的关键．
（1）根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可；
（2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
的最大值1314．中小学教育资源及组卷应用平台
第四章《因式分解》单元测试·培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）将多项式因式分解时，应提取的公因式是
A． B． C． D．
3．（3分）（24-25七年级下·浙江金华·期末）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（24-25七年级下·河南平顶山·期中）若n为整数，关于代数式的值，下列说法属于随机事件的是（ ）
A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除
5．（3分）（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）计算 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）将多项式分解因式的结果为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）（24-25八年级下·山东枣庄·期末）李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．美丽中国 B．我爱中国 C．我爱美 D．我爱美丽
8．（3分）（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）给出下面四个多项式：①；②；③；④．其中含因式的多项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）（24-25八年级下·河南郑州·期末）小明给同桌小亮出了一道因式分解的题目“若多项式（ ）可以因式分解，括号里填什么？”小亮不能填的整式是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（　　）
A．5 B．6 C．3 D．8
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·广东阳江·期末）分解因式： ．
12．（3分）（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
13．（3分）若a，b，c为的三边，且，则的形状是 ．
14．（3分）（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则代数式，的大小关系是 ．
15．（3分）将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解 ．
16．（3分）（2025·四川成都·二模）正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差 ，则这两个正方形的边长之和为 .
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级上·江西宜春·期中）把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
18．（6分）（24-25七年级下·山东潍坊·期末）因式分解：
(1)
(2)
(3)
19．（8分）（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
20．（8分）（24-25七年级下·河北沧州·期末）一次随堂练习，珍珍做了如下四道因式分解题：
①；
②；
③；
④．
(1)珍珍做错的或不完整的题目是_________（填序号）；
(2)请写出（1）题中标记做错或不完整题目的正确解题过程．
21．（10分）（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值．
(2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
(3)分解因式：．
22．（10分）（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等
①分组分解法：例如：
．
②拆项法：例如：
．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)当，，满足时，求，，的值．
23．（12分）（24-25八年级下·河南平顶山·期末）小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义．
(1)如图1，小明把左侧两个正方形和两个长方形，拼接为右边的一个大正方形，计算发现：左侧四个图形的面积和为___________，右侧大正方形的面积为___________，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：___________；
(2)按照小明的思路，图2的四个图形也可以拼成一个大长方形．
①拼成的大长方形的长为___________，宽为___________；
②根据图2的拼接，写出该多项式的因式分解．
24．（12分）（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：的最小值．
解：原式
，
当时，的值最小，最小值为0，
，
当时，的值最小，最小值为1984，
代数式：的最小值是1984．
例如：分解因式：
解：原式
．
(1)分解因式；
(2)若，求的最大值；

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