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2025-2026学年度第二学期期中考试 准考证号

初二数学 答题卡 21. （本题6分）
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]
姓名： 班级： 考场/座位号： [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]
[3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3]
1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4]
2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5]
注意事项 3．主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6]
4．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7]
5．保持答卷清洁、完整。 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8]
正确填涂 缺考标记 [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
22. （本题6分）
11. 12. 13. 14.
15. 16. 17. 18.
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19. （ 本题6分）因式分解：
2
(1) 8m 12mn (2) a2 (x y) + b2 (y x)
23. （本题10分）（2） （3）
20. （本题8分）（1） （2）
24. （ 本题10分）（1）
26. （本题12分）（1）
25. （ 本题8分）2025-2026学年度第二学期期中考试
初二数学 2026年 4月
参考答案与试题解析
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B D C C A B B
一、选择题（共 10 小题）
1．下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择普查
B．为了解当地电视台某栏目的收视率，选择普查
C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查
D．为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查
【解答】解：A．为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择抽样调查，故本选项不符合题意；
B．为了解当地电视台某栏目的收视率，选择抽样调查，故本选项不符合题意；
C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择普查，故本选项不符合题意；
D．为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查，故本选项符合题意．
故选：D．
2
2．把多项式 2m ＋8mn 分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．2 B．m C．2m D．2n
【解答】解：根据确定公因式的方法可知：
2
系数 2 和 8 的最大公因数为 2，变量 m 和 mn 都含有 m，
∴公因式为 2m．
故选：C．
3．如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，AD＝BC，以下条件能判断四边形 ABCD 是平行四
边形的是（ ）
A．AB∥CD B．∠DAO＝∠BCO C．AD＝AC D．∠BAD＝∠DCB
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD＝BC，不能判断四边形 ABCD 是平行四边形，故不符合题意；
B、∵∠DAO＝∠BCO，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，故符合题意；
C、∵AD＝AC，不能判断四边形 ABCD 是平行四边形，故不符合题意；
D、∵∠BAD＝∠DCB，不能判断四边形 ABCD 是平行四边形，故不符合题意；
故选：B．
4．在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有 48 名学生，达到优秀的有 15 人，合
格的有 21 人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是（ ）
A．12 B．0．25 C．36 D．0．75
【解答】解：不合格的人数：48﹣15﹣21＝12，
不合格人数的频率：12÷48＝0．25，
故选：B．
5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直
【解答】解：A、对角线互相平分，菱形和矩形都具有；
B、对角线相等，菱形不一定具有的性质；
C、对边平行且相等，菱形和矩形都具有；
D、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质；
故选：D．
6．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
2 2
A．x（x﹣1）＝x ﹣x B．x ＋3x＋3＝x（x＋3）＋3
2 2 2 2
C．x ﹣2x＋1＝（x﹣1） D．（x＋y）（x﹣y）＝x ﹣y
2
【解答】解：x（x﹣1）＝x ﹣x 是乘法运算，则 A 不符合题意，
2
x ＋3x＋3＝x（x＋3）＋3 中等号右边不是积的形式，则 B 不符合题意，
2 2
x ﹣2x＋1＝（x﹣1） 符合因式分解的定义，则 C 符合题意，
2 2
（x＋y）（x﹣y）＝x ﹣y 是乘法运算，则 D 不符合题意，
故选：C．
7．为了解某地区 10000 名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了 800 名八年级学生
进行体质健康状况调查，并进行统计分析．下列说法正确的是（ ）
A．10000 名八年级学生的全体是总体
B．每个八年级学生是个体
C．800 名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本
D．样本容量是 10000
【解答】解：A．总体是 10000 名八年级学生的体质健康状况的全体，故本选项不符合题意；
B．每个八年级学生的体质健康状况是个体，故本选项不符合题意；
C．800 名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本，故本选项符合题意；
D．样本容量是 800，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，在△ABC 中∠BCA＝90°，点 P 为斜边 AB 上一动点，过点 P 作 PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为
D，E，连接 DE．若 AB＝13，BC＝12，则 DE 的长不可能等于（ ）
9 11
A． B．5 C． D．6
2 2
【解答】解：在△ABC 中，∠BCA＝90°，PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为 D，E，连接 CP，
∴四边形 CEPD 为矩形，
∴DE＝CP，
∵点 P 为斜边 AB 上一动点，
∴当 CP⊥AB 时 CP 最短，
在直角三角形 ABC 中，由勾股定理得： ＝ 2 2＝5，
1 1
当 CP⊥AB 时，则 ＝ ，即 5×12＝13CP，
2 2
60
解得： ＝ ，
13
60
∴ ≤ ≤ 12，
13
60
∴ ≤ ≤ 12，
13
9 60
∵ ＜ ，
2 13
9
∴DE 的长不可能为 ；
2
故选：A．
9．如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝BC＝3cm，∠A＝60°，BD 平分∠ABC，则梯形的周长
为 （ ）
D C
A B
A．12 cm B．15 cm C．18 cm D．21 cm
【解答】解：∵四边形 ABCD 是等腰梯形，DC∥AB，∠A＝60°，
∴∠CBA＝∠A＝60°，
∵BD 平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD＝30°，
∴∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴DC＝BC＝3cm，
∵∠A＝60°，∠ABD＝30°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2AD＝6cm，
∴梯形 ABCD 的周长为 AD+DC+BC+AB＝3cm+3cm+3cm+6cm＝15cm．
故选：B．
10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转得到△A′BC′，其
中点 A、C 的对应点分别为点 A′、C′，连接 AA′、CC′，直线 CC′交 AA′于点 D．则 DC′的最大值为
（ ）
24
A． B．5 C．3 3 D．4 2
5
A'
C'
C
D
A B
【解答】解：如图 1，过 A 点作 AE// A′C′，交 C′D 的延长线于点 E，
A'
C'
C
D
E B
A
α α
设旋转角∠CBC'＝α，则∠BCC'＝∠BC'C＝90－ ，∠ACE＝∠A'C'E＝
2 2
α
∴∠AEC'＝
2
∴AE＝AC＝A'C'
易证△AED≌△A'C'D
AD＝A'D
即 D 为 AA'的中点，
如图 2，连接 BD，
A'
C'
C
D
E B
A
∵BA＝BA'
∴BD⊥AA'
∴如图 3，取 A'B 中点 M，连接 C'M，连接 DM
A' C'
C
D M
E B
A
5
∴C'M＝DM＝
2
∴DC'≤C'M＋DM＝5
故选：B．
二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
11．商店某天卖出橙汁 20 瓶、可乐 26 瓶、矿泉水 14 瓶，若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“橙
汁”部分的扇形的圆心角度数为 ．
20 1
【解答】解：“橙汁”在总销量中所占的比例为： = ，
20+26+14 3
1
∴表示“橙汁”部分的扇形的圆心角度数是 360°× =120°．
3
故答案为：120°．
2
12．若 b 为整数，且 x＋1 是 x ＋bx＋3 的一个因式，则 b 的值为 4 ．
【解答】解：设另一个因式为 x＋m，
则（x＋1）（x＋m）
2
＝x ＋mx＋x＋m
2
＝x ＋（m＋1）x＋m
2
＝x ＋bx＋3，
那么 m＝3，b＝m＋1＝3＋1＝4，
故答案为：4．
13．若菱形的两条对角线分别为 2 和 3，则此菱形的面积是 3 ．
1
【解答】解：由题意，知：S 菱形＝ ×2×3＝3， 2
故答案为：3．
14．如图，在 ABCD 中，∠A＝64°，将平行四边形 ABCD 绕顶点 B 顺时针旋转到平行四边形 A1BC1D1，
当 C1D1 首次经过顶点 C 时，旋转角的度数为 52 °．
【解答】解∵将平行四边形 ABCD 绕顶点 B 顺时针旋转到平行四边形，
∴BC＝BC1，
∴∠BCC1＝∠C1，
∵∠A＝64°，
∴∠BCD＝∠C1＝64°，
∴∠BCC1＝∠C1＝64°，
∴∠CBC1＝180°﹣2×64°＝52°，
即旋转角的度数为 52°，
故答案为：52．
15．有六张写着不同整式的卡牌，如图所示，游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个
2 2 2
多项式，并将你所组成的多项式分解因式 a ＋2ab＋b ＝（a＋b） （答案不唯一） ．
2 2 2 2
【解答】解：选取 a ，2ab，b 组成 a ＋2ab＋b ，
2 2 2
则 a ＋2ab＋b ＝（a＋b） ．
2 2 2
故答案为：a ＋2ab＋b ＝（a＋b） （答案不唯一）．
2 2
16．已知如图，在四边形 ABCD 中，AC＝BD＝6，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，则 EG +FH
＝ ．
【解答】解：如图所示，谅解 EF，EH，GF，GH，EG 与 FH 交于点 O，
∵E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，
∴在△ABD 中， 1 = = 3，EH∥BD，
2
同理，在△BCD 中， 1 = = 3，FG∥BD，
2
1
在△ABC 中， = = 3，EF∥AC，
2
1
在△ACD 中， = = 3，HG∥AC，
2
∴ = = = = 3，
∴四边形 EFGH 是菱形，
1 1
∴EG⊥FH， = = ， = = ，
2 2
2 2 2
在 Rt△OEH 中，OE +OH ＝EH ，
∴4 2 + 4 2 = 4 2 = 4 × (3)2 = 36，
2 2
∴（2OE） +（2OH） ＝36，
2 2
∴EG +FH ＝36，
故答案为：36．
4 2 5 4 3
17．已知 a ＋a ＋a＋1＝0，则 a ﹣a ＋a ＋1 的值为 2 ．
4 2
【解答】解：∵a ＋a ＋a＋1＝0，
4 2
∴a ＝﹣a ﹣a﹣1，
5 4 3
∴a ﹣a ＋a ＋1
4 3
＝a （a﹣1）＋a ＋1
2 3
＝（﹣a ﹣a﹣1）（a﹣1）＋a ＋1
3 2 2 3
＝﹣a ＋a ﹣a ＋a﹣a＋1＋a ＋1
3 3 2 2
＝（﹣a ＋a ）＋（a ﹣a ）＋（a﹣a）＋2
＝2．
故答案为：2．
18．如图，四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形，点 E 在边 AD 所在直线上，连接 BE，以 BE 为边，作正方
形 BEFG（点 B，E，F，G 按逆时针排列）．当正方形 BEFG 中的某一顶点落在直线 AC 上时（不与点 A
重合），则正方形 BEFG 的边长为 3 5或6 5 ．
【解答】解：当点 F 在直线 AC 上时，如图 1，过点 F 作 FM⊥AD，交 DA 的延长线于 M，
则∠FMA＝90°，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠CAD＝45°，∠BAE＝90°，
∴∠FAM＝∠CAD＝45°，∠AEB＋∠EBA＝90°，
∴△AFM 是等腰直角三角形，
∴AM＝FM，
∵四边形 BEFG 是正方形，
∴EF＝BE，∠BEF＝90°，
∴∠EBA＋∠FEM＝90°，
∴∠EBA＝∠FEM，
在△AEB 和△MFE 中，
∠ ＝∠
∠ ＝∠ ，
＝
∴△AEB≌△MFE（AAS），
∴AE＝FM，AB＝EM，
∴AE＝AM＝FM，
∵AE＋AM＝EM，
∴2AE＝AB＝6，
∴AE＝3，
在 Rt△ABE 中， 2＝ 2＋ 2＝ 62＋32＝3 5，
∴此时正方形 BEFG 的边长为3 5．
当点 G 在直线上 AC 时，过点 G 作 GM⊥AB，交 BA 的延长线于 M，如图 2，
同理可得：△AEB≌△MBG（AAS），
∴GM＝AB＝6，BM＝AE，
∵∠CAB＝∠MAG＝45°，∠M＝90°，
∴△AGM 是等腰直角三角形，
∴AM＝GM，
∴AM＝AB＝6，
∴BM＝12，
在 Rt△BGM 中， ＝ 2＋ 2＝ 122＋62＝6 5，
∴此时正方形 BEFG 的边长为6 5．
综上分析可得：正方形 BEFG 的边长为3 5或6 5．
故答案为：3 5或6 5．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）
19．（本题 6 分）分解因式：
2
（1）8m ﹣12mn；
2 2
（2）a （x﹣y）＋b （y﹣x）．
2
【解答】解：（1）8m ﹣12mn＝4m（2m﹣3n）； 3 分
2 2
（2）a （x﹣y）＋b （y﹣x）
2 2
＝（x﹣y）（a ﹣b ）
＝（x﹣y）（a＋b）（a﹣b）． 3 分
20．（本题 8 分）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调
查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 450 ；2 分
（2）扇形统计图中 A 对应圆心角的度数为 36 °；2 分
（3）请补全条形统计图；2 分
（4）若该地区九年级学生共有 25000 人，请估计其中视力正常的人数．2 分
【解答】解：（1）此次调查的样本容量为：117÷26%＝450，
故答案为：450；
45
（2）扇形统计图中 A 对应圆心角的度数为：360°× ＝36°，
450
故答案为：36；
（3）样本中 B 的人数为：450﹣45﹣117﹣233＝55（人），
补全条形统计图如下：
45
（4）25000× ＝2500（人），
450
答：其中视力正常的人数大约为 2500 人．
21．（本题 6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上的点，且 BE＝DF，连接 AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；3 分
（2）连接 AF，CE，若 AB＝AD，求证：四边形 AFCE 是菱形．3 分
【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
在△ADE 和△CBF 中，
＝
∠ ＝∠ ，
＝
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）连接 AC，交 BD 于点 O，
∵AB＝AD，四边形 ABCD 是平行四边形，
∴四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形 AECF 是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形 AECF 是菱形．
22．（本题 6 分）已知矩形 ABCD 中，AD＝10，P 是 AD 边上一点，连接 BP，将△ABP 沿着直线 BP 折叠
得到△EBP．
（1）如图 1，若 AB＝6，当 P、E、C 三点在同一直线上时，求 AP 的长；3 分
（2）请在图 2 上用没有刻度的直尺和圆规，在 AD 边上作出一点 P，使 BE 平分∠PBC（不写作法，保
留作图痕迹）3 分
【解答】解：（1）如图 1 中，由翻折变换的性质可知，∠APB＝∠EPB，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝10，AB＝CD＝6，∠D＝90°，
∴∠APB＝∠PBC＝∠EPB，
∴CP＝CB＝10，
∴PD＝ 2 2＝ 102 62＝8，
∴AP＝AD＝PD＝10﹣8＝2；
（2）如图，点 P 即为所求；
23．（本题 10 分）【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
定理证明：
（1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图 1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在△ABC 中，∠ABC＝90°，点 O 是 AC 边的中点．
1
求证： ＝ ；4 分
2
【知识应用】（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N 分别为 AC，CD 的中点，
连接 BM，MN，BN．若∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC＝8，则 BN 的长为 4 2 ；2 分
【性质延伸】（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB＝4，CD＝6，BC﹣AD＝2．在四
边形 ABCD 内存在一点 P，点 P 到四边形 ABCD 四个顶点的距离均为 d，则 d 的值为 13 ．4 分
【解答】（1）证明：延长 BO 至 D，使 OD＝OB，连接 AD，CD，
∵点 O 是 AC 边的中点，
∴AO＝CO，
∵BO＝OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形 ABCD 是矩形，
∴AC＝BD，
1 1
∴ ＝ ＝ ；
2 2
（2）解：在△CAD 中，
∵M、N 分别是 AC、CD 的中点，
1
∴MN∥AD， ＝ ，
2
在 Rt△ABC 中，
∵M 是 AC 中点，
1
∴ ＝ ，
2
∵AC＝AD，
∴MN＝BM，
∵∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
1
∴ ＝ ＝ ＝ ，
2
∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°，
∵MN∥AD，
∴∠NMC＝∠DAC＝30°，
∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°，
2 2 2
∴B N ＝B M ＋M N ，
1
∴ ＝ ＝ ＝4，
2
∴ ＝ 2＋ 2＝4 2；
故答案为：4 2；
（3）解：如图，连接 AC，取 AC 的中点 P，连接 PB，PD，
1
由（1）可知 ＝ ＝ ＝ ＝ ，
2
则点 P 到四边形 ABCD 四个顶点的距离均为 d，即 PA＝PB＝PC＝PD＝d，
设 AD＝x，则 BC＝x＋2，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
2 2 2 2
∴AD ＋DC ＝AB ＋BC ，
2 2 2 2
∴x ＋6 ＝4 ＋（x＋2） ，
∴x＝4，
∴AD＝4，
∴ ＝ 2＋ 2＝ 42＋62＝2 13，
1
∴点 P 到四边形 ABCD 四个顶点的距离 ＝ ＝ 13． 2
故答案为： 13．
2 2 2 2
24．（本题 10 分）综合阅读与实践．我们把多项式 a ＋2ab＋b ，a ﹣2ab＋b 叫做完全平方式，在运用完
全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性．于
是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的
最大（或最小）值问题．
2 2 2
例如：①x ＋2x＋4＝x ＋2x＋1＋3＝（x＋1） ＋3，
2 2 2
∵（x＋1） 是非负数，即（x＋1） ≥0．∴（x＋1） ＋3≥3，
2
则当 x＝﹣1 时，代数式 x ＋2x＋4 的最小值是 3；
2 2 2 2 2
②3x ﹣6x＋5＝3（x ﹣2x）＋5＝3（x ﹣2x＋1﹣1）＋5＝3（x﹣1） ﹣3＋5＝3（x﹣1） ＋2，
2 2 2
∵（x﹣1） 是非负数，即（x﹣1） ≥0，∴3（x﹣1） ＋2≥2，
2
则当 x＝1 时，代数式 3x ﹣6x＋5 取得最小值 2．
请根据阅读内容，完成以下问题：
2
（1）知识再现：当 x＝ 2 时，代数式 x ﹣4x＋6 的最小值是 2 ；4 分
2
（2）知识运用：若 y＝﹣x ＋4x＋1，求当 x 为何值时，y 有最大值，并求出最大值；3 分
2
（3）知识拓展：若 x ＋5x＋y﹣4＝0，求 3x＋y 的最大值．3 分
【解答】解：（1）根据题目中的配方法求解可知：
2 2 2
x ﹣4x＋6＝x ﹣4x＋4﹣4＋6＝（x﹣2） ＋2，
2 2
∵（x﹣2） 是非负数，即（x﹣2） ≥0
2
∴（x﹣2） ＋2≥2，
2
则当 x＝2 时，x ﹣4x＋6 有最小值 2．
故答案为：2，2．
2 2 2 2
（2）y＝﹣x ＋4x＋1＝﹣（x ﹣4x）＋1＝﹣（x ﹣4x＋4）＋4＋1＝﹣（x﹣2） ＋5，
2 2
∵（x﹣2） 是非负数，即（x﹣2） ≥0，
2
∴﹣（x﹣2） ≤0，
2
∴﹣（x﹣2） ＋5≤5，
则当 x＝2 时，y 有最大值 5．
2
（3）由条件可得 y＝﹣x ﹣5x＋4，
2
∴3x＋y＝3x﹣x ﹣5x＋4
2
＝﹣x ﹣2x＋4
2
＝﹣（x ＋2x＋1）＋1＋4
2
＝﹣（x＋1） ＋5，
2
∵（x＋1） ≥0，
2
∴﹣（x＋1） ＋5≤5，
则当 x＝﹣1 时，3x＋y 有最大值 5．
25．（本题 8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点 P 从点 B 出发，沿射线
BC 方向运动；点 Q 从点 D 同时出发，沿 DA 方向运动，到点 A 为止，运动的时间为 t．
（1）若点 P 的运动速度为 3 个单位/秒，点 Q 的运动速度为 1 个单位/秒，若运动到以点 P、C、D、Q
为顶点的四边形为平行四边形时，求 t 的值；4 分（每种情形 2 分）
（2）若点 P 的运动速度为 m 个单位/秒，点 Q 的运动速度为 n 个单位/秒，若运动中能使以点 P、C、D，
Q 为顶点的四边形为菱形，请直接写出 m、n 的数量关系．4 分（每种情形 2 分）
【解答】解（1）①如图 1，当点 P 在 BC 上时，
DQ＝t，PC＝10﹣3t，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴DQ∥PC，
若四边形 PCDQ 是平行四边形，
则 DQ＝PC，
∴t＝10﹣3t，
∴t＝2.5（秒）．
②如图 2，当点 P 在 BC 的延长线上时，
PC＝3t﹣10，
若四边形 PCDQ 是平行四边形，
则 DQ＝PC，
∴t＝3t﹣10，
∴t＝5（秒）．
综上得，t＝2.5 秒或 5 秒时，以点 P、C、D，Q 为顶点的四边形为平行四边形．
（2）①如图 1，当点 P 在 BC 上时，
若四边形 PCDQ 是平行四边形，
则 DQ＝PC＝CD＝6，
∴nt＝10﹣mt＝6，
∴mt＝4，
2
∴ ＝ ，
3
∴3m＝2n．
②如图 2，当点 P 在 BC 的延长线上时，连接 PQ，交 CD 于 E，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝ 2 2＝ 102 62＝8，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠ACD＝90°，
∵四边形 PCDQ 是菱形，
∴PQ⊥CD，CE＝DE，PE＝QE，
∴PQ∥AC，
∴四边形 ACPQ 是平行四边形，
∴PQ＝AC＝8，
∴QE＝PE＝4，
∴DQ＝PD＝ 2＋ 2＝ 32＋42＝5，
∴nt＝mt﹣10＝5，
∴m＝3n．
综上得，3m＝2n 或 m＝3n 时，以点 P、C、D，Q 为顶点的四边形为菱形．
26．（本题 12 分）【综合与实践】初二年级的同学们在新课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任
务．
【研究素材】若干张全等的矩形纸片 ABCD，其中 AB＝3，BC＝6．
【探究 1】 【任务 1】
小明按如图1的方式沿BE折叠纸片 （1）若∠AEB＝50°，则∠EFB＝
ABCD，点 A 与点 A′对应，EA′的延 80 °；2 分
长线与 BC 交于点 F．
【探究 2】 【任务 2】
如图 2，小丽计划利用这张纸片剪 （2）①请你帮助小丽用无刻度的直
出一个面积最大的菱形． 尺和圆规作出这个菱形（不写作法，
保留作图痕迹）；2 分
②求小丽剪出的菱形的边长．2 分
【探究 3】 【任务 3】
如图 3，点 E 是线段 AD 上的动点， （3）连接 B′C、A′C，当△A′B′C 是
小亮利用绘图软件将△ABE 绕点 E 以 B'C 为腰的等腰三角形时，直接
逆时针旋转 90°至△A′B′E． 写出 AE 的长．6 分（每种 2 分）
【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF＝50°，
由折叠性质可知∠AEB＝∠A′EB＝50°，
∴∠EFB＝180°﹣∠EBF﹣∠A′EB＝80°，
故答案为：80；
（2）①如图 2，连接 BD，然后作 BD 垂直平分线，交 AD、BC 于点 F、E，连接 DE、BF，
1
∵ 菱形 ＝ × ，最大 BD， 2
∴EF 垂直平分 BD 时，EF 最大，
∴菱形 BEDF 即为所求；
②∵四边形 BEDF 是菱形，
∴BF＝DF，
设 BF＝DF＝x，则 AF＝AD﹣DF＝6﹣x，
2 2 2
在 Rt△ABF 中，由勾股定理得：AB ＋AF ＝BF ，
2 2 2
∴3 ＋（6﹣x） ＝x ，
15
解得 ＝ ，
4
15
∴小丽剪出的菱形的边长为 ；
4
3 3 9
（3）AE 的长为3＋ 2或3 2或 ．理由如下： 2 2 2
分两种情况讨论：
①如图，当 A′B′＝B′C，且 A′B′在 BC 上方时，过 A′作 A′N1⊥BC 于点 N1，过 B′作 B′M1⊥BC 于点 M1，
由旋转性质可知 AB＝A′B′＝3，AE＝A′E，BE＝B′E，
∵∠A＝∠ABN1＝∠BN1E＝90°，∠N1A′B′＝∠A′N1M1＝∠N1M1B′＝90°，
∴四边形 ABN1E，A′N1M1B′均为矩形，
∴AE＝BN1，AB＝EN1，M1N1＝A′B′，A′N1＝B′M1，
设 AE＝A′E＝x，则 BN1＝AE＝x，
则有 M1C＝BC﹣M1N1﹣BN1＝6﹣x﹣3＝3﹣x，A′N1＝B′M1＝3﹣x，
在 Rt△B′M C 中，由勾股定理得： ′ 21 1＋
2
1 ＝ ′
2，
2 2 2
∴（3﹣x） ＋（3﹣x） ＝3 ，
3 2 3 2
解得 ＝3＋ （舍去）或 ＝3 ，
2 2
3 2
∴ ＝3 ；
2
②如图 4，当 A′B′＝B′C，且 A′B′在 BC 下方时，过 A′作 A′N2⊥BC 于点 N2，过 B′作 B′M2⊥BC 于点 M2，
由旋转性质可知 AB＝A′B′＝3，AE＝A′E，BE＝B′E，
设 AE＝A′E＝x，则 BN2＝AE＝x，
则有 M2C＝BN2＋M2N2﹣BC＝x＋3﹣6＝x﹣3，A′N2＝B′M2＝x﹣3，
在 Rt△B′M2C 中，由勾股定理得： ′
2
2＋
2
2 ＝ ′
2，
2 2 2
∴（x﹣3） ＋（x﹣3） ＝3 ，
3 2 3 2
解得 ＝3＋ 或 ＝3 （舍去），
2 2
3 2
∴ ＝3＋ ；
2
③如图 5，当 A′C＝B′C 时，过 A′作 A′N3⊥BC 于点 N3，过 B′作 B′M3⊥BC 于点 M3，
由旋转性质可知 AB＝A′B′＝3，AE＝A′E，BE＝B′E，
设 AE＝A′E＝x，则 BN3＝AE＝x，
则有 M3C＝M3N3﹣（BC﹣BN3）＝3﹣（6﹣x）＝x﹣3，A′N3＝B′M3＝x﹣3，
∴M3C＝B′M3，即△B′M3C 为等腰直角三角形，
∴ ′ ＝ 2( 3)，
又∵B'C＝A'C，A′N3＝B′M3，
∴Rt△B′M3C≌Rt△A′N3C（HL），
∴A′N3＝B′M3＝M3C＝N3C，即△A′N3C 为等腰直角三角形，
1
∴∠ ′ 3＝∠ ′ 3＝ × 90°＝45°， 2
∴∠A′CB′＝180°﹣2×45°＝90°，
2 2 2
在 Rt△A′B′C 中，由勾股定理得：B′C ＋A′C ＝A′B′ ，
∴[ 2( 3)]2＋[ 2( 3)]2＝32，
9 3
解得 ＝ 或 ＝ （舍去），
2 2
9
∴ ＝ ；
2
3 3 9
综上所述，AE 的长为3＋ 2或3 2或 ． 2 2 22025-2026学年度第二学期期中考试
初二数学 2026年4月
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B D C C A B B
一、选择题（共10小题）
1．下列调查中，调查方式选择合理的是（　　）
A．为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择普查
B．为了解当地电视台某栏目的收视率，选择普查
C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查
D．为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查
【解答】解：A．为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择抽样调查，故本选项不符合题意；
B．为了解当地电视台某栏目的收视率，选择抽样调查，故本选项不符合题意；
C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择普查，故本选项不符合题意；
D．为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查，故本选项符合题意．
故选：D．
2．把多项式2m2＋8mn分解因式，应提取的公因式是（　　）
A．2 B．m C．2m D．2n
【解答】解：根据确定公因式的方法可知：
系数2和8的最大公因数为2，变量m2和mn都含有m，
∴公因式为2m．
故选：C．
3．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD＝BC，以下条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD B．∠DAO＝∠BCO C．AD＝AC D．∠BAD＝∠DCB
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD＝BC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B、∵∠DAO＝∠BCO，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
C、∵AD＝AC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
D、∵∠BAD＝∠DCB，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故选：B．
4．在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有48名学生，达到优秀的有15人，合格的有21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是（　　）
A．12 B．0．25 C．36 D．0．75
【解答】解：不合格的人数：48﹣15﹣21＝12，
不合格人数的频率：12÷48＝0．25，
故选：B．
5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直
【解答】解：A、对角线互相平分，菱形和矩形都具有；
B、对角线相等，菱形不一定具有的性质；
C、对边平行且相等，菱形和矩形都具有；
D、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质；
故选：D．
6．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2＋3x＋3＝x（x＋3）＋3
C．x2﹣2x＋1＝（x﹣1）2 D．（x＋y）（x﹣y）＝x2﹣y2
【解答】解：x（x﹣1）＝x2﹣x是乘法运算，则A不符合题意，
x2＋3x＋3＝x（x＋3）＋3中等号右边不是积的形式，则B不符合题意，
x2﹣2x＋1＝（x﹣1）2符合因式分解的定义，则C符合题意，
（x＋y）（x﹣y）＝x2﹣y2是乘法运算，则D不符合题意，
故选：C．
7．为了解某地区10000名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了800名八年级学生进行体质健康状况调查，并进行统计分析．下列说法正确的是（　　）
A．10000名八年级学生的全体是总体
B．每个八年级学生是个体
C．800名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本
D．样本容量是10000
【解答】解：A．总体是10000名八年级学生的体质健康状况的全体，故本选项不符合题意；
B．每个八年级学生的体质健康状况是个体，故本选项不符合题意；
C．800名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本，故本选项符合题意；
D．样本容量是800，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，在△ABC中∠BCA＝90°，点P为斜边AB上一动点，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接DE．若AB＝13，BC＝12，则DE的长不可能等于（　　）
A． B．5 C． D．6
【解答】解：在△ABC中，∠BCA＝90°，PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接CP，
∴四边形CEPD为矩形，
∴DE＝CP，
∵点P为斜边AB上一动点，
∴当CP⊥AB时CP最短，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
当CP⊥AB时，则，即5×12＝13CP，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴DE的长不可能为；
故选：A．
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝3cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则梯形的周长为 （　　）
A．12 cm B．15 cm C．18 cm D．21 cm
【解答】解：∵四边形ABCD是等腰梯形，DC∥AB，∠A＝60°，
∴∠CBA＝∠A＝60°，
∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD＝30°，
∴∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴DC＝BC＝3cm，
∵∠A＝60°，∠ABD＝30°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2AD＝6cm，
∴梯形ABCD的周长为AD+DC+BC+AB＝3cm+3cm+3cm+6cm＝15cm．
故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A、C的对应点分别为点A′、C′，连接AA′、CC′，直线CC′交AA′于点D．则DC′的最大值为 （　　）
A． B．5 C．3 D．4
【解答】解：如图1，过A点作AE// A′C′，交C′D的延长线于点E，
设旋转角∠CBC'＝α，则∠BCC'＝∠BC'C＝90－，∠ACE＝∠A'C'E＝
∴∠AEC'＝
∴AE＝AC＝A'C'
易证△AED≌△A'C'D
AD＝A'D
即D为AA'的中点，
如图2，连接BD，
∵BA＝BA'
∴BD⊥AA'
∴如图3，取A'B中点M，连接C'M，连接DM
∴C'M＝DM＝
∴DC'≤C'M＋DM＝5
故选：B．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．商店某天卖出橙汁20瓶、可乐26瓶、矿泉水14瓶，若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“橙汁”部分的扇形的圆心角度数为　　 ．
【解答】解：“橙汁”在总销量中所占的比例为：，
∴表示“橙汁”部分的扇形的圆心角度数是360°120°．
故答案为：120°．
12．若b为整数，且x＋1是x2＋bx＋3的一个因式，则b的值为　4　 ．
【解答】解：设另一个因式为x＋m，
则（x＋1）（x＋m）
＝x2＋mx＋x＋m
＝x2＋（m＋1）x＋m
＝x2＋bx＋3，
那么m＝3，b＝m＋1＝3＋1＝4，
故答案为：4．
13．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 　3　 ．
【解答】解：由题意，知：S菱形2×3＝3，
故答案为：3．
14．如图，在 ABCD中，∠A＝64°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角的度数为 　52　 °．
【解答】解∵将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，
∴BC＝BC1，
∴∠BCC1＝∠C1，
∵∠A＝64°，
∴∠BCD＝∠C1＝64°，
∴∠BCC1＝∠C1＝64°，
∴∠CBC1＝180°﹣2×64°＝52°，
即旋转角的度数为52°，
故答案为：52．
15．有六张写着不同整式的卡牌，如图所示，游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个多项式，并将你所组成的多项式分解因式 a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2（答案不唯一）　 ．
【解答】解：选取a2，2ab，b2组成a2＋2ab＋b2，
则a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2．
故答案为：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2（答案不唯一）．
16．已知如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝　 　 ．
【解答】解：如图所示，谅解EF，EH，GF，GH，EG与FH交于点O，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ABD中，，EH∥BD，
同理，在△BCD中，，FG∥BD，
在△ABC中，，EF∥AC，
在△ACD中，，HG∥AC，
∴，
∴四边形EFGH是菱形，
∴EG⊥FH，，，
在Rt△OEH中，OE2+OH2＝EH2，
∴，
∴（2OE）2+（2OH）2＝36，
∴EG2+FH2＝36，
故答案为：36．
17．已知a4＋a2＋a＋1＝0，则a5﹣a4＋a3＋1的值为　2　 ．
【解答】解：∵a4＋a2＋a＋1＝0，
∴a4＝﹣a2﹣a﹣1，
∴a5﹣a4＋a3＋1
＝a4（a﹣1）＋a3＋1
＝（﹣a2﹣a﹣1）（a﹣1）＋a3＋1
＝﹣a3＋a2﹣a2＋a﹣a＋1＋a3＋1
＝（﹣a3＋a3）＋（a2﹣a2）＋（a﹣a）＋2
＝2．
故答案为：2．
18．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AD所在直线上，连接BE，以BE为边，作正方形BEFG（点B，E，F，G按逆时针排列）．当正方形BEFG中的某一顶点落在直线AC上时（不与点A重合），则正方形BEFG的边长为 　或　 ．
【解答】解：当点F在直线AC上时，如图1，过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于M，
则∠FMA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD＝45°，∠BAE＝90°，
∴∠FAM＝∠CAD＝45°，∠AEB＋∠EBA＝90°，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴AM＝FM，
∵四边形BEFG是正方形，
∴EF＝BE，∠BEF＝90°，
∴∠EBA＋∠FEM＝90°，
∴∠EBA＝∠FEM，
在△AEB和△MFE中，
，
∴△AEB≌△MFE（AAS），
∴AE＝FM，AB＝EM，
∴AE＝AM＝FM，
∵AE＋AM＝EM，
∴2AE＝AB＝6，
∴AE＝3，
在Rt△ABE中，，
∴此时正方形BEFG的边长为．
当点G在直线上AC时，过点G作GM⊥AB，交BA的延长线于M，如图2，
同理可得：△AEB≌△MBG（AAS），
∴GM＝AB＝6，BM＝AE，
∵∠CAB＝∠MAG＝45°，∠M＝90°，
∴△AGM是等腰直角三角形，
∴AM＝GM，
∴AM＝AB＝6，
∴BM＝12，
在Rt△BGM中，，
∴此时正方形BEFG的边长为．
综上分析可得：正方形BEFG的边长为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（本题6分）分解因式：
（1）8m2﹣12mn；
（2）a2（x﹣y）＋b2（y﹣x）．
【解答】解：（1）8m2﹣12mn＝4m（2m﹣3n）； 3分
（2）a2（x﹣y）＋b2（y﹣x）
＝（x﹣y）（a2﹣b2）
＝（x﹣y）（a＋b）（a﹣b）． 3分
20．（本题8分）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 　450　 ；2分
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为 　36　 °；2分
（3）请补全条形统计图；2分
（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．2分
【解答】解：（1）此次调查的样本容量为：117÷26%＝450，
故答案为：450；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为：360°36°，
故答案为：36；
（3）样本中B的人数为：450﹣45﹣117﹣233＝55（人），
补全条形统计图如下：
（4）250002500（人），
答：其中视力正常的人数大约为2500人．
21．（本题6分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；3分
（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．3分
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）连接AC，交BD于点O，
∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
22．（本题6分）已知矩形ABCD中，AD＝10，P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿着直线BP折叠得到△EBP．
（1）如图1，若AB＝6，当P、E、C三点在同一直线上时，求AP的长；3分
（2）请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在AD边上作出一点P，使BE平分∠PBC（不写作法，保留作图痕迹）3分
【解答】解：（1）如图1中，由翻折变换的性质可知，∠APB＝∠EPB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝10，AB＝CD＝6，∠D＝90°，
∴∠APB＝∠PBC＝∠EPB，
∴CP＝CB＝10，
∴PD8，
∴AP＝AD＝PD＝10﹣8＝2；
（2）如图，点P即为所求；
23．（本题10分）【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
定理证明：
（1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC边的中点．
求证：；4分
【知识应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝8，则BN的长为 　4　 ；2分
【性质延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝4，CD＝6，BC﹣AD＝2．在四边形ABCD内存在一点P，点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d，则d的值为 　　 ．4分
【解答】（1）证明：延长BO至D，使OD＝OB，连接AD，CD，
∵点O是AC边的中点，
∴AO＝CO，
∵BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴；
（2）解：在△CAD中，
∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，，
在Rt△ABC中，
∵M是AC中点，
∴，
∵AC＝AD，
∴MN＝BM，
∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∴，
∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°，
∵MN∥AD，
∴∠NMC＝∠DAC＝30°，
∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°，
∴B N2＝B M2＋M N2，
∴，
∴；
故答案为：4；
（3）解：如图，连接AC，取AC的中点P，连接PB，PD，
由（1）可知，
则点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d，即PA＝PB＝PC＝PD＝d，
设AD＝x，则BC＝x＋2，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AD2＋DC2＝AB2＋BC2，
∴x2＋62＝42＋（x＋2）2，
∴x＝4，
∴AD＝4，
∴，
∴点P到四边形ABCD四个顶点的距离．
故答案为：．
24．（本题10分）综合阅读与实践．我们把多项式a2＋2ab＋b2，a2﹣2ab＋b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性．于是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
例如：①x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3，
∵（x＋1）2是非负数，即（x＋1）2≥0．∴（x＋1）2＋3≥3，
则当x＝﹣1时，代数式x2＋2x＋4的最小值是3；
②3x2﹣6x＋5＝3（x2﹣2x）＋5＝3（x2﹣2x＋1﹣1）＋5＝3（x﹣1）2﹣3＋5＝3（x﹣1）2＋2，
∵（x﹣1）2是非负数，即（x﹣1）2≥0，∴3（x﹣1）2＋2≥2，
则当x＝1时，代数式3x2﹣6x＋5取得最小值2．
请根据阅读内容，完成以下问题：
（1）知识再现：当x＝　2　 时，代数式x2﹣4x＋6的最小值是　2　 ；4分
（2）知识运用：若y＝﹣x2＋4x＋1，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值；3分
（3）知识拓展：若x2＋5x＋y﹣4＝0，求3x＋y的最大值．3分
【解答】解：（1）根据题目中的配方法求解可知：
x2﹣4x＋6＝x2﹣4x＋4﹣4＋6＝（x﹣2）2＋2，
∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0
∴（x﹣2）2＋2≥2，
则当x＝2时，x2﹣4x＋6有最小值2．
故答案为：2，2．
（2）y＝﹣x2＋4x＋1＝﹣（x2﹣4x）＋1＝﹣（x2﹣4x＋4）＋4＋1＝﹣（x﹣2）2＋5，
∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0，
∴﹣（x﹣2）2≤0，
∴﹣（x﹣2）2＋5≤5，
则当x＝2时，y有最大值5．
（3）由条件可得y＝﹣x2﹣5x＋4，
∴3x＋y＝3x﹣x2﹣5x＋4
＝﹣x2﹣2x＋4
＝﹣（x2＋2x＋1）＋1＋4
＝﹣（x＋1）2＋5，
∵（x＋1）2≥0，
∴﹣（x＋1）2＋5≤5，
则当x＝﹣1时，3x＋y有最大值5．
25．（本题8分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t．
（1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值；4分（每种情形2分）
（2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系．4分（每种情形2分）
【解答】解（1）①如图1，当点P在BC上时，
DQ＝t，PC＝10﹣3t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴DQ∥PC，
若四边形PCDQ是平行四边形，
则DQ＝PC，
∴t＝10﹣3t，
∴t＝2.5（秒）．
②如图2，当点P在BC的延长线上时，
PC＝3t﹣10，
若四边形PCDQ是平行四边形，
则DQ＝PC，
∴t＝3t﹣10，
∴t＝5（秒）．
综上得，t＝2.5秒或5秒时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为平行四边形．
（2）①如图1，当点P在BC上时，
若四边形PCDQ是平行四边形，
则DQ＝PC＝CD＝6，
∴nt＝10﹣mt＝6，
∴mt＝4，
∴，
∴3m＝2n．
②如图2，当点P在BC的延长线上时，连接PQ，交CD于E，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠ACD＝90°，
∵四边形PCDQ是菱形，
∴PQ⊥CD，CE＝DE，PE＝QE，
∴PQ∥AC，
∴四边形ACPQ是平行四边形，
∴PQ＝AC＝8，
∴QE＝PE＝4，
∴DQ＝PD5，
∴nt＝mt﹣10＝5，
∴m＝3n．
综上得，3m＝2n或m＝3n时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形．
26．（本题12分）【综合与实践】初二年级的同学们在新课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务．
【研究素材】若干张全等的矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝6．
【探究1】 小明按如图1的方式沿BE折叠纸片ABCD，点A与点A′对应，EA′的延长线与BC交于点F． 【任务1】 （1）若∠AEB＝50°，则∠EFB＝ 　80　 °；2分
【探究2】 如图2，小丽计划利用这张纸片剪出一个面积最大的菱形． 【任务2】 （2）①请你帮助小丽用无刻度的直尺和圆规作出这个菱形（不写作法，保留作图痕迹）；2分 ②求小丽剪出的菱形的边长．2分
【探究3】 如图3，点E是线段AD上的动点，小亮利用绘图软件将△ABE绕点E逆时针旋转90°至△A′B′E． 【任务3】 （3）连接B′C、A′C，当△A′B′C是以B'C为腰的等腰三角形时，直接写出AE的长．6分（每种2分）
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF＝50°，
由折叠性质可知∠AEB＝∠A′EB＝50°，
∴∠EFB＝180°﹣∠EBF﹣∠A′EB＝80°，
故答案为：80；
（2）①如图2，连接BD，然后作BD垂直平分线，交AD、BC于点F、E，连接DE、BF，
∵，最大BD，
∴EF垂直平分BD时，EF最大，
∴菱形BEDF即为所求；
②∵四边形BEDF是菱形，
∴BF＝DF，
设BF＝DF＝x，则AF＝AD﹣DF＝6﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＋AF2＝BF2，
∴32＋（6﹣x）2＝x2，
解得，
∴小丽剪出的菱形的边长为；
（3）AE的长为或或．理由如下：
分两种情况讨论：
①如图，当A′B′＝B′C，且A′B′在BC上方时，过A′作A′N1⊥BC于点N1，过B′作B′M1⊥BC于点M1，
由旋转性质可知AB＝A′B′＝3，AE＝A′E，BE＝B′E，
∵∠A＝∠ABN1＝∠BN1E＝90°，∠N1A′B′＝∠A′N1M1＝∠N1M1B′＝90°，
∴四边形ABN1E，A′N1M1B′均为矩形，
∴AE＝BN1，AB＝EN1，M1N1＝A′B′，A′N1＝B′M1，
设AE＝A′E＝x，则BN1＝AE＝x，
则有M1C＝BC﹣M1N1﹣BN1＝6﹣x﹣3＝3﹣x，A′N1＝B′M1＝3﹣x，
在Rt△B′M1C中，由勾股定理得：，
∴（3﹣x）2＋（3﹣x）2＝32，
解得（舍去）或，
∴；
②如图4，当A′B′＝B′C，且A′B′在BC下方时，过A′作A′N2⊥BC于点N2，过B′作B′M2⊥BC于点M2，
由旋转性质可知AB＝A′B′＝3，AE＝A′E，BE＝B′E，
设AE＝A′E＝x，则BN2＝AE＝x，
则有M2C＝BN2＋M2N2﹣BC＝x＋3﹣6＝x﹣3，A′N2＝B′M2＝x﹣3，
在Rt△B′M2C中，由勾股定理得：，
∴（x﹣3）2＋（x﹣3）2＝32，
解得或（舍去），
∴；
③如图5，当A′C＝B′C时，过A′作A′N3⊥BC于点N3，过B′作B′M3⊥BC于点M3，
由旋转性质可知AB＝A′B′＝3，AE＝A′E，BE＝B′E，
设AE＝A′E＝x，则BN3＝AE＝x，
则有M3C＝M3N3﹣（BC﹣BN3）＝3﹣（6﹣x）＝x﹣3，A′N3＝B′M3＝x﹣3，
∴M3C＝B′M3，即△B′M3C为等腰直角三角形，
∴，
又∵B'C＝A'C，A′N3＝B′M3，
∴Rt△B′M3C≌Rt△A′N3C（HL），
∴A′N3＝B′M3＝M3C＝N3C，即△A′N3C为等腰直角三角形，
∴，
∴∠A′CB′＝180°﹣2×45°＝90°，
在Rt△A′B′C中，由勾股定理得：B′C2＋A′C2＝A′B′2，
∴，
解得或（舍去），
∴；
综上所述，AE的长为或或．2025-2026 学年度第二学期期中考试
初二数学 2026年 4月
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．下列调查中，调查方式选择合理的是 （ ）
A．为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择普查
B．为了解当地电视台某栏目的收视率，选择普查
C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查
D．为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查
2．把多项式 2m2＋8mn分解因式，应提取的公因式是 （ ）
A．2 B．m C．2m D．2n
3．如图，在四边形 ABCD中，AC与 BD相交于点 O，AD＝BC，以下条件能判断四边形 ABCD是平行四
边形的是 （ ）
A．AB∥CD B．∠DAO＝∠BCO C．AD＝AC D．∠BAD＝∠DCB
第 3题图 第 8题图
4．在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有 48名学生，达到优秀的有 15人，合
格的有 21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是 （ ）
A．12 B．0．25 C．36 D．0．75
5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是 （ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直
6．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是 （ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2＋3x＋3＝x（x＋3）＋3
C．x2﹣2x＋1＝（x﹣1）2 D．（x＋y）（x﹣y）＝x2﹣y2
7．为了解某地区 10000名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了 800名八年级学生
进行体质健康状况调查，并进行统计分析．下列说法正确的是 （ ）
A．10000名八年级学生的全体是总体
B．每个八年级学生是个体
C．800名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本
D．样本容量是 10000
8．如图，在△ABC中∠BCA＝90°，点 P为斜边 AB上一动点，过点 P作 PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为
D，E，连接 DE．若 AB＝13，BC＝12，则 DE的长不可能等于 （ ）
A 9． B．5 C 11． D．6
2 2
9．如图，在等腰梯形 ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝3cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则梯形的周长
初二数学期中考试试题 第 1页（共 6页）
为 （ ）
A．12 cm B．15 cm C．18 cm D．21 cm
10．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点 B顺时针旋转得到△A′BC′，点
A、C的对应点分别为点 A′、C′，连接 AA′、CC′，直线 CC′交 AA′于点 D．则 DC′的最大值为 （ ）
A 24． B．5 C．3 3 D．4 2
5
第 9题图 第 10题图
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
11．商店某天卖出橙汁 20瓶、可乐 26瓶、矿泉水 14瓶，若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“橙
汁”部分的扇形的圆心角度数为_________．
12．若 b为整数，且 x＋1是 x2＋bx＋3的一个因式，则 b的值为_________．
13．若菱形的两条对角线分别为 2和 3，则此菱形的面积是_________．
14．如图，在□ABCD中，∠A＝64°，将平行四边形 ABCD绕顶点 B顺时针旋转到平行四边形 A1BC1D1，
当 C1D1首次经过顶点 C时，旋转角的度数为_________°．
第 14题图 第 16题图 第 18题图
15．有六张写着不同整式的卡牌，如图所示，游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个
多项式，并将你所组成的多项式分解因式 ___________________________．
a2 b2 2ab 2a 2b 1
16．已知如图，在四边形 ABCD中，AC＝BD＝7，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点，则 EG2+FH2
＝_________．
17．已知 a4＋a2＋a＋1＝0，则 a5﹣a4＋a3＋1的值为_________．
18．如图，四边形 ABCD是边长为 6的正方形，点 E在边 AD所在直线上，连接 BE，以 BE为边，作正方
形 BEFG（点 B，E，F，G按逆时针排列）．当正方形 BEFG中的某一顶点落在直线 AC上时（不与点 A
重合），则正方形 BEFG的边长为_________．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）
19．（本题 6分）因式分解：
（1）8m2﹣12mn； （2）a2（x﹣y）＋b2（y﹣x）．
初二数学期中考试试题 第 2页（共 6页）
20．（本题 8分）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调
查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为________ ；
（2）扇形统计图中 A对应圆心角的度数为________°；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有 25000人，请估计其中视力正常的人数．
21．（本题 6分）如图，在平行四边形 ABCD中，E，F是对角线 BD上的点，且 BE＝DF，连接 AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）连接 AF，CE，若 AB＝AD，求证：四边形 AFCE是菱形．
22．（本题 6分）已知矩形 ABCD中，AD＝10，P是 AD边上一点，连接 BP，将△ABP沿着直线 BP折叠
得到△EBP．
（1）如图 1，若 AB＝6，当 P、E、C三点在同一直线上时，求 AP的长；
（2）请在图 2上用没有刻度的直尺和圆规，在 AD边上作出一点 P，使 BE平分∠PBC（不写作法，保
留作图痕迹）
初二数学期中考试试题 第 3页（共 6页）
23．（本题 10分）【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
定理证明：
（1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图 1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点 O是 AC边的中点．
OB 1求证： ＝ AC；
2
【知识应用】（2）如图 2，在四边形 ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为 AC，CD的中点，
连接 BM，MN，BN．若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝8，则 BN的长为 ________；
【性质延伸】（3）如图 3，在四边形 ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝4，CD＝6，BC﹣AD＝2．在四
边形 ABCD内存在一点 P，点 P到四边形 ABCD四个顶点的距离均为 d，则 d的值为 ________．
24．（本题 10分）综合阅读与实践．我们把多项式 a2＋2ab＋b2，a2﹣2ab＋b2叫做完全平方式，在运用完
全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性．于
是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的
最大（或最小）值问题．
例如：①x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3，
∵（x＋1）2是非负数，即（x＋1）2≥0．∴（x＋1）2＋3≥3，
则当 x＝﹣1时，代数式 x2＋2x＋4的最小值是 3；
②3x2﹣6x＋5＝3（x2﹣2x）＋5＝3（x2﹣2x＋1﹣1）＋5＝3（x﹣1）2﹣3＋5＝3（x﹣1）2＋2，
∵（x﹣1）2是非负数，即（x﹣1）2≥0，∴3（x﹣1）2＋2≥2，
则当 x＝1时，代数式 3x2﹣6x＋5取得最小值 2．
请根据阅读内容，完成以下问题：
（1）知识再现：当 x＝ 时，代数式 x2﹣4x＋6的最小值是 ；
（2）知识运用：若 y＝﹣x2＋4x＋1，求当 x为何值时，y有最大值，并求出最大值；
（3）知识拓展：若 x2＋5x＋y﹣4＝0，求 3x＋y的最大值．
初二数学期中考试试题 第 4页（共 6页）
25．（本题 8 分）如图，在平行四边形 ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点 P从点 B出发，沿射线
BC方向运动；点 Q从点 D同时出发，沿 DA方向运动，到点 A为止，运动的时间为 t．
（1）若点 P的运动速度为 3个单位/秒，点 Q的运动速度为 1个单位/秒，若运动到以点 P、C、D、Q
为顶点的四边形为平行四边形时，求 t的值；
（2）若点 P的运动速度为 m个单位/秒，点 Q的运动速度为 n个单位/秒，若运动中能使以点 P、C、D，
Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出 m、n的数量关系．
初二数学期中考试试题 第 5页（共 6页）
26．（本题 12分）【综合与实践】同学们在新课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务．
【研究素材】若干张全等的矩形纸片 ABCD，其中 AB＝3，BC＝6．
【探究 1】
【任务 1】
小明按如图 1 的方式沿 BE折叠纸
（1）若∠AEB＝50°，则∠EFB
片 ABCD，点 A与点 A′对应，EA′
＝ °；
的延长线与 BC交于点 F．
【任务 2】
【探究 2】 （2）①请你帮助小丽用无刻度的
如图 2，小丽计划利用这张纸片剪 直尺和圆规作出这个菱形（不写作
出一个面积最大的菱形． 法，保留作图痕迹）；
②求小丽剪出的菱形的边长．
【探究 3】 【任务 3】
如图 3，点 E是线段 AD上的动点， （3）连接 B′C、A′C，当△A′B′C
小亮利用绘图软件将△ABE绕点E 是以 B'C为腰的等腰三角形时，直
逆时针旋转 90°至△A′B′E． 接写出 AE的长．
初二数学期中考试试题 第 6页（共 6页）2025-2026学年度第二学期期中考试
初二数学 2026年4月
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列调查中，调查方式选择合理的是 （　　）
A．为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择普查
B．为了解当地电视台某栏目的收视率，选择普查
C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查
D．为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查
2．把多项式2m2＋8mn分解因式，应提取的公因式是 （　　）
A．2 B．m C．2m D．2n
3．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD＝BC，以下条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是 （　　）
A．AB∥CD B．∠DAO＝∠BCO C．AD＝AC D．∠BAD＝∠DCB
(
第
8
题图
) (
第
3
题图
)
4．在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有48名学生，达到优秀的有15人，合格的有21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是 （　　）
A．12 B．0．25 C．36 D．0．75
5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是 （　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直
6．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是 （　　）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2＋3x＋3＝x（x＋3）＋3
C．x2﹣2x＋1＝（x﹣1）2 D．（x＋y）（x﹣y）＝x2﹣y2
7．为了解某地区10000名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了800名八年级学生进行体质健康状况调查，并进行统计分析．下列说法正确的是 （　　）
A．10000名八年级学生的全体是总体
B．每个八年级学生是个体
C．800名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本
D．样本容量是10000
8．如图，在△ABC中∠BCA＝90°，点P为斜边AB上一动点，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接DE．若AB＝13，BC＝12，则DE的长不可能等于 （　　）
A． B．5 C． D．6
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝3cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则梯形的周长为 （　　）
A．12 cm B．15 cm C．18 cm D．21 cm
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A、C的对应点分别为点A′、C′，连接AA′、CC′，直线CC′交AA′于点D．则DC′的最大值为 （　　）
A． B．5 C．3 D．4
(
第
10
题图
) (
第
9
题图
)
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．商店某天卖出橙汁20瓶、可乐26瓶、矿泉水14瓶，若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“橙汁”部分的扇形的圆心角度数为_________．
12．若b为整数，且x＋1是x2＋bx＋3的一个因式，则b的值为_________．
13．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是_________．
14．如图，在□ABCD中，∠A＝64°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角的度数为_________°．
(
第
18
题图
) (
第
14
题图
) (
第
16
题图
)
15．有六张写着不同整式的卡牌，如图所示，游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个多项式，并将你所组成的多项式分解因式 ___________________________．
(
a
2
b
2
2
ab
2
a
2
b
1
)
16．已知如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝7，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝_________．
17．已知a4＋a2＋a＋1＝0，则a5﹣a4＋a3＋1的值为_________．
18．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AD所在直线上，连接BE，以BE为边，作正方形BEFG（点B，E，F，G按逆时针排列）．当正方形BEFG中的某一顶点落在直线AC上时（不与点A重合），则正方形BEFG的边长为_________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（本题6分）因式分解：
（1）8m2﹣12mn； （2）a2（x﹣y）＋b2（y﹣x）．
20．（本题8分）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为________ ；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为________°；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．
21．（本题6分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．
22．（本题6分）已知矩形ABCD中，AD＝10，P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿着直线BP折叠得到△EBP．
（1）如图1，若AB＝6，当P、E、C三点在同一直线上时，求AP的长；
（2）请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在AD边上作出一点P，使BE平分∠PBC（不写作法，保留作图痕迹）
23．（本题10分）【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
定理证明：
（1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC边的中点．
求证：OB＝AC；
【知识应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝8，则BN的长为 ________；
【性质延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝4，CD＝6，BC﹣AD＝2．在四边形ABCD内存在一点P，点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d，则d的值为 ________．
24．（本题10分）综合阅读与实践．我们把多项式a2＋2ab＋b2，a2﹣2ab＋b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性．于是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
例如：①x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3，
∵（x＋1）2是非负数，即（x＋1）2≥0．∴（x＋1）2＋3≥3，
则当x＝﹣1时，代数式x2＋2x＋4的最小值是3；
②3x2﹣6x＋5＝3（x2﹣2x）＋5＝3（x2﹣2x＋1﹣1）＋5＝3（x﹣1）2﹣3＋5＝3（x﹣1）2＋2，
∵（x﹣1）2是非负数，即（x﹣1）2≥0，∴3（x﹣1）2＋2≥2，
则当x＝1时，代数式3x2﹣6x＋5取得最小值2．
请根据阅读内容，完成以下问题：
（1）知识再现：当x＝　 　 时，代数式x2﹣4x＋6的最小值是　 　 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2＋4x＋1，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值；
（3）知识拓展：若x2＋5x＋y﹣4＝0，求3x＋y的最大值．
25．（本题8分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t．
（1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值；
（2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系．
26．（本题12分）【综合与实践】同学们在新课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务．
【研究素材】若干张全等的矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝6．
【探究1】 小明按如图1的方式沿BE折叠纸片ABCD，点A与点A′对应，EA′的延长线与BC交于点F． 【任务1】 （1）若∠AEB＝50°，则∠EFB＝ 　 　 °；
【探究2】 如图2，小丽计划利用这张纸片剪出一个面积最大的菱形． 【任务2】 （2）①请你帮助小丽用无刻度的直尺和圆规作出这个菱形（不写作法，保留作图痕迹）； ②求小丽剪出的菱形的边长．
【探究3】 如图3，点E是线段AD上的动点，小亮利用绘图软件将△ABE绕点E逆时针旋转90°至△A′B′E． 【任务3】 （3）连接B′C、A′C，当△A′B′C是以B'C为腰的等腰三角形时，直接写出AE的长．

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