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2025-2026学年度第二学期4月份阶段测试
九年级数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 某公司抽捡盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．图中是四盒牛奶的检测数据，小聪很快确定了标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准．下列能对小聪的判断作出正确解释的数学概念是（ ）
A. 绝对值 B. 相反数 C. 倒数 D. 正负数
2. 2024年2月17日，全球首架大型客机从上海起飞参加第九届新加坡国际航空航天与防务展．商飞是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具备自主知识产权的喷气式中程干线客机．如图是大型客机的实物图，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设矩形田地的长为步，依题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
6. 近年，长春市城区内的背街小巷都安装上了路灯，为市民提供更多的出行方便．如图所示，其中一款路灯的灯杆高9米，灯臂长1米，灯臂与水平面的夹角为，则灯臂的最高点B到地面的距离为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7. 如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于线段的长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，线段长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，作射线交线段于点．则和的关系是（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
8. 如图，点在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数（）的图象上．轴交轴于点C．当为等腰三角形且面积为6，则k的值为（　　）

A. B. C. 2 D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 计算：_____________．
10. 某多项式按字母的降幂排列为：，则整数的值可能为______．（写出一个即可）
11. 已知两组数据，甲组：、、、、，乙组：、、、、．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则____________．（填“”、“”或“”）
12. 如图，是半径为2的的一条弦，．将绕点逆时针旋转，当点的对应点第一次落在上时，点运动的路径长是______．（结果保留）
13. 在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于_________．
14. 如图，在矩形中，．的角平分线交于点，连接，于点，连接并延长，交于点，连接．给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，的面积为．上述结论中，正确结论的序号有______．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 有三张正面分别标有数字，3，4的不透明卡片，它们除数字外都相同；现将它们背面朝上，洗匀后，从三张卡片中随机地抽出一张，记住数字后，将卡片放回，洗匀后，再从这三张卡片中随机抽出一张，记住数字．用列表或画树状图的方法求两次抽取的卡片上的数字之和是偶数的概率．
17. 一次数学能力测验，有20道选择题．评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有2道题未答，要使总分不低于75分，他至少要答对多少道题？
18. 如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
（1）求证：是菱形；
（2）若，求的面积．
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，均在格点上，请按下列要求完成作图．
（1）在图①中，以为边画直角三角形，使，且点在格点上；
（2）在图②中，以为边画锐角三角形，使，且点在格点上；
（3）在图③中，以为边画钝角三角形，使，且点在格点上．
20. 综合与实践
【项目背景】
无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：
任务1 求图1中a的值．
【数据分析与运用】
任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．
任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）．
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．
任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．
根据所给信息，请完成以上所有任务．
21. ［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
22. 【问题原型】如图①，在中，．点D在边上运动，连结，以为边作，使点A、E在同侧，且，连结，试探究线段长度的最小值．
【问题探究】乐乐同学想探究点E的运动轨迹，进而求出线段的最小值．乐乐利用从特殊到一般的数学思想，他先选取了特殊位置进行研究，再通过证明即确定点E的运动轨迹．如图②，过点B作于点F，乐乐发现，当点D与点C重合时，点E与点F重合；再通过证明，进一步确定点E的运动轨迹为过点F一条线段．
下面是乐乐关于一般情况的证明过程，请补充证明过程缺失部分：
如图②，顶点D在边上运动，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴点E的运动轨迹为过点F一条线段．
【问题解决】如图③，设直线交于点M．
（1）的面积为__________；
（2）线段的最小值为__________．
23. 如图，在中，，，于点，点为的中点．点从点出发沿折线向终点运动（点不与点重合），取线段的中点，连接，以为边、点为对称中心作．
（1）______；
（2）连接，当点在上且时，求的面积；
（3）当点在线段上，且是矩形时，求线段的长；
（4）作．当时，线段的长为______．（写出一个即可）
24. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b为常数）的对称轴为直线．点A是该抛物线上一点（点A不在x轴上），过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为点B，以为边，以点O为对称中心作．设点A的横坐标为m．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当点A在抛物线对称轴右侧，且被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求的长；
（3）当线段与该抛物线恰好有两个公共点时，求m的取值范围；
（4）当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
2025-2026学年度第二学期4月份阶段测试
九年级数学试题答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】2（或3）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】5
【14题答案】
【答案】①②⑤
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
【15题答案】
【答案】，
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】他至少要答对16道题．
【18题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【19题答案】
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【20题答案】
【答案】任务1：40；任务2：6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由见解析
【21题答案】
【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球
【22题答案】
【答案】问题探究：见解析；问题解决：（1）；（2）
【23题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）或
【24题答案】
【答案】（1）
（2）的长为或．
（3）
（4）或或．
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