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数学
一、选择题（共8小题）
1. 据交通部获悉，到2025年我国铁路网规模已达17.5万公里，比2015年底翻了一番，数据17.5万用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
3. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A. B. C. D.
5. 甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则符合题意的正确方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 一个不透明的袋子里装有红球和白球共15个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计红球出现的频率如下图，则红球的个数最可能是（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
7. 如图是一个长方体被截去一个角后剩下的几何体，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于．将直线向下平移个单位得直线，直线交反比例函数的图象于点，连接，，，若的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题）
9. 多项式的次数是__________．
10. 自行车是绿色环保的交通工具，图是某自行车的传动结构．图是该结构的示意图，其中的半径是厘米．的半径是厘米，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则的值为___________．
11. 二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为______．
12. 如图，是的直径，点是半圆上的三等分点，点是劣弧的中点，点是直径上一动点．连接，若，，则的周长的最小值是______．
13. 设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 _______．
14. 如图，在矩形中，，，点G是边的中点，点E，F分别是边，上的点（不与端点重合），且满足，连结、、、，设、交于点O，点M是的中点，连结、．给出下列结论：①；②；③当时，；④的最小值是．上述结论中，正确结论的序号有_______．
三、解答题（共10小题）
15 计算：．
16. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸．
（1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____．
（2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率．
17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均是格点．在内部找一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中，连接、、，使；
（2）在图②中，连接、、，使；
（3）在图③中，连接、、，使，且．
18. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
（1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.教师评委打分：
.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委
学生评委
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲
乙
丙
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________.
19. 国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，已知“哪吒”纪念品每件35元，“敖丙”纪念品每件20元，若该商场计划用不超过2900元资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件．
20. 如图，在中，，且，点D、E分别是边的中点，连接，过点B作，过点E作交于点F，求证：四边形为正方形．
21. 快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地后立即开始装卸货物，用时30分钟，装卸货物结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为80千米/时．两车之间的距离（千米）与慢车的行驶时间（时）之间的函数图象如图所示．
（1）快车从甲地驶向乙地的过程中速度为___________千米/时；
（2）求图中线段所表示的函数表达式：
（3）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求快车到达甲地还需多长时间．
22. 【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：.
【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证.
下面是小亮的部分证明过程：
证明：在的延长线上截取，连结.
四边形正方形，
.
又，
.
.
证明过程缺失
.
请补全缺失的证明过程.
【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系.
【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______.
【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______.
23. 如图，在中，，，，点在边上，连结，点是的中点，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．
（1）求的面积；
（2）当时，求正方形的周长；
（3）当点落在上时，求的长；
（4）当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的长为 ．
24. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点，点M在抛物线上，横坐标为m，点N的横坐标为，纵坐标与点M的纵坐标相同，点A在y轴上，纵坐标为m．当点M和点A的纵坐标不相等时，作点A关于点M的对称点B，作点A关于点N的对称点C，连结、、．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）试说明线段的长度为4；
（3）当直线与抛物线（b是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为P、Q（点P在点Q左侧）．
①若点M在对称轴左侧，点P在线段上，当此抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2时，求m的值；
②连结、，若点M在对称轴右侧，当时，直接写出m的值．
数学答案
一、选择题（共8小题）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】D
二、填空题（共6小题）
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】4或
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】①②④
三、解答题（共10小题）
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【18题答案】
【答案】（1）①，；②
（2）甲，
【19题答案】
【答案】33件
【20题答案】
【答案】见解析
【21题答案】
【答案】（1）120 （2）
（3）快车到达甲地还需4小时
【22题答案】
【答案】[问题探究]见解析；[问题解决]9；[问题拓展]
【23题答案】
【答案】（1）12 （2）
（3）
（4）或
【24题答案】
【答案】（1）
（2）见解析 （3）①或；②
2

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