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5.2 课时3 角平分线的性质
1.了解角是轴对称图形.
2.理解并掌握角平分线的性质定理.
3.能利用尺规作一个角的角平分线.
1.什么是角平分线
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线
2.角是轴对称图形吗？你能想到哪些判断方法？
O
B
A
C
探究一　角的轴对称性
活动1：动手操作
在一张纸上任意画一个角，沿角的两边将角剪下，并将这个角对折，使角的两边重合，再打开纸片. 形成的折痕与这个角有什么关系 从中你能发现什么？
折痕是这个角的平分线
结论：角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴。
活动2：思考交流
如图①,OP是∠AOB的平分线,C是OP上的任意一点.在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D',连接CD和CD'.
(1)你认为线段CD和CD'之间有什么关系
你是如何判断的，说说理由.
CD=CD'
探究二　角平分线的性质
∠AOB 是轴对称图形，D 和 D' 是对应点，所以 CD 和 CD' 是以 OP 所在直线为对称轴的一组对应线段，所以CD = CD'.
(2)特别地,当CD⊥OA时(如图②),CD'与OB有怎样的位置关系 为什么 此时,线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论
结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
当CD⊥OA时，CD'⊥ OB，
此时，仍然有CD = CD'
你能尝试说明吗？
已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D，E.
试说明：PD = PE.
P
A
O
B
D
E
解：因为 PD⊥OA，PE⊥OB，
所以 ∠PDO = ∠PEO = 90°.
在 △PDO 和 △PEO 中，
所以△PDO≌△PEO(AAS).
所以 PD = PE.
C
∠PDO =∠PEO = 90°，
∠DOP =∠EOP，
OP = OP，
验证结论：
角平分线的性质
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
1.应用所具备的条件：
(1) 点在角的平分线上；
(2) 到角两边的距离(垂直).
2.性质的作用：
证明线段相等.
B
A
D
O
C
E
几何语言：
因为 OC 是∠AOB 的平分线，
所以 CD = CE.
CD⊥OA，CE⊥OB，
省去了证全等的过程
说一说：如图所示，在 Rt△ABC 中，BD 是 ∠ABC 的平分线，DE⊥AB，垂足为点 E. DE 与 DC 相等吗？为什么？
B
A
C
D
E
解：DE 与 DC 相等.
因为射线 BD 是 ∠ABC 的平分线，点 D到角两边 BA，BC 的距离分别是
线段 DE，DC 的长，
所以 DE = DC.
1.如图，在中， ， 平分，于点 ，
如果，那么 等于( )
B
A. B.
C. D.
2.如图，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝4，AB＝14.
(1) 求点 P 到 AB 的距离；
(2) 求△APB 的面积.
A
B
C
P
D
提示：存在一条垂线段——构造应用
(2) AB·PD = 28.
解：(1) 如图，过 P 作 PD⊥AB 于点 D，
因为 AP 平分∠BAC，PD⊥AB，PC⊥AC，所以 PD = PC = 4.即 P到 AB的距离为4
1. 应用角平分线的性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2. 联系角平分线的性质：
面积
周长
条件
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
“点在角平分线上”
“点到角两边的距离”
缺一不可
探究三　用尺规作图作角的平分线
活动3：根据角平分线的性质，解决下列问题.
如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线
假设∠AOB 的平分线已作出，那么
(1)这条射线有什么特征
O
B
A
需要确定的点是角对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作.
射线在∠AOB内部，端点是О，在这条射线上任取一点(非点O)，这一点到边OA，OB的距离相等.
(2) 如何确定这条射线上除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试. 如果只用尺规呢 与同伴进行交流.
C
(2) 分别以点 D、点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径
画弧，两弧在∠AOB 的内部
相交于点 C；
1. 在 OA 和 OB 上分别截取 OD，OE，使 OD = OE；
A
B
E
D
C
O
(3) 作射线 OC.
射线 OC 就是∠AOB 的平分线.
你能说说这样作图的道理吗？
作法：
（3）画一画：如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB 的平分线.
“SSS”
3.如图,已知△ABC,∠C=90°,AC(1)用直尺和圆规,作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹);
(2)若∠B=36°,求∠CAD的度数.
解:(1)如图,点D即为所求.
D
(2)若∠B=36°,求∠CAD的度数.
(2)因为∠C=90°,∠B=36°,
所以∠CAB=90°-36°=54°.
因为AD平分∠CAB,
所以∠CAD=∠CAB=27°.
活动4：[延伸拓展]
与同伴进行交流，解决下列问题：
1.过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线,这两种尺规作图方法有什么共同点
A
l
P
C
∟
B
D
A
B
o
不同点：平角的平分线最后是作射线，而直线的垂线最后是作直线.
相同点：都涉及到了一个对称轴的概念.
在作垂线的情况下，利用的是直线的对称性；而在作平角的平分线时，利用的是角的对称性.
A
l
P
C
∟
B
D
A
B
o
活动4：[延伸拓展]
2.回顾探究等腰三角形、线段、角的性质的过程，你运用了哪些方法 积累了哪些经验
A
B
A
O
B
A
C
B
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
两距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段(距离)相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
1.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC=OD
C．点C、D到OE的距离不相等
D．∠AOE=∠BOE
C
D
C
E
A
B
O
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,
如果DE=5 ,∠CAD=32°,CD= ,∠B= .
解:因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,所以CD=DE=5 cm,
∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°,
所以∠B=90°-∠BAC=90°-64°=26°.
3.先任意画一个角，然后将它四等分（不写作法）.
4.在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上， CF=EB。试说明： BD=DF。
A
C
D
E
B
F
解：因为AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
所以CD＝DE(角平分线的性质)， ∠DEB＝90°，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
所以 Rt△CDF≌Rt△EDB(SAS)
所以 BD=DF(全等三角形对应边相等）

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