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5.2 课时2 线段的垂直平分线
1.了解线段的轴对称性.
2.理解并掌握线段垂直平分线的性质，能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题.
3.能用尺规作线段的垂直平分线.
思考：线段AB是轴对称图形吗 如果是，你能找出它的对称轴吗？
线段AB是轴对称图形.
这条对称轴与线段存在着什么关系呢？
A
B
折痕是线段AB的一条对称轴.
试一试2：观察自己手中的图形，折痕与AB有什么样的位置关系？AO与BO相等吗？说明你的理由.
折痕与AB垂直,AO=BO.
试一试1：如图所示,画一条线段AB,然后对折AB,使A,B两点重合,设折痕与AB的交点为O.把图形展开，你发现了什么
探究一　线段的对称性及垂直平分线的概念
1.线段的对称性
(1)对称性:线段是　　　　图形;
(2)对称轴:垂直并且平分线段的　　 　是它的一条对称轴.
轴对称
直线
2.线段垂直平分线的定义：
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.（简称“中垂线”）
C
D
O
思考交流：如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是 l上的任意一点.在线段AB上画出以直线l为对称轴的一组对应点D和D′,连接CD和CD′.
探究二　线段的垂直平分线的性质
D
D'
C
l
A
B
CD = CD' 且关于直线 l 对称
(1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系 说说你的理由.
（2）如图，当点D与点A重合时，点D'位于什么位置 此时，线段CD和CD'之间还有（1）中的关系吗
（2）当点D与点A重合时，点D′位于点B；线段CD和CD′之间仍然相等.
结论：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
你能验证这个结论吗
已知：如图，MN ⊥ AB，垂足为点 C，AC = BC，点 P 是直线 MN 上的任意一点.
试说明：PA = PB.
C
B
P
N
A
M
所以△PCA≌△PCB(SAS)，所以PA = PB.
解：因为MN⊥AB，
所以∠PCA = ∠PCB = 90°.
在△PCA 和△PCB 中，
AC = BC，
∠PCA =∠PCB，
PC = PC，
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
因为CO是线段AB的垂直平分线,
所以AC=BC.
线段垂直平分线的性质：
几何语言：
(2)因为AB=AC,所以∠B=∠C=25°,
所以∠BAC=130°.
因为AD=BD,所以∠BAD=∠B=25°,
所以∠CAD=130°-25°=105°.
解:(1)因为DE是AB的垂直平分线,所以AD=BD,
所以C△ACD=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=16.
例1 如图,在△ABC中,AB=AC=6,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E.
(1)若BC=10,求△ACD的周长;
(2)若∠C=25°,求∠CAD的度数.
利用线段的垂直平分线的性质，可以实现边相等、角相等的转化.
A
C
D
B
C
1.如图所示，CD是线段AB的垂直平分线，若AC=2cm，BD=4cm，则四边形ACBD的周长为（ ）
A.6cm B.10cm
C.12cm D.14cm
A
B
议一议：如图，已知线段 AB，如何作出它的垂直平分线？假设线段AB的垂直平分线已作出，那么
(1)这条直线有什么特征
(2)如何确定这条直线上的两个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试.如果只用尺规呢 与同伴进行交流.
这条直线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
探究三　线段垂直平分线的画法
需要确定的点是线段对称轴上的点，因此应当从线段两端进行“对称”的操作.
作法：
1.分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
2.作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
例2 如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线.
A
B
C
D
你能说明这样作的道理吗？
C
P
l
做一做：如图，已知直线和上的一点P，如何用尺规作的垂线，使它经过点P 能说明你的作法的道理吗
作法：
1.以点P为圆心，以适当长度为半径向点P左、右两边作弧，两弧相交于点A和B；
2.分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；
A
B
3.作直线CP.
直线CP就是直线 l 的垂线．
发现：过直线上一点作已知直线的垂线可转化为作线段垂直平分线.
线段的轴对称性
定义
性质
作法
线段及线段的垂直平分线
线段的垂直平分线
D
C
2.如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°，∠C=20°，DE是边AC的垂直平分线,交BC于点E,连接AE,则∠BAE等于(　　)
A.20° B.40° C.50° D.70°
1.如图所示,直线 l是线段AB的垂直平分线,O,P是直线 l上的两点,则线段PA,PB,OA,OB的关系是(　　)
A.PA=OA,PB=OB B.PA=PB=OA=OB
C.PA=OB,PB=OA D.PA=PB,OA=OB
24
27
10
3.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=8cm,DE是BC边的垂直平分线,△ABD的周长为14cm,则△ABC的面积是　　　　cm2.
4.如图所示,已知在Rt△ABC中,斜边AB的垂直平分线DE交边AC于点D,且∠CBD∶∠ABD=4∶3,那么∠A=　　　　°.
5.如图所示,在△ABC中,若PM,QN分别垂直平分AB,AC,点P, Q在BC上,BC=10cm,则△APQ的周长为　　　　cm.
6.如图所示,在Rt△ABC中,利用直尺和圆规作斜边AB上的中线.
解:如图所示,CD即为所求.
D

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