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4.3 课时4 三角形全等的综合运用
1.熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件，能正确地利用判定条件判定三角形全等.
2.能初步运用全等三角形的性质和判定定理解决线段相等与角相等的相关问题.
三角形全等的条件及判定方法：
对应相等
的元素
两边及
其夹角
两角及
其夹边
两角及其中
一角的对边
三边
三角形
全等理由
SAS
ASA
AAS
SSS
探究一：灵活选用合适方法证明三角形全等
活动1 如图，∠B＝∠DEF,BC＝EF,补充条件求证：△ABC≌△DEF.
（1）若要以“SAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿；
（4）若要以“SSS” 为依据，还缺条件 ；
（3）若要以“AAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿； 　
（2）若要以“ASA”为依据，还缺条件 ；
AB=DE
∠A=∠D
∠ACB=∠DFE
AB=DE,AC=DF
判定两个三角形全等的关键是什么？如何快速确定选用哪种判定方法呢？
1.选择哪种判定方法,要根据具体的已知条件而定,见下表所列:
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等
两角对应相等
两边对应相等
SAS AAS ASA
ASA AAS
SAS SSS
①要求什么？（证哪两个三角形全等）
②已有什么？（已知的边、角条件）
③还缺什么？（还需要什么条件才能判定全等）
④创造条件.（从已知条件中推导或寻找隐含条件）
2.判定三角形全等的分析思路：
活动2　如图，AB∥CD,并且AB=CD，那么 ABD与 CBD全等吗？请说明理由.
A
B
D
C
1
2
说一说：分析题目你能得到哪些已知条件，可选用哪个判定定理呢？
活动2　如图，AB∥CD,并且AB=CD，那么 ABD与 CBD全等吗？请说明理由.
解:因为AB//CD,
根据“两直线平行，内错角相等”,
所以∠1=∠2.
在△ABD和△CDB中，
因为AB=CD,∠1=∠2,BD=DB,
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ABD≌△CDB。
A
B
D
C
1
2
探究二：全等三角形判定和性质的综合应用
活动3 如图 AC与BD交于点 O,且 OA=OB,0C=OD。
(1) △AOD与△BOC全等吗 请说明理由.
(2)△ACD与△BDC全等吗 为什么 （先自行尝试说明，再与同学交流、比较你们的判定方法是否相同）
B
C
A
D
O
解:(1)因为∠AOD与∠BOC是对顶角，
根据“对顶角相等”，
所以 ∠AOD=∠BOC。
在△AOD和△BOC中,
因为OA=OB,∠AOD=∠BOC,OD=OC,
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△AOD≌△BOC
B
C
A
D
O
活动3 如图 AC与BD交于点 0,且 OA=OB,0C=OD。
(1) △AOD与△BOC全等吗 请说明理由.
(2) 由(1)可知，△AOD≌△BOC,
根据“全等三角形的对应边相等”，
所以 AD=BC.
因为 OA=OB,OC=OD,
AC=OA+OC,BD=OB+OD,所以AC=BD.
在△ACD和△BDC中，
因为AD=BC,AC=BD,DC=CD,
根据三角形全等的判定条件“SSS”，
所以△ACD≌△BDC
B
C
A
D
O
注意：当出现点共线、角共顶点时，经常会用到等量相加结果相等、等量相减结果相等，这也是求两条边、两个角相等经常用到的方法.
说一说：你还能根据其他的判断条件，判定这两个三角形全等吗
(2)△ACD与△BDC全等吗 为什么
在△ACD和△BDC 中，
因为AD=BC，∠A=∠B，AC=BD，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ ACD ≌△ BDC。
(2)△ACD与△BDC全等吗 为什么
在△ACD和△BDC 中，
因为∠A=∠B，AC=BD，∠ACD=∠BDC，
根据三角形全等的判定条件“ASA”，
所以△ ACD ≌△ BDC。
(2)△ACD与△BDC全等吗 为什么
1.如图，∠A，∠D为直角，AC与DB相交于点E，BE与EC相等，在图中找出两对全等三角形。
△ABE≌△ DCE ；
△ABC≌△ DCB
2.如图,已知点A,C在线段BD两侧，AB=AD，CB=CD，线段AC, BD相交于点O.下列结论中，正确的是____________.(填序号)
①∠ABC=∠ADC;
②AC⊥BD;
③AC平分∠BAD;
④OB=OD.
①②③④
判定三角形全等的思路
已知
两边
已知一边一角
已知
两角
找夹角(SAS)
找另一边(SSS)
找任一角(AAS)
边为角的对边
边为角的一边
找夹角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS)
找夹角的另一角(ASA)
找夹边(ASA)
找除夹边外的任意一边(AAS)
本节课我们学到了哪些知识与方法？
D
1.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件
是 ( )
A.∠A＝∠D
B.∠E＝∠C
C.∠A=∠C
D.∠ABD＝∠EBC
2.如图,已知点B,F,C,E在直线 l 上,点A,D在 l 异侧,且AC∥DF,AC=DF.
(1)请你添加一个适当的条件:__________,
使得△ABC≌△DEF.
(2)若BE=20,BF=6,则FC= .
∠A=∠D
8
3. 如图，点A ，B ，C ，D在一条直线上，且AB=CD，
若，∠1=∠2，EC=FB．试说明：∠E=∠F.
要证∠E=∠F.
分析：
需证△ACF≌△ADF
已知AB=CD
AB+BC=CD+BC
AC=BD
已知∠1=∠2
∠ABC=∠BCD=180°
∠ABC－∠1=∠BCD－∠2
∠DBF=∠ACE
SAS
EC=FB
解：因为AB=CD,
所以AB+BC=CD+BC. 即AC=BD.
因为∠ABC=∠BCD=180°，∠1=∠2 ，
所以∠ABC－∠1=∠BCD－∠2.
即∠DBF=∠ACE.
在△AEC和△DFB中，
因为EC=FB,∠ACE=∠DBF,AC=DB,
所以△AEC≌DFB （SAS）.
所以∠E=∠F.

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