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4.2 全等三角形
1.理解全等三角形的概念，能正确表示全等三角形，能识别全等三角形中的对应边、对应角.
2.掌握全等三角形的性质，能利用全等三角形的性质解决相关问题.
同一张底片洗出的相同尺寸的照片
同一种剪纸
形状，大小是几何
图形研究的重要内容
想一想：如图，在日常生活中，我们经常可以看到形状、大小完全相同，能够互相重合的图形，你还能想到一些例子吗？
A
B
C
D
E
F
活动1：将两张纸重叠在一起，剪出两张三角形，观察它们的特征，你有什么发现
定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
探究：全等三角的定义及性质
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.
其中点 A 和 ，点 B 和 ，点 C 和 是对应顶点.
AB 和 ，BC 和 ，AC 和 是对应边.
∠A 和 ，∠B 和 ，∠C 和 是对应角.
B
C
A
E
F
D
点 D
点 E
点 F
DE
EF
DF
∠D
∠E
∠F
1.全等三角形的对应元素
△ABC≌△FDE
A　
B
C
E
D
F
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
2.全等的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
3.全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，
全等三角形的对应角相等.
B
C
A
E
F
D
△ABC≌△DEF，
所以 AB = DE，AC = DF，BC = EF (全等三角形的对应边相等)，
∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F (全等三角形的对应角相等)
全等三角形性质的几何语言
A　
B
C
E
D
F
活动2 合作探究
(1)思考: 全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线呢？对应角的角平分线呢？你能想到哪些方法进行研究？
A　
B
C
M
N
Q
E
D
F
M'
N'
Q′
(2)做一做： 每人准备两张全等三角形纸片，并画出两张三角形纸片对应边的高。全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线呢？对应的角平分线呢？
A　
B
C
E
D
F
M
N
M'
N'
对应边上的高、中线、对应的角平分线也相等
Q
Q′
(3)操作与发现： 如图， 已知 △ABC≌△A'B'C'，如何在△A'B'C' 中画出与线段 DE 相对应的线段？图中有哪些相等的线段、相等的角？与同伴进行交流。
A　
B　
C　
D　
E　
A'　
B'　
C'　
D'　
E'　
在B′C′边上取B′D′ = BD，在 B′A′ 边上取 B′E′ = BE，连接D′E′。
相等的线段：
∠A= ∠A′，
AB= A′B′ ，
BC= B′C′ ，
AC= A′C′ ，
AE= A′E′，
BE= B′E′，
CD= C′D′，
BD= B′D′，
DE= D′E′。
∠B= ∠B′，
∠C= ∠C′，
∠AED= ∠A′E′D′。
∠CDE= ∠C′D′E′，
∠BED= ∠B′E′D′，
∠BDE= ∠B′D′E′，
相等的角：
D
A
B
C
E
A′
B′
C′
D′
E′
(1)全等三角形的对应边　　　　,对应角　　　　.
(2)全等三角形的对应线段(对应边的高,对应边的中线,对应角的平分线)都　　　　.
相等
相等
相等
全等三角形的性质
下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？三个呢？四个呢？(提示：用折纸的办法）
活动3 做一做
1. 如图，△ABC 与△ADC 全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角.
解：△ABC≌△ADC.
相等的边为：AB = AD，AC = AC，
BC = DC；
相等的角为：∠BAC =∠DAC，∠B =∠D，
∠ACB =∠ACD.
2. （1）如图，△ABC≌△BAD，如果 AB = 5 cm， BD = 4 cm，
AD = 6 cm，那么 BC 的长是（ ）
A. 6 cm B. 5 cm
C. 4 cm D. 无法确定
（2）∠CAB 的对应角是（　 ）
A.∠DAB　 B.∠DBA C.∠DBC D.∠CAD
A
O
C
D
B
A
B
C
3.如图，△ABC≌△CDA，并且BC＝DA，那么下列结论错误的
是(　　)
A．∠1＝∠2
B．∠ACB＝∠DAC
C．AB＝AD
D．∠B＝∠D
4.如图，△ABC≌△EBD，问∠1 与∠2 相等吗 若相等请说明理由.
解：∠l=∠2. 理由如下：
△EBD≌△ABC，
所以∠A = ∠E.
在△AOF 与△EOB 中，
∠AOF =∠EOB.
根据三角形内角和为 180°，所以∠1 =∠2.
5.如图，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D三点在一条直线上，求∠ACE的度数．
解：∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
所以∠BAC＝∠DCE.
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
所以∠ACB＋∠BAC＝90°.
所以∠ACB＋∠ECD＝90°.
所以∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠ECD)＝180°－90°＝90°.
针对以下问题，回顾本节课所学知识：
1.全等三角形概念及性质？
2.如何找两个全等三角形的对应边，对应角？
3.你认为利用全等三角形的性质能解决哪些问题？
全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形
符号表示
用“≌”连接两个全等三角形
性质
对应边相等，对应角相等。
全等三角形对应边的高、中线、角平分线分别相等。
1.有公共边的，公共边是对应边；
2.有公共角的，公共角是对应角；
3.有对顶角的，对顶角是对应角；
4.长边对应长边，短边对应短边，大角对应大角，小角对应小角.
全等三角形找对应边、对应角方法
补充：全等变换图形展示

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