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第四章 三角形
5.2 课时3 角平分线的性质
1.了解角是轴对称图形.
2.理解并掌握角平分线的性质定理.
3.能利用尺规作一个角的角平分线.
想一想：角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？如何判断呢
问题1：如图，将 ∠AOB 对折，你发现了什么？
角两边能完全重合
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线.
O
B
A
C
（一）角的轴对称性
问题2： 如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB中画出以 OP所在直线为对称轴的一组对应点 D和D'，连接 CD和 CD'.
A
O
B
C
P
D
D'
CD = CD'
（二）角平分线的性质
(1)线段 CD 和 CD'之间有什么关系 说说你的理由.
A
O
B
C
P
D
D'
CD = CD'
理由如下：
因为OP是∠AOB的平分线，
所以∠POA=∠POB。
在△COD和△COD'中，
DO= D'O， ∠POA=∠POB ，CO=CO。
所以△CED≌△CED'(SAS)
所以CD=CD'
(2)特别地，当CD⊥OA时，CD'与 OB有怎样的位置关系 为什么
O
B
A
C
D
D′
P
CD'⊥OB
理由如下:
因为 CD⊥OA，
由(1)可知，∠OD'C=∠ODC=90°，
所以CD'⊥OB.
此时，线段CD和CD' 还满足相等关系吗 由此你能得到什么结论
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
所以PD = PE
PD⊥OA，PE⊥OB，
几何语言：
因为OP 是∠AOB的平分线，
A
O
B
C
P
D
E
应用所具备的条件:
①点在角平分线上;②到角两边的距离(垂直).
可用于证明线段相等
1.如图所示，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D，E，PD = 4 cm，则 PE = ____cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
方法：存在两条垂线段——直接应用
2.如图所示，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝4， AB＝14.
(1) 则点 P 到 AB 的距离为_____；
(2) 求△APB 的面积.
A
B
C
P
D
4
方法归纳：存在一条垂线段——构造应用
故 AB·PD = 28.
解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，
问题3：如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线
思路：
①利用性质确定角平分线上的一个点；
②连接这个点和顶点确定角平分线。
（三）利用尺规作角平分线
假设∠AOB 的平分线已作出，那么
(1)这条射线有什么特征
注意：需要确定的点是角对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作.
射线在∠AOB内部，端点是О，在这条射线上任取一点(非点O)，这一点到边OA，OB的距离相等.
(2) 如何确定这条射线上除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试. 如果只用尺规呢 与同伴进行交流.
例1 如图，已知∠ AOB，请用尺规作∠ AOB 的平分线。
A
B
O
(2) 分别以点 D、点 E 为圆
心，大于 DE 的长为半径
画弧，两弧在∠AOB 的内部
相交于点 C；
1. 在 OA 和 OB 上分别截取 OD，OE，使 OD = OE；
A
B
E
D
C
O
(3) 作射线 OC.
射线 OC 就是∠AOB 的平分线.
你能说说这样作图的道理吗？
作法：
议一议：过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的角平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点
不同点：平角的平分线最后是作射线，而直线的垂线最后是作直线.
相同点：都涉及到了一个对称轴的概念.
在作垂线的情况下，利用的是直线的对称性；而在作平角的平分线时，利用的是角的对称性.
A
l
P
C
∟
B
D
A
B
o
3. 先任意画一个角，然后将它四等分.
作法：画出已知角∠AOB .
1.作∠AOB 的平分线OC.
2.分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE，
即将∠AOB四等分 .
O
B
A
C
E
D
角的对称性
及角平分线
性质
尺规作
角平分线
(2)分别以点D，E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；
(3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线.
(1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
1.下列说法错误的是( )
B
A. 角是轴对称图形
B. 角平分线是角的对称轴
C. 将对折，使和重合，折痕所在的直线是
的对称轴
D. 角只有1条对称轴
2. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.
下列结论中不一定成立的是( )
A
O
B
P
D
A.PA=PB
B.PO平分∠APB
C.OA=OB
D.AB垂直平分OP
3. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是点 E，F，若∠EDB =∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = （填图中线段）.
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
解：过点 P 作 MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N.
因为 AD∥BC，
所以 MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 间的距离.
因为 AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，
所以 PM = PE. 同理，PN = PE.
所以 PM = PN = PE =3.
所以 MN = 6， 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
4. 如图所示，已知 AD∥BC，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，PE⊥AB 于 E，且 PE = 3. 求 AD 与 BC 间的距离.

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