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第四章 三角形
5.2 课时2 线段的垂直平分线
1.了解线段的轴对称性.
2.理解并掌握线段垂直平分线的性质.
3.能用尺规作线段的垂直平分线.
问题1：你还记得什么是轴对称图形吗？
如果一个平面图形沿一条直线折叠后， 直线两旁的部分能够互相重合， 那么这个图形叫作轴对称图形， 这条直线叫作对称轴.
问题2：线段是轴对称图形吗 它的对称轴在哪里？
A
B
A
B
O
l
(一)线段的对称性
探究1：线段AB是轴对称图形吗？如何找它的对称轴
对折线段AB，使A，B两点重合，设折痕l与AB 的交点为O
折痕l与AB垂直
AO=BO
如何描述对称轴的位置？
A
B
线段是轴对称图形， 垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。
垂直于一条线段， 并且平分这条线段的直线， 叫作这条线段的垂直平分线(简称“中垂线”)。
线段垂直平分线的定义:
（二）线段垂直平分线的性质
探究2：如图 ， 直线l是线段AB的垂直平分线，点 C 是 l 上的任意一点。在线段 AB 上画出以直线 l为对称轴的一组对应点 D 和 D'，连接CD和CD'。
（1）线段CD和CD'之间有什么关系
你是如何得出结论的？
CD= CD'
A
C
B
D
D′
l
O
方法1：折叠法
方法2：度量法
A
C
B
D
D′
l
O
CD=15cm,
CD′=15cm.
C
A
B
D
D′
l
O
因为点D和D'关于对称轴 l 对称，交线段AB于点O，
所以DO= D'O，∠COD=∠COD'。
在△COD和△COD'中，
因为DO= D'O，∠COD=∠COD'，CO=CO。
所以△COD≌△COD'(SAS)
所以CD=CD'。
O
方法3：借助全等三角形的知识进行说明
点D'与点B重合
（2）如图，当点D与点A重合时，点D'位于什么位置 此时，线段CD和CD'之间还有（1）中的关系吗
CD=CD'
思考: 改变点C的位置，结论还成立吗
由此你能得到什么结论？
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的性质:
几何语言：
因为MN是线段AB的___________，且C为MN上任意一点
垂直平分线
所以______=______
AC
BC
M
A
B
N
C
注意：
(1)线段的垂直平分线必须同时满足两个条件：
①经过线段中点；
②垂直于这条线段.
M
A
B
N
C
(2)线段的垂直平分线是直线.
例1 如图，已知AB是CD的垂直平分线，下列结论：
①CO＝DO；②AO＝BO；③AB⊥CD；④CD⊥AB.其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
√
√
√
例2 如图，已知点D是AB的垂直平分线与AC的交点，如果AC＝2 cm，
BC＝1.3 cm，那么△BDC的周长是多少？
分析：要求△BDC的周长，已知BC的长，只需求CD＋DB的长度，根据垂直平分线的性质，得BD＝AD，所以AC＝CD＋DB.
解：因为点D在AB的垂直平分线上，所以DA＝DB，
所以△BDC的周长＝CD＋DB＋BC
＝CD＋DA＋BC
＝AC＋BC＝2＋1.3＝3.3(cm).
探究3：如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线 你能想到哪些方法？
A
B
思路2：①确定垂直平分线上的两个点；
②连接两点确定垂直平分线。
思路1：①确定线段AB的中点；
②过线段AB的中点作它的垂线。
（三）利用尺规作线段的垂直平分线
(2) 如何确定这条直线上的两个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试. 如果只用尺规呢 与同伴进行交流.
A
B
注意：需要确定的点是线段对称轴上的点，因此应当从线段两端进行“对称”的操作.
这条直线与AB的交点是AB的中点，且与AB垂直，直线上的点到线段AB两端距离相等。
(1) 这条直线有什么特征
若假设线段AB的垂直平分线已作出，那么
例3 利用尺规，作线段 AB 的垂直平分线.
作法：
1.分别以点 A 和 B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，
已知：线段 AB.
求作：线段AB 的垂直平分线.
2. 作直线 CD．直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.


A
B
C
D
两弧相交于点 C 和 D；


你能说说这样作的道理吗？
做一做: 如图，已知直线l 和l 上的一点P，如何用尺规作l 的垂线，使它经过点P 能说明你的作法的道理吗
1.以P点为圆心，以任意长为半径画圆，交 l 于A、B两点；
2.分别以点A和点B 为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D ；
3.作直线CD.
直线CD即为过点P 的直线l 的垂线.
线段的轴对称性
定义
性质
作法
线段及线段的垂直平分线
线段的垂直平分线
本节课你学到了哪些知识与方法？
1. 下列说法中错误的是( )
C
A. 线段是轴对称图形
B. 线段的对称轴一定经过这条线段的中点
C. 线段有无数条对称轴
D. 线段的垂直平分线是它的一条对称轴
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2. 如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，
且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
B
A
3.如图，在中， ，，的垂直
平分线交于点 ，交于点，则 的度数是
( )
A. B. C. D.
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4.如图，某地由于居民增多，要在公路 l 边增加一个公共汽车站，A，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站 C 建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
解：这个公共汽车站 C 的位置如图所示.
解析：连接 AB，作 AB 的垂直平分线交
直线 l 于点 C，交 AB 于点 E.
因为 EC 是线段 AB 的垂直平分线，
所以点 C 到 A，B 的距离相等.
此时两个小区到车站的路程一样长.

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