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6.3 三角形的中位线
第六章 平行四边形
1. 理解中位线的概念和性质；
2. 能够利用中位线解决相关问题.
1．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
操作：(1)剪一个三角形，记为△ABC；
(2)分别取AB，AC中点D，E，连接DE；
(3)沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E旋转180°，得四边形BCFD.
A
D
E
B
C
F
三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线的概念
A
D
E
B
F
C
如图，因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE为△ABC的中位线．同理EF，DF也是△ABC的中位线．一个三角形有三条中位线．
2．思考：四边形BCFD是平行四边形吗？
解：△ADE≌△CFE，可得AD＝CF＝BD，∠ADE＝∠F，
∴BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形．
A
D
E
B
C
F
3．若四边形BCFD是平行四边形，
那么DE与BC有什么位置和数量关系呢？
A
D
E
B
F
C
中位线是两边中点的连线
思考：三角形的中位线与中线有什么区别？
中线是顶点和对边中点的连线．
探究.三角形的中位线定理
如图，若四边形BCFD是平行四边形，D，E分别为AB，AC的中点，
那么DE与BC有什么位置和数量关系？如何证明？
如图，已知DE是△ABC的中位线．
求证：DE∥BC，DE＝BC.
A
D
E
B
C
F
证明：由前面可知，
∴DE＝FE，
∵四边形DBCF是平行四边形,
∴，
∴DE ，
＝
三角形中位线定理：
∵DE是△ABC的中位线
用几何语言叙述：
D
A
B
C
E
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
∴DE∥BC, DE＝BC.
例1 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点，∠ADB = 90°，AC = 6，OE =1. 求AD 和 BD 的长度.
解：∵ □ ABCD 的对角线 与 相交于点，
∴ AO = OC，DO = OB (平行四边形的对角线互相平分).
∵ E 为 AB 的中点，
∴ OE 是 △ADB 的中位线(三角形的中位线的定义).
∴ AD = 2OE = 2 (三角形中位线定理).
∴ BD = 2DO = .
在Rt△ADO中，由勾股定理可得 .
∴ AO = AC = = 3.
∵ AC = 6，AO = OC，
例2.如图，顺次连接四边形ABCD的四条边的中点E，F，G，H，所得的四边形EFGH有什么特点？
分析：将四边形 ABCD 分割为三角形，利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
证明：连接 AC.
∵E，F，G，H 分别为各边的中点，
∴ EF∥HG，EF = HG.
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
∴EF∥AC，
HG∥AC，
原四边形两条对角线 连接四边中点所得四边形
互相垂直
矩形
相等
菱形
互相垂直且相等
正方形
既不互相垂直也不相等
平行四边形
实际上，顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关.
三角形中位线
定 义
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性 质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
1．如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，下列结论成立的是(　 　)
A．线段EF的长度逐渐增大
B．线段EF的长度逐渐减小
C．线段EF的长度不改变
D．线段EF的长度不能确定
C
2．已知一个三角形的三条中位线的长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，求这个三角形的周长为_________．
3．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，
则图中平行四边形的个数为_____．
18cm
3
4．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，
CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的
周长为_____．
20
5. 如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，P是对角线AC的中点，
M是AD的中点，N是BC的中点，连接PM，MN，PN.
(1)若AB＝6，求PM的长度；
(2)若∠PMN＝20°，则∠MPN的度数为 .6，
解：(1)∵AB＝DC，AB＝6，
∴DC＝6.
∵点P是AC的中点，点M是AD的中点，
∴PM＝ DC＝ ×6＝3.
140°　
6.如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.
(1)求证：△ABF≌△ECF；
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵CD＝CE，
∴AB＝CE.
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠E，且∠AFB＝∠CFE.
∴△ABF≌△ECF(AAS).
(2)求AB与OF有怎样的数量关系．
(2)∵△ABF≌△ECF，
∴BF＝CF.
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AO＝CO，
∴OF是△ABC的中位线，
∴AB＝2OF.

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