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4.3 课时2 运用完全平方公式因式分解
第四章 因式分解
1.探索并运用完全平方公式进行因式分解，体会逆向思维在数学中的作用.
2.能综合运用完全平方公式对多项式进行因式分解.
1．把下列各式因式分解：
(1)4a2－9b2；(2)ax4－ax2.
解：(1)原式＝(2a＋3b)(2a－3b)；
(2)原式＝ax2(x＋1)(x－1).
2．如何用前面学过的方法把多项式x2＋8x＋16因式分解呢？
3．填空：
(1)(x＋2)2＝____________；
(2)(2x－y)2＝_____________；
反过来：(1)__________＝(x＋2)2；
(2)____________＝(2x－y)2.
x2＋4x＋4
4x2－4xy＋y2
x2＋4x＋4
4x2－4xy＋y2
思考：1.以上运算，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？
2.整式乘法与因式分解有什么关系？
在下面的等式中，我们用到了整式乘法中的哪个公式？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2；
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
在a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2中，形如a2±2ab＋b2的式子称为完全平方式．
根据因式分解与整式乘法的关系，如果把乘法公式反过来，那么
就可以把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法．
下列各式有哪些能用完全平方公式分解因式？
(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4xy＋4y2＋16；(3)4a2＋2ab＋b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2＋6x＋9.
解：(1)(5)能用完全平方公式分解因式；(2)(3)(4)不能用完全平方公式分解因式．
思考：这些能用完全平方公式分解因式的代数式有什么样的特点？
1．必须是三项式(或可以看成三项的)；
完全平方式的特征：
2．有两个同号的平方项；
3．有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍)．
即：头平方，尾平方，乘积2倍在中央．
a2＋6a＋9＝a2＋2×____×____＋(____)2
＝(_____)2；
a2－12a＋36＝a2－2×____×____＋(____)2
＝(______)2；
m2＋8m＋16＝m2＋2×____×____＋(____)2
＝(______)2；
x2－4xy＋4y2＝x2－2×____×____＋(____)2
＝(_______)2.
a
3
3
a＋3
a
6
6
a－6
m
4
4
m＋4
x
2y
2y
x－2y
完成下面填空.
用完全平方公式法因式分解的关键是：
判断一个多项式是不是一个完全平方式．左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和(或差)的平方，从而达到因式分解的目的．
例1 把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
分析：在(1)中49＝72，14x＝2·x·7，所以x2＋14x＋49是
一个完全平方式，即：
x2＋14x＋49＝x2＋2×x×7＋ 72 ＝(x ＋ 7)2.
头2＋2 ·头·尾＋尾2＝(头＋尾)2
在(2)中多项式中的两个平方项分别是(m＋n)2和32，另一项6(m＋n)＝2·(m＋n)·3，符合完全平方式的形式，这里“m＋n”相当于完全平方式中的a，“3”相当于完全平方式中的b，如果将(m＋n)看作一个整体，即：
(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝(m＋n)2－2×(m＋n)×3＋32＝[(m＋n)－3]2
头2 － 2 · 头 · 尾 ＋ 尾2 ＝ (头 － 尾)2
例2.将下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；
(2)－x2－4y2＋4xy.
分析：在(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中如果把多项式的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式法因式分解．
解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2
＝3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2.
(2)－x2－4y2＋4xy
＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－(x－2y)2.
1 因式分解3a2b－6ab＋3b的结果是 ( )
A．3b(a2－2a) B．b(3a2－6a＋1)
C．3(a2b－2ab) D．3b(a－1)2
2 分解因式：3x3y－6x2y2＋3xy3＝___________．
D
3xy(x－y)2
3 分解因式：
(1)9－6(x－y)＋(x－y)2＝__________；
(2)(x2＋y2)2－4x2y2＝_______________．
4 计算：
(1)342＋34×32＋162＝_________＝______；
(2)38.92－77.8×48.9＋48.92＝_____________＝____．
(x－y－3)2
(x＋y)2(x－y)2
(34＋16)2
2500
(38.9－48.9)2
100
5 已知a＋b＝5，ab＝10，则代数式a3b＋a2b2＋ab3的值为____．
6 已知a＝7－3b，则式子a2＋6ab＋9b2＝____．
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完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.

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