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4.2 课时1 公因式与提公因式
第四章 因式分解
能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题.
2. 能简单运用提公因式法进行因式分解.
想一想：整式乘法与因式分解之间有什么关系？
b(a+c)
ab+bc
整式乘法
ab+bc
b(a+c)
因式分解
ab+bc
b(a+c)
整式乘法
因式分解
(1)多项式ab＋bc中，各项由哪些因式组成？各项有相同的因式吗？
(2)多项式3x2＋x各项含有的相同因式是什么？多项式mb2＋nb－b呢？
多项式 ab + bc的各项都含有相同的因式 b.我们把多项式中各项都含有的
相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
例1 观察下列各式：①2a＋b和a＋b；②5m(a－b)和－a＋b；③3(a＋b)和－a－b；
④x2－y2和x2＋y2.其中有公因式的是 (　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
B
【解析】①2a＋b和a＋b没有公因式；
②5m(a－b)和－a＋b的公因式为(a－b)；
③3(a＋b)和－a－b的公因式是(a＋b)；
④x2－y2和x2＋y2没有公因式．
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.（当系数是整数时）
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中字母的最低次幂.
找公因式的方法：
1.3x2＋6x3中各项的公因式是____，
2.多项式3x2y＋6x3y2中各项的公因式是_______．
3x2
3x2y
提公因式法的概念
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫作提公因式法。
例2 把下列各式因式分解：
(1)3x＋x3; (2)7x3－21x2；
(3)8a3b2－12ab3c＋ab; (4)－24x3＋12x2－28x.
分析：按提公因式法因式分解的步骤进行因式分解，找准公因式是关键．
它们的公因式分别是：(1)x；(2)7x2；(3)ab；(4)－4x.当公因式第一项的
系数是负数时，一般提出“－”号，使括号内第一项的系数为正数．在
提出“－”号时，多项式的每一项都要变号，另外不要漏项．
解：(1)3x＋x3＝x(3＋x2).
(2)7x3－21x2＝7x2(x－3).
(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab(8a2b－12b2c＋1).
(4)－24x3＋12x2－28x＝－4x(6x2－3x＋7).
例2 把下列各式因式分解：
(1)3x＋x3; (2)7x3－21x2；
(3)8a3b2－12ab3c＋ab; (4)－24x3＋12x2－28x.
注意：
提公因式法因式分解的步骤：
多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项
的系数成为正数．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．
(1)找出公因式；
(2)提公因式；
(3)把多项式化成两个因式乘积的形式．
1．多项式6ab2＋24a2b2－12a3b2c的公因式是(　 　)
A．6ab2c B．ab2
C．6ab2 D．6a3b2c
C
2．分解－4x3＋8x2＋16x的结果是(　 　)
A．－x(4x2－8x＋16)
B．x(－4x2＋8x－16)
C．4(－x3＋2x2－4x)
D．－4x(x2－2x－4)
D
4.将下列各式分解因式：
（1） ma + mb；
（2） 5y3 + 20y2；
（3） 4m3 - 6m2；
（4） a2b – 5ab+9b；
（5） -a2 +ab - ac；
（6） -2x3 +4x2 – 6x.
解：（1）ma + mb= m(a+b)；
（2） 5y3 + 20y2= 5y2(y+4)；
（3） 4m3 - 6m2= 2m2(2m-3)；
（4） a2b – 5ab+9b= b(a2-5a+9)；
（5） -a2 +ab – ac= -a(a-b+c)；
（6） -2x3 +4x2 – 6x= -2x(x2-2x+3).
因式
分解
提公因式法
（单项式）
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号

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