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2026年上海中考复习 简答第25题专题复习
(知识总结+考点精讲+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 平行四边形、梯形、菱形等特殊四边形的性质与判定，能综合运用全等、相似、勾股定理进行几何论证。
熟练运用 相似三角形的基本模型（A字型、8字型、母子型、一线三等角）解决线段比例、面积比及动态几何中的函数关系。
理解 圆的性质（垂径定理、圆周角定理、切线性质）与圆中相似三角形的构造，能解决圆中的证明与计算。
掌握 与圆相关的函数关系（如半径、弦长与变量之间的函数解析式）及定义域、最值问题。
会利用 几何中的特殊位置（中点、黄金分割点、角平分线、垂直）建立方程，求解线段长度或比值。
提升 新定义问题（镶嵌相似形、优雅抛物线等）的阅读理解与迁移能力，综合运用方程思想、分类讨论。
核心聚焦：四边形综合、圆与相似、动态函数建模，精准突破第25题压轴几何证明与计算。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 四边形与相似三角形综合
平行四边形性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。常用作中点、构造全等（如题1中点构造、题4菱形判定）。
梯形性质：一组对边平行。常作辅助线：平移腰、作高、延长两腰，将梯形转化为三角形或平行四边形（题2、题11、题18）。
等腰梯形：两腰相等，底角相等，对角线相等，常与圆内接四边形结合。
相似三角形基本模型：A字型、8字型、母子型、一线三等角。在四边形中常结合中点、角平分线、垂直条件推导比例中项或等积式（题1、2、10、12、13）。
中点与中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半；直角三角形斜边中线等于斜边一半；中点可构造全等或平行（题1、2、4）。
黄金分割：点D是线段OE的黄金分割点 或 （题17）。
☆ 圆的基本性质与相似
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。常用于构造直角三角形、中点（题8、15、16）。
圆周角定理及推论：直径所对圆周角为90°；同弧所对圆周角相等。常用于证明垂直、等角，进而得相似（题3、6、9、14、15、16、17、21、22）。
切线性质与判定：切线垂直于过切点的半径；过半径外端且垂直于半径的直线是切线；切线长定理（题14、22）。
圆幂定理：相交弦定理、切割线定理、割线定理。常由相似推导乘积式（题3、9、16、20、21）。
圆内接四边形：对角互补，外角等于内对角，常用于等腰梯形、角度计算（题6、8、9、17）。
正多边形与圆：中心角 ，边长、半径、边心距关系（题8）。
☆ 几何综合中的函数关系
相似三角形建立函数：利用相似比例式，将未知线段表示为自变量的函数，进而求解析式及定义域（题10、12、13、14、15、16、18、19、课后1、2、4）。
面积比与函数：通过相似三角形面积比等于相似比的平方，或等高三角形面积比等于底边比，建立面积关于变量的函数（题1、3、15、17）。
动圆与函数：圆中半径、弦心距、弦长之间的勾股关系，结合动点位置变化建立函数（题14、16、18、19、课后2、3、4）。
定义域与最值：根据几何约束（线段长度非负、点在线上、圆与直线相交等）确定自变量范围，并利用函数性质求最值或取值范围（题14、18、19、课后1、4）。
☆ 新定义与探究性问题
镶嵌相似形：一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且两三角形相似（题13）。解法：利用平行或比例构造相似，设未知数列方程。
直角三角形斜边中线逆定理：三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形（题20）。常用于证明直角。
黄金分割点：在圆中结合等腰三角形、相似推导比值（题17）。
☆ 知识模块速查表
模块 核心内容/定理 常见题型/方法
四边形综合 平行四边形、梯形性质；中点构造；全等、相似 证角相等、比例中项、面积比、求线段长
圆与相似 垂径定理、圆周角定理、切线性质、圆幂定理 证垂直、等角、相似；求弦长、半径；证比例中项
函数建模 相似比与函数、面积与函数、圆中勾股函数 求y关于x的解析式及定义域、最值问题
新定义探究 镶嵌相似形、直角三角形斜边中线逆定理、黄金分割 阅读理解，转化为代数方程或几何条件
分类讨论 等腰三角形、相似对应、点位置、相切情况 多解情况，注意验证取舍
核心考点 ·典例精讲
一．直击考场（共9小题）
1．如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．
（1）若E是BC中点；
①如图1，若AE＝EF，求证：∠BAE＝∠EFC；
②如图2，若CF＝DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；
（2）如图3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）．
【分析】（1）①延长FE，AB交于H，可证明△BEH≌△CEF（AAS），得到EH＝EF，∠H＝∠CFE，则可证明AE＝EH，得到∠H＝∠BAE，则∠BAE＝∠CFE；
②如图所示，延长BF，AD交于M，由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，证明△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，得到，，则BF＝MF，BC＝DM；设CE＝BE＝m，则BC＝DM＝2m，AM＝AD+DM＝4m，进而可得，即可得到，可证明，，设S△ABG＝4n，则S△BGE＝n，S△AFG＝6n，则，据此可得答案；
（2）延长AD，EF交于M，由平行四边形的性质可得AD∥BC，CD＝AB＝3，证明△AEF∽△MEA，△AEF∽△ECF，再证明△ECF∽△MDF，得到，求出 DF＝CD﹣CF＝2，设CE＝s，FE＝t，则由相似三角形的性质可得AE＝st，AF＝t2DM＝2s，FM＝2t，进而可得AM＝AD+DM＝5+2s；再由△AEF∽△MEA，得到，则，解方程即可得到答案．
【解答】（1）①证明：如图所示，延长FE，AB交于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EBH＝∠ECF，∠EHB＝∠EFC，
∵E是边BC中点，
∴BE＝CE，
∴△BEH≌△CEF（AAS），
∴EH＝EF，∠H＝∠CFE，
∵AE＝EF，
∴AE＝EH，
∴∠H＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠CFE；
方法2：过点E作EI∥AB交AF于点I，
∵EI∥BA，AB∥CD，
∴BAE＝∠AEI，∠EFC＝∠IEF，
∵E为BC的中点，
∴I为AF的中点，
∵AE＝AF，
∴∠AEI＝∠IEF，
∴∠BAE＝∠EFC；
②解：如图所示，延长BF，AD交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，
∴，，
∴BF＝MF，BC＝DM，
∵E是边BC中点，
∴BC＝2CE＝2BE，
设CE＝BE＝m，则BC＝DM＝2m，
∴AM＝AD+DM＝4m，
∴，1，
∴，
∴，，
设S△ABG＝4n，则S△BGE＝n，S△AFG＝6n，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，延长AD，EF交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝3，
∴∠AEB＝∠EAD，
∵∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，
∴∠EFA＝∠EAD，
又∵∠AEF＝∠MEA，
∴△AEF∽△MEA，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝∠EFC+∠FCE+∠FEC＝180°，∠AEB＝∠EFC，
∴∠AEF＝∠FCE，
∴△AEF∽△ECF，
∵AD∥BC，
∴△ECF∽△MDF，
∴，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2，
设CE＝s，FE＝t，
∵△AEF∽△ECF，
∴，即，
∴AE＝st，AF＝t2，
∵，即，
∴DM＝2s，FM＝2t，
∴AM＝AD+DM＝5+2s，
∵△AEF∽△MEA，
∴，即，
∴，
解得或（舍去），
∴．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且．
（1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF，求证：EF∥BC；
（2）已知AD＝AE＝1；
①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM DN，求边CD的长．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）①；②．
【分析】（1）添加辅助线，转移比例线段，得到，从而证出EF∥BC；
（2）利用三角形外接圆得性质得出△AOE≌△AOD，再根据BO平分∠ABC得出∠AOB＝90，然后得出相似，求出半径OA的长度；
（3）最后一问难度较大，首先将条件转化成线段和角度关系，由CD2＝DM DN，很容易找到△DCN∽△DMC，再根据这个相似结论证出△BEM∽△BPC，多组相似转化，再利用勾股定理建立方程，求出未知数．
【解答】（1）证明：延长DE和CB交于点G，
∵AD∥BC，
∴，
∵AEAB，DF
∴，，
∴，
∴EF∥BC．
（2）①记点O为△ADE外接圆圆心，过点O作OF⊥AE于点F，连接OA，OD，OE．
∵点O为△ADE外接圆的圆心，
∴OA＝OE＝OD，
∴AF＝EFAE，
∵AEAB，
∴AB＝3AE＝3，
∵AE＝AD，OE＝OD，OA＝OA，
∴△AOE≌△AOD（SSS），
∴∠EAO＝∠DAO，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴2∠EAO+2∠ABO＝180°，即∠EAO+∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵OF⊥AE，
∴∠AFO＝∠AOB＝90°，
∵∠FAO＝∠OAB，
∴△FAO∽△OAB，
∴，即AO2＝AF AB，
∴AO，
∴△ADE外接圆半径为．
②方法一：延长BA，CD交于点P，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q．
∵AD∥BC，
∴△PAD∽△PBC，
∴，
由①知AB＝3，
∴，
∴PA＝1，
∵CD2＝DM DN，
∴，
∵∠CDN＝∠MDC，
∴△DCN∽△DMC，
∴∠DCN＝∠CMD，
∵∠DMC＝∠CEM，
∴∠CEM＝∠DCN，
∴EM∥CD，
∴，
由AB＝3，AE＝1得，BE＝2，
∴，
∴BM＝MC＝2，
∴△BEM∽△BPC，
∴，
设ME＝2a，则PC＝4a，
∵AD∥BC，
∴，
∴PD＝a，DC＝3a，
∵EM∥CD，
∴△ENM∽△CND，
∴，
设EN＝2b，则CN＝3b，
∵∠DMC＝∠CEM，∠ECM＝∠MCN，
∴△CNM∽△CME，
∴，即CM2＝CN CE，
∴4＝3b 5b，解得b，
∴CE，
在Rt△BQE中，由勾股定理可得：
BE2﹣BQ2＝CE2﹣CQ2，
∴4﹣BQ2＝（）2﹣（4﹣BQ）2，
解得BQ，
∴EQ2＝BE2﹣BQ2，
∵QM＝BM﹣BQ＝2，
∴在Rt△EQM中，由勾股定理可得，EM，
∵，
∴DC．
方法二：
∵AD＝AE＝1，
∴AB＝3AE＝3，
∵AD∥BC，BC＝4，
∴，即，
∴AP＝1＝AD＝AE，
∵BE＝AP﹣AE＝2，PE＝AE+AP＝2，
∴E为BP中点，
∵CD2＝DM DN，
∴△DCN∽△DMC，
∴∠DCN＝∠DMC＝∠CEM，
∴EM∥CD，
∴M也为BC中点，
∴CM＝BM＝2，
∵BP＝BC＝4，
∴∠P＝∠DCM，
∵∠ECP＝∠DMC，
∴△ECP∽△DMC，
∴，
设DP＝a，则CD＝3a，CP＝4a，
∴，解得a，
∴CD．
方法三：由CD2＝DM DN易得△DCN∽△DMC，
∴∠DCN＝∠CMD，
∵∠DMC＝∠CEM，
∴∠CEM＝∠DCN，
∴EM∥CD，
延长DA、ME交于点F，
则四边形CDFM是平行四边形，
∴△EAF∽△EBM，
∴，
设AF＝n，则BM＝2n，DF＝CM＝n+1，
∴BC＝BM+CM＝2n+n+1＝4，
解得n＝1，
∴AF＝1，BM＝2，
连接DE，
由AD＝AF＝AE可得∠DEF＝90°，
设EF＝m，则EM＝2m，CD＝3m，设EN＝2t，则CN＝3t，
由△CMN∽△CEM可得，
，即CM2＝CE CN，
∴4＝3t 5t，
解得t2，
由DE2＝DF2﹣EF2＝CE2﹣CD2得，
22﹣m2＝25t2﹣9m2，
解得m，
∴CD＝3m．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，同时也考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
3．如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．
（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
（2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；
（3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）OB＝1；
（3）的值为．
【分析】（1）由∠ABC＝∠C，∠ODB＝∠ABC，即得∠C＝∠ODB，OD∥AC，根据F是OB的中点，OG＝DG，知FG是△OBD的中位线，故FG∥BC，即可得证；
（2）设∠OFE＝∠DOE＝α，OF＝FB＝a，有OE＝OB＝2a，由（1）可得OD∥AC，故∠AEO＝∠DOE＝α，得出∠OFE＝∠AEO＝α，进而证明△AEO∽△AFE，AE2＝AO﹣AF，由AE2＝EO2﹣AO2，有EO2﹣AO2＝AO×AF，解方程即可答案；
（3）△OBG是以OB为腰的等腰三角形，①当OG＝OB时，②当BG＝OB时，证明△BGO∽△BPA，得出 ，设 OG＝2k，AP＝3k，根据OG∥AE，得出△FOG∽△FAE，即得AE＝2OG＝4k，PE＝AE﹣AP＝k，连接OE交PG于点Q，证明△QPE∽△QGO，在△PQE与△BQO 中，，，得出，可得△PQE∽△OQB，根据相似三角形的性质得出a＝2k，进而即可求得答案．
【解答】（1）证明：如图：
∵AC＝AB，
∴∠ABC＝∠C，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵F是OB的中点，OG＝DG，
∴FG是△OBD的中位线，
∴FG∥BC，即GE∥CD，
∴四边形CEGD是平行四边形；
（2）解：如图：
由∠OFE＝∠DOE，AO＝4，点F边OB中点，设∠OFE＝∠DOE＝α，OF＝FB＝a，则OE＝OB＝2a，
由（1）可得OD∥AC，
∴∠AEO＝∠DOE＝α，
∴∠OFE＝∠AEO＝α，
∵∠A＝∠A，
∴△AEO∽△AFE，
∴，即 AE2＝AO AF，
在Rt△AEO 中，AE2＝EO2﹣AO2，
∴EO2﹣AO2＝AO×AF，
∴（2a）2﹣42＝4×（4+a），
解得： 或 （舍去），
∴OB＝2a＝1；
（3）解：①当OG＝OB时，点G与点D重合，不符合题意，舍去；
②当BG＝OB 时，延长BG交AC于点P，如图所示，
∵点F是OB的中点，AO＝OF，
∴AO＝OF＝FB，
设AO＝OF＝FB＝a，
∵OG∥AC，
∴△BGO∽△BPA，
∴，
设OG＝2k，AP＝3k，
∵OG∥AE，
∴△FOG∽△FAE，
∴，
∴AE＝2OG＝4k，
∴PE＝AE﹣AP＝k，
设OE交PG于点Q，
∵OG∥PE，
∴△QPE∽△QGO，
∴，
∴PQa，QGa，，
在△PQE 与△BQO 中，
，，
∴，
又∠PQE＝∠BQO，
∴△PQE∽△OQB，
∴，
∴，
∴a＝2k，
∵OD＝OB＝2a，OG＝2k，
∴，
∴的值为．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
4．如图，在 ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．
（1）如果AE＝CE．
ⅰ．求证： ABCD为菱形；
ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；
（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CEAE，求的值．
【答案】（1）i．证明见解析；
ii.；
（2）．
【分析】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，证明△AOE≌△COE（SSS），由全等三角形的性质得出∠AOE＝∠COE，证出AC⊥BD，由菱形的判定可得出结论；
ii．由重心的性质得出BE＝2OE，设OE＝x，则BE＝2x，由勾股定理得出9﹣x2＝25﹣9x2，求出x的值，则可得出答案；
（2）方法一：由相交两圆的性质得出AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，由重心的性质及勾股定理得出答案．
方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝2x，证出∠DCE＝90°，延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD，由勾股定理可得出答案．
【解答】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE＝CE，OE＝OE，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠AOE+∠COE＝180°，
∴∠COE＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD为菱形；
ii．解：∵OA＝OC，
∴OB是△ABC的中线，
∵P为BC的中点，
∴AP是△ABC的中线，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE＝2OE，
设OE＝x，则BE＝2x，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝AE2﹣OE2＝32﹣x2＝9﹣x2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2＝AB2﹣OB2＝52﹣（3x）2＝25﹣9x2，
∴9﹣x2＝25﹣9x2，
解得x（负值舍去），
∴OB＝3x＝3，
∴BD＝2OB＝6；
（2）解：方法一：如图，
∵⊙A与⊙B相交于E，F，
∴AB⊥EF，
由（1）②知点E是△ABC的重心，
又∵F在直线CE上，
∴CG是△ABC的中线，
∴AG＝BGAB，EGCE，
∵CEAE，
∴GEAE，CG＝CE+EGAE，
∴AG2＝AE2﹣EG2＝AE2，
∴AGAE，
∴AB＝2AGAE，
∴BC2＝BG2+CG2AE25AE2，
∴BCAE，
∴．
方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝2x，
∵AE＝AF，BE＝BF，
∴AB垂直平分EF，∠AGF＝90°，
∴∠DCE＝90°，
延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD，
∴EQ＝ED＝4x，由勾股定理得CD＝2x，∠DEC＝∠CEQ＝45°，
由DE＝4x可得BE＝2x，
∴BPx，
∴AB：BC＝2x：2x．
【点评】本题是圆的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形重心的性质，菱形的判定，相交两圆的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．
（1）当点E在CD上，
①求证：△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求的值；
（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．
【答案】（1）①证明过程见解析；
②；
（2）CD的长为1或3．
【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠DCA，由平行线的性质得出∠DAC＝∠ACB，由直角三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB，根据相似三角形的判定定理可得出结论；
②得出∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，则可得出答案；
（2）①如图3，当点E在AD上时，证明四边形ABCE是矩形．设AD＝CD＝x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案；
②如图4，当点E在CD上时，设AD＝CD＝x，则CE＝x﹣2，设OB＝OC＝m，由相似三角形的性质得出，证明△EOC∽△ECB，得出比例线段，可得出方程，解方程可得出答案．
【解答】（1）①证明：如图1，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，
∴△DAC∽△OBC；
②解：如图2，若BE⊥CD，
在Rt△BCE中，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，
∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．
过点D作DH⊥BC于点H，
设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，
在Rt△DCH中，DC＝2m，
∴CH＝m，
∴BC＝BH+CH＝3m，
∴；
（2）①如图3，当点E在AD上时，
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠BCO，∠AEO＝∠CBO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COB（AAS），
∴OB＝OE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCE是矩形．
设AD＝CD＝x，
∵DE＝2，
∴AE＝x﹣2，
∵OE＝3，
∴AC＝6，
在Rt△ACE和Rt△DCE中，CE2＝AC2﹣AE2，CE2＝CD2﹣DE2，
∴62﹣（x﹣2）2＝x2﹣22，
解得x＝1，或x＝1（舍去）．
∴CD＝1．
②如图4，当点E在CD上时，设AD＝CD＝x，则CE＝x﹣2，
设OB＝OC＝m，
∵OE＝3，
∴EB＝m+3，
∵△DAC∽△OBC，
∴，
∴，
∴．
又∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC，
∴△EOC∽△ECB，
∴，
∴，
∴，
∴m，
将m代入，
整理得，x2﹣6x﹣10＝0，
解得x＝3，或x＝3（舍去）．
∴CD＝3．
综合以上可得CD的长为1或3．
【点评】本题是相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则，推出，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OA．
∵AB＝AC，
∴，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAO，
∴∠BAC＝2∠ABD．
（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．
①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DBC＝2∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，
∴8∠ABD＝180°，
∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．
②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，
∴∠C＝4∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，
∴10∠ABD＝180°，
∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．
③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述，∠C的值为67.5°或72°．
（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．
则，
∴，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，
∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，
∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，
∴a2，
∴BH2＝7a2，
∴BH
∴BC＝2BH．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
7．如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．
（1）求证：∠E∠C；
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意：∠E＝90°﹣∠ADE，证明∠ADE＝90°∠C即可解决问题．
（2）延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°，，由BD：DE＝2：3，可得cos∠ABC．
（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC，同理∠ABD∠ABC，
∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，
∴∠ADE（∠ABC+∠BAC）＝90°∠C，
∴∠E＝90°﹣（90°∠C）∠C．
（2）解：延长AD交BC于点F．
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB＝∠EAD＝90°，，
∵BD：DE＝2：3，
∴cos∠ABC．
（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，
∴∠ABC中必有一个内角为90°
∵∠ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，
∵∠E∠C，
∴∠ABC＝∠E∠C，
∵∠ABC+∠C＝90°，
∴∠ABC＝30°，此时2．
②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，
∴∠EDA＝45°，
∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC＝45°，此时2．
综上所述，∠ABC＝30°，2．∠ABC＝45°，2．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
8．已知⊙O的直径AB＝2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC＝BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AC＝BD知，得，根据OD⊥AC知，从而得，即可知∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，利用AF＝AOsin∠AOF可得答案；
（2）连接BC，设OF＝t，证OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BC＝DF＝2t，由DF＝1﹣t可得t，即可知BC＝DF，继而求得EFAC，由余切函数定义可得答案；
（3）先求出BC、CD、AD所对圆心角度数，从而求得BC＝AD、OF，从而根据三角形面积公式计算可得．
【解答】解：（1）∵OD⊥AC，
∴，∠AFO＝90°，
又∵AC＝BD，
∴，即，
∴，
∴，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，
∵AB＝2，
∴AO＝BO＝1，
∴AF＝AOsin∠AOF＝1，
则AC＝2AF；
（2）如图1，连接BC，
∵AB为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO＝∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠EBC，
∵DE＝BE、∠DEF＝∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC＝DF、EC＝EF，
又∵AO＝OB，
∴OF是△ABC的中位线，
设OF＝t，则BC＝DF＝2t，
∵DF＝DO﹣OF＝1﹣t，
∴1﹣t＝2t，
解得：t，
则DF＝BC、AC，
∴EFFCAC，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠D，
则cot∠ABD＝cot∠D；
（3）如图2，
∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，
∴∠BOC、∠AOD＝∠COD，
则2180，
解得：n＝4或﹣2，﹣2舍去．
∴∠BOC＝90°、∠AOD＝∠COD＝45°，
∴BC＝AC，
∵∠AFO＝90°，
∴OF＝AOcos∠AOF，
则DF＝OD﹣OF＝1，
∴S△ACDAC DF（1）．
【点评】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点．
9．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C＝∠B，由OA＝OC，推出∠OAC＝∠C＝∠B，由∠ADO＝∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；
（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；
（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD＝x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2＝AC CD，列出方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠C＝∠B，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝∠B，
∵∠ADO＝∠ADB，
∴△OAD∽△ABD．
（2）如图2中，①当∠ODC＝90°时，
∵BD⊥AC，OA＝OC，
∴AD＝DC，
∴BA＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
在Rt△OAD中，∵OA＝1，∠OAD＝30°，
∴ODOA，
∴AD，
∴BC＝AC＝2AD．
②∠COD＝90°，∠BOC＝90°，BC，
③∠OCD显然≠90°，不需要讨论．
综上所述，BC或．
（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD＝x．
∵△DAO∽△DBA，
∴，
∴，
∴AD，AB，
∵S2是S1和S3的比例中项，
∴S1 S3，
∵S2AD OH，S1＝S△OAC AC OH，S3 CD OH，
∴（AD OH）2 AC OH CD OH，
∴AD2＝AC CD，
∵AC＝AB．CD＝AC﹣AD，
∴（）2 （），
整理得x2+x﹣1＝0，
解得x或，
经检验：x是原方程的根，且符合题意，
∴OD．
（也可以利用角平分线的性质定理：，黄金分割点的性质解决这个问题）
方法2、设OD＝x，设△AOB的边上的高为h，则△AOD的边OD边上的高也为h，
∴，
设S△AOB＝a，
∴S△AOD＝ax，
∵△AOB≌△AOC，
∴S△AOC＝S△AOB＝a
∴S△AOC＝S△AOD+S△COD，
∴S△COD＝a﹣ax＝a（1﹣x），
∵S2是S1和S3的比例中项，
∴S1 S3，
∴（ax）2＝a×a（1﹣x），
∴x，
∵OD＞0，
∴OD．
【点评】本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
二．相似与函数（共7小题）
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，CE∥AB，DE∥AC，点F在边AC上，FD∥AE，BF的延长线交线段AE于点M．
（1）求证：△ABF≌△CAE；
（2）当点M是AE的中点时，求证：BF2＝4BM FM；
（3）已知cos∠ABC，BC＝2，设CD＝x，y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）y（0＜x）．
【分析】（1）根据等边对等角即平行线的性质，证得四边形AFDE是平行四边形，进而可证明△ABF≌△CAE（SAS）；
（2）根据全等三角形的性质，可证明△MAF∽△MBA，列出比例式得到MA2＝BM FM，根据M是AE的中点，MA，再进行代换即可得证；
（3）延长BM交CE的延长线于点N，过A作AH⊥BC于点H，过E作EG⊥CD于点G，根据题意求出CE＝AF，CF＝AC﹣AF，根据平行线分线段成比例，列出比例式，求出CE、EN，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠ECD，∠BAF＝∠ACE，
又∵ED∥AC，FD∥AE，
∴四边形AFDE是平行四边形，∠EDC＝∠ACB，
∴ED＝AF＝CE，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
（2）证明：由（1）知△ABF≌△CAE，
∴∠MAC＝∠MBA，BF＝AE，
又∵∠AMF＝∠AMB，
∴△MAF∽△MBA，
∴，
∴MA2＝BM FM，
又∵M是AE的中点，
∴MA，
∴（）2＝BM FM，
∴BF2＝4BM FM；
（3）解：如图，延长BM交CE的延长线于点N，过A作AH⊥BC于点H，过E作EG⊥CD于点G，
∵BC＝2，CD＝x，且cos∠ABCcos∠ECG，
∴CE＝AF，CF＝AC﹣AF，
又∵CN∥AB，
∴，
即，
∴CN，EN＝CN﹣CE，
∴y（0＜x）．
【点评】本题考查三角形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，函数关系式，掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键．
11．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，∠ABC＝90°，BD＝BC，过点C作对角线BD的垂线，垂足为E，交射线BA于点F．
（1）如图1，当点F在边AB上时，求证：△ABD≌△ECB；
（2）如图2，如果F是AB的中点，求FE：EC的值；
（3）联结DF，当BC＝8时，△BFD是什么三角形（直接写出结果）．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）△BFD是等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠A＝90°，∠ADB＝∠CBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图1，作点F作FG∥AD交BD于点G，设BC＝BD＝m，根据FG∥AD．得到，求得，根据全等三角形的性质得到BE＝AD＝4，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；
（3）如图2，根据平行线的性质得到∠A＝90°，求得ADBD，得到∠ABD＝30°，推出△BCD是等边三角形，求得BC＝CD，根据线段垂直平分线的性质得到BF＝DF，于是得到△BFD是等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵CF⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°，∠ADB＝∠CBE，
∴∠CEB＝∠A，
∵BD＝BC，
∴△ABD≌△ECB（AAS）；
（2）解：如图1，作点F作FG∥AD交BD于点G，
设BC＝BD＝m，
∵FG∥AD．
∴，
∵F是AB的中点，AD＝4，
∴，
∴FG＝2，BGm，
∵△ABD≌△ECB，
∴BE＝AD＝4，
∴EGm﹣4，
∵AD∥BC，
∴FG∥BC，
∴，
即，
解得m＝4±4，
∴；
（3）解：如图2，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°，
∵AD＝4，BD＝BC＝8，
∴ADBD，
∴∠ABD＝30°，
∴∠DBC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC＝CD，
∵CE⊥BD，
∴BE＝DE，
∴CF垂直平分BD，
∴BF＝DF，
∴△BFD是等腰三角形．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
12．已知正方形ABCD，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，AF与CD交于点G．
（1）如图1，如果CE＝CG，求证：BC2＝BE BF；
（2）如图2，如果∠EAF＝45°，且CE＝CF，求∠F的正切值；
（3）以点C为圆心CE为半径画圆，⊙C与以AE为直径的⊙O的另一个交点记为点P，如果AB＝2，CF＝2CE，EP＝CG，求EF的长．
【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC，
∵CE＝CG，
∴BC﹣CE＝CD﹣CG，
∴BE＝DG，
在△ADG和△ABE中，
，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴∠DAG＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
∴∠BAE＝∠F，
∵∠B＝∠B，
∴△BAE∽△BFA，
∴，
∴，
∴BC2＝BE BF；
（2）；
（3）2．
【分析】（1）先证明△ADG≌△ABE（SAS），再证明△BAE∽△BFA，即可求证；
（2）连接AC，设正方形的边长为1，CE＝CF＝x，然后证明△CEA∽△AEF，得到AE2＝EC×EF＝x 2x＝2x2，而由勾股定理得AE2＝AB2+BE2＝x2﹣2x+2，继而得到方程x2﹣2x+2＝2x2，然后解方程，再利用正切的定义求解即可；
（3）设以AE为直径的圆记为⊙J，连接CJ交PE于点L，过点J作JK⊥BC于点K，由题意得可设CE＝x，则CF＝2x，由△FCG∽△FBA，得到，再由△EJK∽△EAB，求出KJ＝1，，则，可由勾股定理得到，由相交两圆得性质可得CJ⊥PE，，再由建立方程求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC，
∵CE＝CG，
∴BC﹣CE＝CD﹣CG，
∴BE＝DG，
在△ADG和△ABE中，
，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴∠DAG＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
∴∠BAE＝∠F，
∵∠B＝∠B，
∴△BAE∽△BFA，
∴，
∴，
∴BC2＝BE BF；
（2）解：如图2，连接AC，
设正方形的边长为1，CE＝x，
由题意得，CF＝CE＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC＝1，，∠B＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠ECA，
∵∠CEA＝∠AEF，
∴△CEA∽△AEF，
∴，
∴AE2＝EC×EF＝x 2x＝2x2，
∵AE2＝AB2+BE2＝1+（1﹣x）2＝x2﹣2x+2，
∴x2﹣2x+2＝2x2，
整理得：x2+2x﹣2＝0，
解得：，（不合题意，舍去），
∴；
（3）解：如图3，设以AE为直径的圆记为⊙J，连接CJ交PE于点L，过点J作JK⊥BC于点K，
由题意得可设CE＝x，则CF＝2x，
∴EF＝3x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝BC＝2，
∴△FCG∽△FBA，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵JK⊥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠JKE＝90°，
∴AB∥JK，
∴△EJK∽△EAB，
∴，
∴，，
∴，
在直角三角形CJK中，由勾股定理得：，
∵⊙J与⊙C相交于点E，P，
∴CJ⊥PE，，
∵，
∴，
解得：或x＝0（经检验，x＝0不合题意，舍去），
∴．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程，解分式方程，解答本题的关键是熟练掌握全等及相似三角形的性质．
13．定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知△ABC中，点P、D、E分别在BC，AB，AC上，联结PD，DE，PE．
（1）如图1，P是BC中点，PD∥AC，PE∥AB时，求证：△PDE是△ABC的镶嵌相似形；
（2）如图2，当AB＝AC，BP＝2PC，△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A＝∠PDE．求的值；
（3）如图3，如果∠A＝∠DPE＝90°，BP＝2，PC＝3，△PDE是△ABC的镶嵌相似形，且PE与AB不平行，求AB的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）AB．
【分析】（1）由平行线分线段成比例可得，，根据P是BC中点得BP＝CP，所以，即可得到△PDE∽△ABC，从而得证；
（2）由题易得△ABC和△DPE是等腰三角形，所以易得∠B＝∠C＝∠DPE，利用三等角模型可得△BDP∽△CPE，进而转化比例线段可得，由BP＝2CP可得，进而得解；
（3）分类讨论，①△PDE∽△ABC，②△PDE∽△ACB，再利用相似三角形的性质求解即可；
【解答】（1）证明：∵PD∥AC，PE∥AB，
∴，，
∵P是BC中点，
∴BP＝PC，
∴AD＝BD，CE＝AE，
∴，
∴△PDE∽△ABC，
∴△PDE是△ABC的镶嵌相似形；
（2）解：∵△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A＝∠PDE，
∴△PDE也是等腰三角形，∠B＝∠C＝∠DPE，
∴，即，
∵∠DPC＝∠DPE+∠CPE＝∠B+∠BDP，
∴∠CPE＝∠BDP，
∴△BDP∽△CPE，
∴，
∴，
∴，
∵BP＝2CP，
∴，
∴，
∴1；
（3）解：∵△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A＝∠DPE＝90°，
①当△PDE∽△ABC时，有，
过点P作PH⊥AB于H，作PI⊥AC于I，则∠PHD＝∠PIE＝90°，
∵∠A＝∠DPE＝90°，
∴∠DPE＝∠HPI＝90°，
∴∠DPH＝∠EPI＝90°﹣∠HPE，
∴△DHP∽△EIP，
∴，
∵，
∴，
∵HP∥AC，
∴，
则可设HP＝2k，AC＝5k，
∵IP∥AB，
∴，
则可设IP＝3a，AB＝5a，
∴，得，
∴，
∵△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，
∴；
②当△PDE∽△ACB时，
此时∠PED＝∠APC＝∠PAB，则AP＝BP＝CP，
显然不成立，舍去；
综上，AB．
【点评】本题主要考查了相似综合题，正确读懂题意以及多比例线段转化是解题关键．
14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，，过点A的直线l与边BC平行，点O在射线BA上，⊙O是以O为圆心，OB为半径的圆．
（1）当直线AC与⊙O相切时，求OB的长；
（2）当直线l与⊙O相交时，交点记为点E、F，且点E在点F的右边；以C为圆心、CE为半径长作⊙C，与⊙O的另一个交点记为G．
①若四边形ABCE是矩形，求OB的长；
②若△AEC是以AE为腰的等腰三角形，求∠AEG的正切值．
【答案】（1）24；（2）①；②或．
【分析】（1）作OH⊥AC，先在Rt△ABC中求出AB、AC长度及sin∠BAC的值，利用切线性质设OB＝OH＝r，得出OA表达式，在Rt△OAH中根据正弦函数定义列方程求解r；
（2）①利用矩形性质得到AE的长度，设OB＝OE＝r，表示出OA，在Rt△OAE 中，依据勾股定理列方程求解；
②由两圆相交性质得出OC⊥EG，通过角度关系得到∠AOP＝∠AEG，分AE＝AC与AE＝CE两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）作OH⊥AC于H，
∵AC与⊙O相切，
∴设OB＝OH＝r，
在Rt△ABC中，
BC＝2，，
∴AB＝BC tan∠ACB＝1，，
∴OA＝1﹣r，
在Rt△OAH中，，
∴，
∴，
OB＝24；
（2）①∵四边形ABCE是矩形，
∴AE＝BC＝2，
设OB＝OE＝r，则OA＝r﹣1，
在Rt△OAH中，OA2+AE2＝OE2，
∴（r﹣1）2+22＝r2，
，
∴；
②若△AEC是以AE为腰的等腰三角形，
那么AE＝AC或AE＝CE，
设OC与l相交于点P，
∵⊙O与⊙C相交于E、G，
∴OC⊥EG，
又∵∠OAP＝90°，
∴∠AOP+∠APO＝∠EPC+∠AEG＝90°，
又∵∠APO＝∠EPC，
∴∠AOP＝∠AEG，
当时，
∵OA2+AE2＝OE2，
∴，
解得：r＝3，
∴OB＝3，
∵，
∴，
当AE＝CE时，作EN⊥AC，
∴，
∵l∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，即cos∠EAC＝cos∠ACB，
∴，
解得，
设OB＝OE＝r，则OA＝r﹣1，
在Rt△OAE中，
，
，
∴，
综上所述，或．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、矩形性质、等腰三角形性质、解直角三角形及勾股定理的应用．解题关键是利用相关性质构建边的关系，通过方程求解线段长度，并借助角度等量代换求角的正切值．
15．已知：AB为⊙O的直径，AB＝5，点C在⊙O上．联结OC、BC，过点O作OD∥BC，交⊙O于点D．
（1）如图，联结DB，当∠ABC＝60°时，求证：四边形OCBD是菱形；
（2）作DE⊥OB，垂足为E．
①如图，联结AC、DC，DC交半径OB于点F，当时，求线段EF的长；
②如图，联结AC、AD、DB，设△ODE的面积为S1，四边形ACBD的面积为S2，如果S2＝7S1，求线段AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）AC．
【分析】（1）利用同圆的半径相等的性质，平行线的性质和等边三角形的判定与性质得到OD＝BD＝BC＝OC，再利用菱形的判定定理解答即可；
（2）利用平行线的性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质得到△ODE∽△BCA，则∠ODE＝∠BAC，利用已知条件和平行线的判定定理得到DE∥OC，则OC⊥AB，可得△OAC，△OBC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质定理解答即可得出结论；
（3）过点C作CF⊥AB于点F，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质和同高的三角形的面积比等于底的比的性质得到，从而求得OE，BE；利用相似三角形的判定与性质得到△ODE的面积，则△ABC的面积可得，利用三角形的面积公式可求CF，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵OD∥BC，
∴∠DOB＝∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝OB，
∴△ODB为等边三角形，
∴BD＝OD＝OB，
∵OC＝OB，∠ABC＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴OC＝OB＝BC，
∴OD＝BD＝BC＝OC，
∴四边形OCBD是菱形；
解：（2）①∵OD∥BC，
∴∠DOB＝∠ABC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥OB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠DEO＝∠ACB，
∴△ODE∽△BCA，
∴∠ODE＝∠BAC，
∵，
∴∠OCDODE，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ODE＝2∠ODC，
∴∠ODC＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠OCD，
∴DE∥OC，
∵DE⊥OB，
∴OC⊥AB，
∴△OAC，△OBC为等腰直角三角形，
∵AB＝5，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BC，
∴∠ODE＝∠A＝45°，
∴OE＝DEOD．
∵OD∥BC，
∴∠BCD＝∠ODC，
∴∠OCD＝∠BCD，
∴，
∴，
∴OF，
∴EF＝OE﹣OF；
②过点C作CF⊥AB于点F，如图，
由（2）①知：△ODE∽△BCA，
∴，
∵△ODE的面积为S1，
∴S△BAC＝4S1，
∵四边形ACBD的面积为S2，如果S2＝7S1，
∴S△ADB＝3S1，
∵OA＝OB，
∴，
∵DE⊥OB，
∴，
∴OE，BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥OB，
∴△AED∽△DEB，
∴，
∴，
∴DE，
∴，
∴，
∴S△ABC＝4S1，
∴CF，
∵∠ACB＝90°，CF⊥AB，
∴△ACF∽△CFB，
∴，
∴，
∴AF或．
∵∠ACB＝90°，CF⊥AB，
∴△ACF∽△ABC，
∴．
∴AC2＝AF AB，
∴AC或（不合题意，舍去）．
∴AC．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
16．如图，在⊙O中，直径AB长为，弦BC的长为8，点D是BC上一点，过点D作OD的垂线交直线AB于点E．
（1）求∠CBO的正切值．
（2）当△BOD与△BDE相似时，求BD的长．
（3）以点E为圆心，ED长为半径画⊙E，试根据线段BD的长度情况探究⊙E和⊙O的位置关系．
【答案】（1）；
（2）BD＝5；
（3）当0＜BD＜3时，⊙E与⊙O内含，
当BD＝3时，⊙E与⊙O相切，
当BD＝5时，⊙E不存在，
当3＜BD≤8且BD≠5时，⊙E与⊙O相交．
【分析】（1）连接AC，根据勾股定理得出AC，进而得出结果；
（2）分两种情形：当点E在BA的延长线上时，作OF⊥BC于F，作EG⊥BC于G，可推出△DOF∽△EDG，从而，可推出△DOF∽△EOD，从而，，从而得出DG＝DF，设DG＝DF＝x，则BG＝4+2x，EGBG＝2+x，从而，进一步得出结果；当点E在AB上时，同样得出DF＝DG，设DF＝DG＝x，则BG＝4﹣FG＝4﹣2x，EG，同样得出方程，进一步得出结果；
（3）当DE＝BE时，⊙E与⊙O相切，作作OF⊥BC于F，作EG⊥BC于G，同理（2）得出BG＝DF，OF＝2，BF＝4，，进一步得出结果；当OD⊥AB时，此时DE∥AB，不存在⊙E，可求得BD的值，进一步得出结果．
【解答】解：（1）如图1，
连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝4，BC＝8，
∴AC，
∴tan∠CBO；
（2）如图2﹣1，
当点E在BA的延长线上时，
作OF⊥BC于F，作EG⊥BC于G，
∴BC＝CF＝4，OF，∠OFD＝∠EGD＝90°，
∴∠ODF+∠DOF＝90°，
∴∠EDO＝90°，
∴∠ODF+∠EDG＝90°，
∴∠EDG＝∠DOF，
∴△DOF∽△EDG，
∴，
∵△BOD∽△BDE，
∴∠ODB＝∠DEO，
∵∠DFO＝∠EDO＝90°，
∴△DOF∽△EOD，
∴，，
∴，
∴DG＝DF，
设DG＝DF＝x，则BG＝4+2x，
∴EGBG＝2+x，
∴，
∴（舍去），
∴BD＝BF＝DF＝5，
如图2﹣2，
当点E在AB上时，
作OF⊥BC于F，作EG⊥BC于G，
同理可得，
DF＝DG，
设DF＝DG＝x，则BG＝4﹣FG＝4﹣2x，
∴EG，
由得，
，
∴（舍去），
∴DF＝DG，
∴BD＝BF﹣DF＝5，
综上所述：BD＝5；
（3）如图3﹣1，
当DE＝BE时，⊙E与⊙O相切，
作作OF⊥BC于F，作EG⊥BC于G，
∴BG＝DF，OF＝2，BF＝4，
∴，
∴，
∴BD＝3，
如图3﹣2，
当OD⊥AB时，此时DE∥AB，不存在⊙E，
∵OD，
∴BD5，
∴当0＜BD＜3时，⊙E与⊙O内含，
当BD＝3时，⊙E与⊙O相切，
当BD＝5时，⊙E不存在，
当3＜BD≤8且BD≠5时，⊙E与⊙O相交．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
三．圆与函数（共6小题）
17．△ABC为⊙O的内接等腰三角形，AB＝AC．联结BO并延长，交AC于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F（点F不与点A重合）．
（1）如图1，如果∠CBF＝20°，求∠DBF的大小；
（2）如图2，联结OC，如果sin∠ACB＝x，，求y关于x的函数解析式（不用写自变量的取值范围）；
（3）如果点D是线段OE的黄金分割点，求cos∠BAC的值．
【答案】（1）30°；
（2）y＝2x2；
（3）或．
【分析】（1）连接OA，求出∠BAO＝∠CAO＝20°，得出∠AOB＝20°，则可得出答案；
（2）联结AO并延长交BC于G，则∠AGB＝∠AGC＝90°，证明△ABF∽△OBG，得出，则可得出答案；
（3）联结AO并延长交BC于G，联结EC，则AG∥EC，分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）连接OA，
∵AB＝AC，BF⊥AC，∠CBF＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝40°，
∴∠BAO＝∠CAO＝20°，
∴∠AOB＝20°，
∴∠DBF＝30°；
（2）联结AO并延长交BC于G，则∠AGB＝∠AGC＝90°，
∵sin∠ACB＝x，
∴，
∵∠BOG＝2∠BAO，∠BAF＝2∠BAO，
∴∠BOG＝∠BAF，∠BGO＝∠BFA＝90°，
∴△ABF∽△OBG，
∴，
∴；
（3）如图，联结AO并延长交BC于G，联结EC，则AG∥EC，
点D是线段OE的黄金分割点，有两种情况：①，
∴cos∠BAC＝cos∠E；
②，
∴，．
综上所述，cos∠BAC的值为或．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD＝6．动点P在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP＝x，PC＝y．
（1）求证：PE∥DC；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD，当∠PDC＝∠B时，以D为圆心半径为R的⊙D与⊙P相交，求R的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据梯形的性质得到∠B＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠PEB，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、G．推出四边形ADGF是矩形，PH∥AF，求得BF＝FG＝GC＝2，根据勾股定理得到AF4，根据平行线分线段成比例定理得到PHx，BHx，求得CH＝6x，根据勾股定理即可得到结论；
（3）作EM∥PD交DC于M．推出四边形PDME是平行四边形．得到PE＝DM＝x，即 MC＝6﹣x，根据相似三角形的性质得到PD＝EC＝6，根据相切两圆的性质即可得到结论．
【解答】（1）∵证明：梯形ABCD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCB，
∵PB＝PE，
∴∠B＝∠PEB，
∴∠DCB＝∠PEB，
∴PE∥CD；
（2）解：分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、G．
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC，DG⊥BC，PH⊥BC，
∴四边形ADGF是矩形，PH∥AF，
∵AD＝2，BC＝DC＝6，
∴BF＝FG＝GC＝2，
在Rt△ABF中，
AF4，
∵PH∥AF，
∴，即，
∴PHx，BHx，
∴CH＝6x，
在Rt△PHC中，PC，
∴y，即y（0＜x＜9）；
（3）解：作EM∥PD交DC于M．
∵PE∥DC，
∴四边形PDME是平行四边形．
∴PE＝DM＝x，即 MC＝6﹣x，
∴PD＝ME，∠PDC＝∠EMC，
又∵∠PDC＝∠B，∠B＝∠DCB，
∴∠DCB＝∠EMC＝∠PBE＝∠PEB．
∴△PBE∽△ECM，
∴，即，
解得：x，
即BE，
∴PD＝EC＝6，
当两圆外切时，PD＝rP+R，即R＝0（舍去）；
当两圆内切时，PD＝rP﹣R，即R1＝0（舍去），R2；
即两圆相交时，0＜R．
【点评】本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC，O是边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径的圆O与边AC的另一个交点是点D，与边AB的另一个交点是点E，过点O作AB的平行线与圆O相交于点P，与BC相交于点Q，DP的延长线交AB于点F，联结FQ．
（1）求证：DP＝EP；
（2）设OA＝x，△FPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，求AO的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
（3）或．
【分析】（1）联结OE，由平行线的性质得出∠DOP＝∠A，∠POE＝∠OEA，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠OEA，证出∠DOP＝∠POE，则可得出结论；
（2）过点O作OM⊥AB，过点F作FN⊥PQ，垂足分别为M、N，由△OCQ∽△CAB证出，得出，求出OQ和PQ，则可得出答案；
（3）分两种情况，若FQ＝PQ，若FQ＝FP，由等腰三角形的性质列出方程即可得出答案．
【解答】（1）证明：联结OE，EP，
∵OP∥AB，
∴∠DOP＝∠A，∠POE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA，
∴∠DOP＝∠POE，
∴DP＝EP．
（2）解：过点O作OM⊥AB，过点F作FN⊥PQ，垂足分别为M、N，
∵OQ∥AB，OM⊥AB，FN⊥PQ，
∴四边形OMFN是矩形，
∴OM＝FN，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC，
∴BC＝6，AC＝8，
在△AMO中，∠AMO＝90°，
∴OM＝OA sin∠BACx，
∴FNx，
∵OQ∥AB，
∴△OCQ∽△CAB，
∴，
∴，
∴OQ＝10x，
∴PQ＝OQ﹣OP＝10x，
∴y（10x） x，
即y3x（0＜x≤4）．
（3）解：若△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，可分两种情况：
①若FQ＝PQ，
∴∠QPF＝∠QFP＝∠OPD＝∠ODP，
∴QF∥AC，
∴四边形AFQO是平行四边形，
∴AF＝QO，
∵∠ADF＝∠OPD＝∠AFD，
∴AF＝AD＝2x，
∴OQ＝2x，
∴2x＝10x，
∴x．
②若FQ＝FP，
如图3，过点O作OM⊥AB，过点F作FN⊥PQ，垂足分别为M、N，则四边形OMFN是矩形，
在△AMO中，∠AMO＝90°，OMx，AMx，
∴MF＝ON＝2xx，
∴PNx，PQx，OQx，
∴x，
解得：x．
综上所述，若△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，AO的长为或．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
20．
阅读材料： 我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题． 如图1，在△ABC中，CD为AB上的中线，如果，那么∠ACB＝90°．也可以说，在△ABC中，如果CD＝AD＝BD，那么∠ACB＝90°．
根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图2，AB为半圆O的直径，CD是半圆O的弦，以CD为直径作⊙M．
（1）如图2①，过点C作CE⊥AB，垂足为E．
①求证：CE2＝AE BE；
②已知BE＝1，CE＝3，如果⊙M经过点O（如图2②），求直线CD与直线AB夹角的正弦值；
（2）已知⊙M与线段AB相交于点P、Q，，如果AP：PQ：BQ＝7：4：9，求AB的长．
【答案】（1）①见解析；②；
（2）或AB．
【分析】（1）①证明△AEC∽△CEB，根据相似三角形的性质，即可得证；
②根据①的结论，结合已知得出AE＝9，进而得出OA＝OB＝OC＝5，过点D作DH⊥AB于点H，连接OC，OD，OM得出△DHO≌△OEC（AAS），则EH＝OH+OE＝7，过点C作CF∥AB交DH于点F，则四边形CEHF是矩形，得出直线CD与直线AB夹角为∠DCF，进而根据正弦的定义，即可求解；
（2）设AP＝7k，PQ＝4k，BQ＝9k，根据题意画出图形，分当P在Q的左侧时，当P在Q的右侧时，分别求得AB，HO，HQ，进而在Rt△MHO，Rt△MPH中，MH2＝OM2﹣OH2＝MP2﹣PH2，根据勾股定理求得k的值，即可求解．
【解答】（1）①证明：如图，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△AEC∽△CEB，
∴，即CE2＝AE BE；
②解：∵CE2＝AE BE，BE＝1，CE＝3，
∴AE＝9，
∴AB＝AE+EB＝9+1＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5，
过点D作DH⊥AB于点H，连接OC，OD，OM，如图，
∵MD＝MC＝MO，
∴∠DOC＝90°，
∵∠HDO＝90°﹣∠HOD＝∠COE，∠DHO＝∠OEC＝90°，OD＝OC，
∴△DHO≌△OEC（AAS），
∴OH＝EC＝3，DH＝OE＝5﹣1＝4，
∴EH＝OH+OE＝7，
过点C作CF∥AB交DH于点F，则四边形CEHF是矩形，
∴CF＝EH＝7，FH＝CE＝3，
∴DF＝4﹣3＝1，
∴CD，
∴，
∴直线CD与直线AB夹角的正弦值为
（2）解：∵AP：PQ：BQ＝7：4：9，
∴设AP＝7k，PQ＝4k，BQ＝9k；
①当P在Q的左侧时，如图，连接OM，OC，过点M作MH⊥AB于点H，
∴AB＝AP+PQ+BQ＝20k，
∴OD＝10k，
∵，
∵OM⊥CD，
∴，
∴，
又∵OQ＝OB﹣BQ＝10k﹣9k＝k，
∵MH⊥AB，
∴，
∴在Rt△MHO，Rt△MPH中，MH2＝OM2﹣OH2＝MP2﹣PH2，
∴，
解得：，
∴；
②如图，当P在Q的右侧时，
∴AB＝AP+BQ﹣PQ＝12k，
∴OC＝OB＝OA＝6k，
同理可得OM2＝36k2﹣18OP＝7k﹣6k＝k，
∴OH＝k，
同理得，，
解得：，
∴；
综上所述，或．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，圆的性质，解直角三角形，分类讨论是解题的关键．
21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧的中点（如图），弦CD与AB交于点E．
（1）当E为CD的中点时，求证：AB＝4BE；
（2）求证：；
（3）当AE＝CD时，求∠BAC的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）连接DO并延长交BC于点F，连接BC，利用垂径定理得到DF⊥AC，AF＝FC，利用圆周角定理得到BC⊥AC，则BC∥OD，利用相似三角形的判定与性质得到，则OE＝BE，利用半径与直径的关系解答即可得出结论；
（2）连接DO并延长交BC于点F，连接BC，利用（1）的结论和相似三角形的判定与性质得到，则，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
（3）连接DO并延长交BC于点F，连接BC，连接AD，设⊙O的半径为r，OE＝a，则AE＝CD＝r+a，BE＝r﹣a，利用等腰三角形的性质，对顶角相等的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定定理得到CB＝CE＝a；利用相似三角形的判定与性质得到a2+ra﹣r2＝0，解方程求得BC＝ar，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接DO并延长交BC于点F，连接BC，如图，
∵D是弧的中点，
∴，
∴DF⊥AC，AF＝FC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∴BC∥OD，
∴△ODE∽△BCE，
∴，
∵E为CD的中点，
∴CE＝DE，
∴OE＝BE，
∴OB＝2BE，
∵AB＝2OB，
∴AB＝4BE；
（2）证明：连接DO并延长交BC于点F，连接BC，如图，
由（1）得：BC∥OD，
∴△ODE∽△BCE，
∴，
∵ODAB，
∴．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠BAC，
∴；
（3）解：连接DO并延长交BC于点F，连接BC，连接AD，如图，
设⊙O的半径为r，OE＝a，则AE＝CD＝r+a，BE＝r﹣a，
由（1）知：，
∴AD＝CD＝r+a，
∴AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠B，
∴∠BEC＝∠B，
∴CE＝CB．
∵BC∥OD，
∴∠DOE＝∠B，
∴∠DOE＝∠AED，
∴DE＝DO＝r，
∴EC＝CD﹣DE＝a，
∴CB＝CE＝a．
∵BC∥OD，
∴△ODE∽△BCE，
∴，
∴，
∴a2+ra﹣r2＝0，
∴ar（负数不合题意，舍去），
∴ar．
∴BC＝ar．
∴∠BAC的正弦值．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，连接直径所对的圆周角和作出圆的弓形高是解决此类问题常添加的辅助线．
22．如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长AO交BC于点D，过点C作AB的垂线，交AD于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，交过点A且与BC平行的直线于点H，连结AG．
（1）判断AH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠BAC＝56°，求∠H和∠BAG的大小；
（3）若GF＝1，tan∠ABC＝2，求OD的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形性质得AD⊥BC，BD＝CD，再根据AH∥BC得AH⊥AD，据此可得AH与⊙O的位置关系；
（2）根据等腰三角形性质得∠BAD＝∠CAD＝28°，则∠ABC＝62°，再根据CF⊥AB得∠BCF＝28°，然后根据平行线性质及圆周角定理可得∠H和∠BAG的度数；
（3）设BD＝a，则BD＝CD＝a，BC＝2BD＝2a，根据tan∠ABC＝2得AD＝2a，再根据∠AGC＝∠ABC，GF＝1得AF＝2GF＝2，进而得AC＝AB，BF＝AB﹣AF，在Rt△BCF中由勾股定理得CF2＝BC2﹣BF2，在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF2＝AC2﹣AF2＝5a2﹣4，则5a2﹣4，由此解出a，则AD，设OD为x，连接OB，则OA＝OB＝AD﹣OD，然后再由勾股定理构造方程求出x即可．
【解答】解：（1）AH与⊙O相切，理由如下：
∵⊙O为等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，延长AO交BC于点D，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵AH∥BC，
∴AH⊥AD，
∵AO为⊙O的半径，
∴AH是⊙O的切线，
即AH与⊙O相切；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝56°，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝28°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAD＝90°﹣28°＝62°，
∵CF⊥AB，
∴∠BCF＝90°﹣∠ABC＝90°﹣62°＝28°，
∵AH∥BC，
∴∠H＝∠BCF＝28°，
∴∠BAG＝∠BCF＝28°；
（3）设BD＝a，则BD＝CD＝a，BC＝2BD＝2a，
在Rt△ABD中，tan∠ABC2，
∴AD＝2a，
∵∠AGC＝∠ABC，
∴tan∠AGC＝tan∠ABC＝2，
在Rt△AGF中，GF＝1，tan∠AGC2，
∴AF＝2GF＝2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB，
∴AC＝AB，BF＝AB﹣AF，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF2＝BC2﹣BF2，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF2＝AC2﹣AF25a2﹣4，
∴5a2﹣4，
整理得：，
解得：a1，a2＝0（不合题意，舍去），
∴AD＝2a，
设OD为x，连接OB，如图所示：
则OA＝OB＝AD﹣OD，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，
即，
解得：x，
故OD的长为．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C．
（1）当AD＝1时，求FB的长；
（2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用勾股定理计算AC和BD的长，再证明△ADF∽△CBF，列比例式可得BF的长；
（2）如图1，先证明△ADF∽△BGF，得，再证明△ADF∽△CBF，得，分别表示DF，AF和BF的长，代入比例式计算即可；根据∠DBE无限接近∠DBC时，AD的值接近4，可得x的取值；
（3）分三种情况：①当BD＝DH时，②当BD＝BH时，③当BH＝DH时，分别根据平行线分线段成比例定理列比例式，结合方程可解答．
【解答】解：（1）∵AM∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DAB＝90°，
由勾股定理得：BD，
∵AM∥BC，
∴△ADF∽△CBF，
∴，
∵AD＝1，
∴，
∴BF；
（2）如图1，∵AM∥BC，
∴∠C＝∠CAM，
∵∠DBE＝∠C，
∴∠DBE＝∠CAM，
∵∠BFG＝∠AFD，
∴△ADF∽△BGF，
∴，
∴AF FG＝BF DF，
∵AM∥BC，
∴△ADF∽△CBF，
∴，
∴，，
∴DF，AF，
同理得：BF，
∴y ，
∴y；
如图2，当点E在直线BC上时，∠DBC＝∠ACB＝∠ADB，
∵AB＝BA，∠ABC＝∠DAB，
∴△DAB≌△CBA（AAS），
∴AD＝BC＝4，
∴x的取值范围是0＜x＜4；
（3）分三种情况：
①当BD＝DH时，如图3，过点D作DP⊥BC于P，
∵BD＝DH，
∴BP＝PH＝AD＝x，
∴CH＝4﹣2x，∠DBP＝∠DHP，
∴∠DBE+∠GBH＝∠C+∠CGH，
∴∠CGH＝∠GBH，
∵∠C＝∠C，
∴△CHG∽△CGB，
∴，
∴CG2＝4（4﹣2x），
∵AD∥CH，
∴，即，
∴，
∴CG，
∴4（4﹣2x），
∴2x2+9x﹣18＝0，
∴x1，x2＝﹣6（舍），
∴AD；
②当BD＝BH时，如图4，
由勾股定理得：BD＝BH，
由（2）同理得：CG＝CF﹣FG，
∵AD∥CH，
∴，
∴，即，
∴（9+4x）4（x2+9），
解得：x，
∴AD；
③当BH＝DH时，如图5，过点D作DK⊥BC于K，
设KH＝a，
∵BK＝AD＝x，
∴DH＝BH＝x+a，
在Rt△DKH中，由勾股定理得：DK2+KH2＝DH2，
∴32+a2＝（a+x）2，
∴a，
∴CH＝4﹣BH＝4﹣x，
∵AD∥CH，
∴，
∴，即，
∴，
∴（x2+9）（4x﹣9）＝0，
∴x，
∴AD，
综上，AD的长是或或．
【点评】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想解决问题，并与方程相结合，本题计算量大，属于中考压轴题．
2．如图，在 ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，点O1是边BC上的动点，以点O1为圆心、O1C为半径的圆交边AC于点E．设O1C＝r．
（1）当点E是边AC的中点时，求r的值；
（2）已知点O2是线段AE的中点（规定：当点E与点A重合时，点O2也与点A重合），以点O2为圆心、O1O2为半径作⊙O2．
①当⊙O2与边AD有公共点时，求r的取值范围；
②如果⊙O2经过边AD的中点，求此时⊙O2与⊙O1的公共弦长．
【答案】（1）；
（2）①0＜r≤5；②5．
【分析】（1）过O1作O1H⊥AC于点H，由垂径定理可得CH＝EHAC＝2，再利用相似或者三角函数求解即可；
（2）①当点E与A重合时可知r＝5，再根据O1O2＞O2M，O1O2＜O2D可知在点O1运动过程中，⊙O2与边AD始终有公共点，进而即可得出r的范围；
②利用O2F＝O1O2建立方程求解，得到r＝5，即此时O2与A重合，进而即可得解．
【解答】解：（1）如图，过O1作O1H⊥AC于点H，
则EH＝CH，
∵AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，
∴AC8，
∵E为AC中点，
∴CE4，
∴CH2，
∴cos∠ACB，
即，
解得r；
（2）①当点E与点A重合时，
此时O2与A重合，CH＝EHAC，
∴，
∴O1C＝5，即此时r＝5，
∵O1O2＞O2E，O2E＝O2A，
∴O1O2＞O2A，
过O2作O2M⊥AD于点M，
∵sin∠MAO2＝sin∠ACB，
∴，
∴O2MO2A，
又∵O1O2＞O2M，O1O2＜O2D，
∴在点O1运动过程中，⊙O2与边AD始终有公共点，
∴0＜r≤5；
②如图，记AD中点为F，过F作FN⊥AC，过O1作O1H⊥AC于点H，则FN3，
∵cos∠ACB，
∴，
∴CHr，O1Hr，
∴O2A（AC﹣CE）＝4r，
∴O2N＝AN﹣O2A＝4﹣（4r）r，
在Rt△O2FN中，O2F＝9+（r）2，
∵O2H4，
∴在Rt△O1O2H中，O116+（r）2，
∵O2F＝O1O2，
∴9+（r）2＝16+（r）2，
解得r＝5（负值舍去），
∴此时E和A重合，即O2与A重合，如图所示，PQ为公共弦，
∵O1O2＝O1P＝O2P，
∴△O1O2P是等边三角形，
∴PL，
∴PQ＝5，即⊙O2与⊙O1的公共弦长为5．
【点评】本题主要考查了解直角三角形、垂径定理、圆的定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是边AC上的中线．以点B为圆心，BD为半径的圆交线段CD于点E（点E不与点C、点D不重合）．
（1）如图1，如果⊙B与边BC交于点F，，求∠DBE的度数；
（2）如图2，当AE＝5EC时，求∠C的正切值；
（3）如图3，以点E为圆心，BC为半径的⊙E与⊙B相交，其中一个交点P在边AB上．如果BD＝1，求AE的长．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质，同圆的半径相等的性质和等腰三角形的性质BD＝BE＝AD＝CD，设∠DBE＝∠CBE＝x°，利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质和三角形的内角和定理解答即可得出结论；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，设EC＝a，利用（1）的结论得到D＝CD＝BD＝BE＝3a，DE＝CD﹣CE＝2a，利用等腰三角形的性质得到CF＝CE+EF＝2a，利用勾股定理求得BF，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
（3）连接EP，则EP＝BC，AD＝CD＝BD＝BE＝BP＝1，利用全等三角形的判定与性质得到∠CDB＝∠EBP，设AE＝x，则DE＝AE﹣AD＝x﹣1，利用相似三角形的 判定与性质得到关于AE的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，BD是边AC上的中线，
∴BD＝AD＝CDAC．
∵以点B为圆心，BD为半径的圆交线段CD于点E，
∴BD＝BE＝AD＝CD．
∵，
∴∠DBE＝∠CBE．
设∠DBE＝∠CBE＝x°，
∴∠DBC＝2x°，
∵DC＝DB，
∴∠C＝∠DBC＝2x°，
∴∠DEB＝∠C+∠CBE＝3x°．
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝3x°．
∵∠C+∠EDB+∠DBC＝180°，
∴2x+3x+2x＝180，
∴x，
∴∠DBE的度数为；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，如图，
设EC＝a，
∵AE＝5EC＝5a，
∴AC＝6CE＝6a，
∴AD＝CD＝BD＝BE＝3a，
∴DE＝CD﹣CE＝2a．
∵BD＝BE，
∴DF＝EFa，
∴CF＝CE+EF＝2a，
∵BF2a，
∴∠C的正切值；
（3）连接EP，如图，
∵以点E为圆心，BC为半径的⊙E与⊙B相交，其中一个交点P在边AB上，
∴EP＝BC．
∵BD＝1，
∴AD＝CD＝BD＝BE＝BP＝1，
在△DBC和△BEP中，
，
∴△DBC≌△BEP（SSS），
∴∠CDB＝∠EBP，
∵∠DEB＝∠BEA，
∴△DEB∽△BEA，
∴，
设AE＝x，则DE＝AE﹣AD＝x﹣1，
∴，
∴x2﹣x﹣1＝0，
∴x（负数不合题意，舍去），
∴AE．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出圆的弦心距是解决此类问题 常添加的辅助线．
4．已知，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，cosA，D是边AB上一动点，联结CD．点O在线段CD上，且，以点O为圆心，CO为半径作⊙O，交边AC于点E．
（1）当点D与点A重合时，判断⊙O与边AB的位置关系并说明理由；
（2）已知点F在⊙O上，且，EF与边BC交于点H，当EF经过圆心O时（如图），求的值；
（3）过点D作DP∥AC，交边BC于点P，当⊙O与线段DP只有一个交点时，求BD的取值范围．
【答案】（1）⊙O与边AB相切，理由见解析；
（2）；
（3）当或时，⊙O与线段DP只有一个交点．
【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为点G．证明OG＝OC，由切线的判定可得出结论；
（2）过点C作CM⊥AB，垂足为点M，证明△CEH∽△CBA．得出，则可得出结论；
（3）设BD＝x，当⊙O与线段DP相切时，切点记为点N，联结ON．求出，当点P在⊙O上时，分别过点O、D作 OQ⊥CB，DR⊥BC，垂足为点Q、R．求出．则可得出结论．
【解答】解：（1）⊙O与边AB相切．
理由：过点O作OG⊥AB，垂足为点G．
∵AC＝5，，
∴OC，，
∵，
∴，
∴，
∴OG＝OC，
∴⊙O与边AB相切．
（2）过点C作CM⊥AB，垂足为点M，
∵AC＝5，，
∴AM＝3，CM＝4．
∵AB＝7，
∴BM＝4，
∴∠B＝45°，，
∵，CD过圆心O，
∴CO⊥EF．
∵CO＝EO，
∴∠CEH＝45°，
∴∠CEH＝∠B，
又∠ECH＝∠ECH，
∴△CEH∽△CBA．
∴，
∴，
∵EF＝2EO，
∴；
（3）设BD＝x，当⊙O与线段DP相切时，切点记为点N，联结ON．
∴ON⊥DP，ON＝CO，
∵，
∴，
∵DP∥AC，
∴∠ACD＝∠ODN，
∴，
又∵，
∴∠ACD＝∠A，
∴CD＝AD．
∵CM⊥AB，CM＝4，
∴，
又AD＝7﹣x，
∴，
∴，
当点P在⊙O上时，分别过点O、D作 OQ⊥CB，DR⊥BC，垂足为点Q、R．
∴CQ＝PQ，
∵DP∥AC，
∴，
∴，．
∵DR⊥BC，∠B＝45°，
∴，
∴．
∵，OQ∥DR，
∴，
∴，
∴．
∴当时，点P在⊙O内，⊙O与线段DP只有一个交点．
综上所述，当或时，⊙O与线段DP只有一个交点．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点．熟练掌握切线的判定是解题的关键．
5．已知AB是半圆O的直径，P是弦AC延长线上一点．
（1）联结PO与半圆交于点D．
①如图1，如果点C是弧AB的中点，且，求PD的长；
②如图2，如果点C是弧AD的中点，且PA＝PO，求的值．
（2）设M是弦AC的中点，如果以点A为圆心、AP为半径的圆与⊙O相切，以点P为圆心、PM为半径的圆与直线AB相切，求sin∠PAB的值．
【答案】（1）①22；②；（2）．
【分析】（1）①连接OC，过点O作OE⊥AC于点E，利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质得到OE＝EC＝AEACOA，设OE＝EC＝x，则PE＝PC+CE＝2x，利用直角三角形的边角关系定理求得x值，再利用勾股定理解答即可得出结论；
②连接OC，CD，BD，利用圆周角定理，等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到PC＝OC＝OA＝OD，设PC＝OC＝OA＝OD＝x，PD＝AC＝y，则PO＝x+y，利用相似三角形的性质得到关于x，y的方程，求得，则结论可求；
（2）设PM为半径的圆与直线AB相切于点E，连接OM，PE，利用相切两圆的性质得到AP＝AB，设AP＝AB＝2r，则OA＝r，利用垂径定理和全等三角形的判定与性质得到OM＝OE，设OM＝OE＝a，利用相似三角形的判定与性质得到AE＝AC＝AO+OE＝r+a，PE＝2a，则PM＝2a，利用AM的关系列出等式，得到r与a的关系，进而求得AP＝2ra，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
【解答】解：（1）①连接OC，过点O作OE⊥AC于点E，如图，
∵AB是半圆O的直径，点C是弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵OA＝OC，OE⊥AC，
∴OE＝EC＝AEACOA，
设OE＝EC＝x，则PE＝PC+CE＝2x，
∵tanP，
∴，
∴x，
∴PE＝3，OE，OAOE＝2，
∴PO2，
∴PD＝PO﹣OD＝22．
②连接OC，CD，BD，如图，
∵点C是弧AD的中点，
∴，
∴AC＝CD，∠AOC＝∠DOC∠AOD，
∵∠B∠AOD，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠B．
∵PA＝PO，
∴∠PAO＝∠POA，
∵OA＝OC，
∴∠PAO＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠POA，
∵∠A＝∠A，
∴△AOC∽△APO，
∴∠AOC＝∠P，
∴∠P＝∠DOC，
∴PC＝OC，
∴PC＝OC＝OA＝OD，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠PCD＝∠B，
∴∠PCD＝∠P，
∴PD＝CD，
∴AC＝PD．
设PC＝OC＝OA＝OD＝x，PD＝AC＝y，则PO＝x+y，
∵△AOC∽△APO，
∴，
∴．
∴xy（负数不合题意，舍去），
∴，
∴；
（2）设PM为半径的圆与直线AB相切于点E，连接OM，PE，如图，
∵点A为圆心、AP为半径的圆与⊙O相切，
∴点B为切点，
∴AP＝AB，
设AP＝AB＝2r，则OA＝r，
∵M是弦AC的中点，
∴OM⊥AC，AM＝MCAC，
∵PM为半径的圆与直线AB相切于点E，
∴PE⊥AB，PE＝PM，
在Rt△PMO和Rt△PEO中，
，
∴Rt△PMO≌Rt△PEO（HL），
∴OM＝OE，
设OM＝OE＝a，
∵∠A＝∠A，∠AMO＝∠AEP＝90°，
∴△OAM∽△PAE，
∴，
∴OMPE，AMAE，
∴AE＝AC＝AO+OE＝r+a，PE＝2a，
∴PM＝2a，
∴AM＝AP﹣PM＝2r﹣2a，
∵AMAC，
∴2r﹣2a，
∴ra．
∴AP＝2ra，
∴sin∠PAB．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，两圆相切的性质定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，连接经过切点的半径，添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．2026年上海中考复习 简答第25题专题复习
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掌握 平行四边形、梯形、菱形等特殊四边形的性质与判定，能综合运用全等、相似、勾股定理进行几何论证。
熟练运用 相似三角形的基本模型（A字型、8字型、母子型、一线三等角）解决线段比例、面积比及动态几何中的函数关系。
理解 圆的性质（垂径定理、圆周角定理、切线性质）与圆中相似三角形的构造，能解决圆中的证明与计算。
掌握 与圆相关的函数关系（如半径、弦长与变量之间的函数解析式）及定义域、最值问题。
会利用 几何中的特殊位置（中点、黄金分割点、角平分线、垂直）建立方程，求解线段长度或比值。
提升 新定义问题（镶嵌相似形、优雅抛物线等）的阅读理解与迁移能力，综合运用方程思想、分类讨论。
核心聚焦：四边形综合、圆与相似、动态函数建模，精准突破第25题压轴几何证明与计算。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 四边形与相似三角形综合
平行四边形性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。常用作中点、构造全等（如题1中点构造、题4菱形判定）。
梯形性质：一组对边平行。常作辅助线：平移腰、作高、延长两腰，将梯形转化为三角形或平行四边形（题2、题11、题18）。
等腰梯形：两腰相等，底角相等，对角线相等，常与圆内接四边形结合。
相似三角形基本模型：A字型、8字型、母子型、一线三等角。在四边形中常结合中点、角平分线、垂直条件推导比例中项或等积式（题1、2、10、12、13）。
中点与中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半；直角三角形斜边中线等于斜边一半；中点可构造全等或平行（题1、2、4）。
黄金分割：点D是线段OE的黄金分割点 或 （题17）。
☆ 圆的基本性质与相似
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。常用于构造直角三角形、中点（题8、15、16）。
圆周角定理及推论：直径所对圆周角为90°；同弧所对圆周角相等。常用于证明垂直、等角，进而得相似（题3、6、9、14、15、16、17、21、22）。
切线性质与判定：切线垂直于过切点的半径；过半径外端且垂直于半径的直线是切线；切线长定理（题14、22）。
圆幂定理：相交弦定理、切割线定理、割线定理。常由相似推导乘积式（题3、9、16、20、21）。
圆内接四边形：对角互补，外角等于内对角，常用于等腰梯形、角度计算（题6、8、9、17）。
正多边形与圆：中心角 ，边长、半径、边心距关系（题8）。
☆ 几何综合中的函数关系
相似三角形建立函数：利用相似比例式，将未知线段表示为自变量的函数，进而求解析式及定义域（题10、12、13、14、15、16、18、19、课后1、2、4）。
面积比与函数：通过相似三角形面积比等于相似比的平方，或等高三角形面积比等于底边比，建立面积关于变量的函数（题1、3、15、17）。
动圆与函数：圆中半径、弦心距、弦长之间的勾股关系，结合动点位置变化建立函数（题14、16、18、19、课后2、3、4）。
定义域与最值：根据几何约束（线段长度非负、点在线上、圆与直线相交等）确定自变量范围，并利用函数性质求最值或取值范围（题14、18、19、课后1、4）。
☆ 新定义与探究性问题
镶嵌相似形：一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且两三角形相似（题13）。解法：利用平行或比例构造相似，设未知数列方程。
直角三角形斜边中线逆定理：三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形（题20）。常用于证明直角。
黄金分割点：在圆中结合等腰三角形、相似推导比值（题17）。
☆ 知识模块速查表
模块 核心内容/定理 常见题型/方法
四边形综合 平行四边形、梯形性质；中点构造；全等、相似 证角相等、比例中项、面积比、求线段长
圆与相似 垂径定理、圆周角定理、切线性质、圆幂定理 证垂直、等角、相似；求弦长、半径；证比例中项
函数建模 相似比与函数、面积与函数、圆中勾股函数 求y关于x的解析式及定义域、最值问题
新定义探究 镶嵌相似形、直角三角形斜边中线逆定理、黄金分割 阅读理解，转化为代数方程或几何条件
分类讨论 等腰三角形、相似对应、点位置、相切情况 多解情况，注意验证取舍
核心考点 ·典例精讲
一．直击考场（共9小题）
1．如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．
（1）若E是BC中点；
①如图1，若AE＝EF，求证：∠BAE＝∠EFC；
②如图2，若CF＝DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；
（2）如图3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的长．
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且．
（1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF，求证：EF∥BC；
（2）已知AD＝AE＝1；
①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM DN，求边CD的长．
3．如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．
（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
（2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；
（3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．
4．如图，在 ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．
（1）如果AE＝CE．
ⅰ．求证： ABCD为菱形；
ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；
（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CEAE，求的值．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．
（1）当点E在CD上，
①求证：△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求的值；
（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．
7．如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．
（1）求证：∠E∠C；
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．
8．已知⊙O的直径AB＝2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC＝BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
9．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．
二．相似与函数（共7小题）
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，CE∥AB，DE∥AC，点F在边AC上，FD∥AE，BF的延长线交线段AE于点M．
（1）求证：△ABF≌△CAE；
（2）当点M是AE的中点时，求证：BF2＝4BM FM；
（3）已知cos∠ABC，BC＝2，设CD＝x，y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
11．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，∠ABC＝90°，BD＝BC，过点C作对角线BD的垂线，垂足为E，交射线BA于点F．
（1）如图1，当点F在边AB上时，求证：△ABD≌△ECB；
（2）如图2，如果F是AB的中点，求FE：EC的值；
（3）联结DF，当BC＝8时，△BFD是什么三角形（直接写出结果）．
12．已知正方形ABCD，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，AF与CD交于点G．
（1）如图1，如果CE＝CG，求证：BC2＝BE BF；
（2）如图2，如果∠EAF＝45°，且CE＝CF，求∠F的正切值；
（3）以点C为圆心CE为半径画圆，⊙C与以AE为直径的⊙O的另一个交点记为点P，如果AB＝2，CF＝2CE，EP＝CG，求EF的长．
13．定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知△ABC中，点P、D、E分别在BC，AB，AC上，联结PD，DE，PE．
（1）如图1，P是BC中点，PD∥AC，PE∥AB时，求证：△PDE是△ABC的镶嵌相似形；
（2）如图2，当AB＝AC，BP＝2PC，△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A＝∠PDE．求的值；
（3）如图3，如果∠A＝∠DPE＝90°，BP＝2，PC＝3，△PDE是△ABC的镶嵌相似形，且PE与AB不平行，求AB的长．
14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，，过点A的直线l与边BC平行，点O在射线BA上，⊙O是以O为圆心，OB为半径的圆．
（1）当直线AC与⊙O相切时，求OB的长；
（2）当直线l与⊙O相交时，交点记为点E、F，且点E在点F的右边；以C为圆心、CE为半径长作⊙C，与⊙O的另一个交点记为G．
①若四边形ABCE是矩形，求OB的长；
②若△AEC是以AE为腰的等腰三角形，求∠AEG的正切值．
15．已知：AB为⊙O的直径，AB＝5，点C在⊙O上．联结OC、BC，过点O作OD∥BC，交⊙O于点D．
（1）如图，联结DB，当∠ABC＝60°时，求证：四边形OCBD是菱形；
（2）作DE⊥OB，垂足为E．
①如图，联结AC、DC，DC交半径OB于点F，当时，求线段EF的长；
②如图，联结AC、AD、DB，设△ODE的面积为S1，四边形ACBD的面积为S2，如果S2＝7S1，求线段AC的长．
16．如图，在⊙O中，直径AB长为，弦BC的长为8，点D是BC上一点，过点D作OD的垂线交直线AB于点E．
（1）求∠CBO的正切值．
（2）当△BOD与△BDE相似时，求BD的长．
（3）以点E为圆心，ED长为半径画⊙E，试根据线段BD的长度情况探究⊙E和⊙O的位置关系．
三．圆与函数（共6小题）
17．△ABC为⊙O的内接等腰三角形，AB＝AC．联结BO并延长，交AC于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F（点F不与点A重合）．
（1）如图1，如果∠CBF＝20°，求∠DBF的大小；
（2）如图2，联结OC，如果sin∠ACB＝x，，求y关于x的函数解析式（不用写自变量的取值范围）；
（3）如果点D是线段OE的黄金分割点，求cos∠BAC的值．
18．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD＝6．动点P在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP＝x，PC＝y．
（1）求证：PE∥DC；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD，当∠PDC＝∠B时，以D为圆心半径为R的⊙D与⊙P相交，求R的取值范围．
19．如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC，O是边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径的圆O与边AC的另一个交点是点D，与边AB的另一个交点是点E，过点O作AB的平行线与圆O相交于点P，与BC相交于点Q，DP的延长线交AB于点F，联结FQ．
（1）求证：DP＝EP；
（2）设OA＝x，△FPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，求AO的长．
20．
阅读材料： 我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题． 如图1，在△ABC中，CD为AB上的中线，如果，那么∠ACB＝90°．也可以说，在△ABC中，如果CD＝AD＝BD，那么∠ACB＝90°．
根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图2，AB为半圆O的直径，CD是半圆O的弦，以CD为直径作⊙M．
（1）如图2①，过点C作CE⊥AB，垂足为E．
①求证：CE2＝AE BE；
②已知BE＝1，CE＝3，如果⊙M经过点O（如图2②），求直线CD与直线AB夹角的正弦值；
（2）已知⊙M与线段AB相交于点P、Q，，如果AP：PQ：BQ＝7：4：9，求AB的长．
21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧的中点（如图），弦CD与AB交于点E．
（1）当E为CD的中点时，求证：AB＝4BE；
（2）求证：；
（3）当AE＝CD时，求∠BAC的正弦值．
22．如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长AO交BC于点D，过点C作AB的垂线，交AD于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，交过点A且与BC平行的直线于点H，连结AG．
（1）判断AH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠BAC＝56°，求∠H和∠BAG的大小；
（3）若GF＝1，tan∠ABC＝2，求OD的长．
课后巩固 · 针对性练习
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C．
（1）当AD＝1时，求FB的长；
（2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长．
2．如图，在 ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，点O1是边BC上的动点，以点O1为圆心、O1C为半径的圆交边AC于点E．设O1C＝r．
（1）当点E是边AC的中点时，求r的值；
（2）已知点O2是线段AE的中点（规定：当点E与点A重合时，点O2也与点A重合），以点O2为圆心、O1O2为半径作⊙O2．
①当⊙O2与边AD有公共点时，求r的取值范围；
②如果⊙O2经过边AD的中点，求此时⊙O2与⊙O1的公共弦长．
3．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是边AC上的中线．以点B为圆心，BD为半径的圆交线段CD于点E（点E不与点C、点D不重合）．
（1）如图1，如果⊙B与边BC交于点F，，求∠DBE的度数；
（2）如图2，当AE＝5EC时，求∠C的正切值；
（3）如图3，以点E为圆心，BC为半径的⊙E与⊙B相交，其中一个交点P在边AB上．如果BD＝1，求AE的长．
4．已知，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，cosA，D是边AB上一动点，联结CD．点O在线段CD上，且，以点O为圆心，CO为半径作⊙O，交边AC于点E．
（1）当点D与点A重合时，判断⊙O与边AB的位置关系并说明理由；
（2）已知点F在⊙O上，且，EF与边BC交于点H，当EF经过圆心O时（如图），求的值；
（3）过点D作DP∥AC，交边BC于点P，当⊙O与线段DP只有一个交点时，求BD的取值范围．
5．已知AB是半圆O的直径，P是弦AC延长线上一点．
（1）联结PO与半圆交于点D．
①如图1，如果点C是弧AB的中点，且，求PD的长；
②如图2，如果点C是弧AD的中点，且PA＝PO，求的值．
（2）设M是弦AC的中点，如果以点A为圆心、AP为半径的圆与⊙O相切，以点P为圆心、PM为半径的圆与直线AB相切，求sin∠PAB的值．

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