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2026 年深圳市高三年级第二次调研考试 数 学
满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后, 留存试卷, 交回答题卡。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。
1. 已知 ,则
A. B. C. 2 D.
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. 的展开式中 的系数为
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80
4. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在平行四边形 中, ,则
A. B. C. D.
6. 已知直线 ，平面 ，满足 ，则下列命题一定正确的是
A. 存在 ,使得 相交 B. 存在 ,使得
C. 存在 ,使得 的夹角为 D. 存在 ,使得
7. 双曲线 的左、右焦点分别为 为坐标原点, 点 是 上一点, ,则 的离心率为
A. B. C. 3 D.
8. 已知函数 ,则满足 的 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,则
A. 的最小正周期为
B.
C. 为偶函数
D. 的图象关于直线 对称
10. 某公司统计了去年 1 月份到 5 月份某种产品的销售额如下表:
月份x
销售额 /万元
根据表中数据,通过最小二乘法求得的经验回归方程为 ,则
A. 变量 与 正相关 B.
C. 样本数据 的下四分位数为 1.8 D. 当 时, 的预测值为 4.1 万元
11. 已知正三棱柱 的高为 2,且有内切球 (球 位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点)，若过 三点的平面截该三棱柱所得截面为 ，则
A.
B. 平面 平面
C. 截面 的面积为
D. 该三棱柱被截面 分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 若直线 是曲线 的一条切线，则 _____.
13. 已知等差数列 的前 项和为 ,首项 为 的最大值，则 的值可以为_____. (写出符合条件的一个值即可)
14. 已知圆 是圆 上的一动点, . 若存在一个半径为 的圆与直线 相切于点 ，且与圆 内切，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出说明、明过程或演算步骤。
15. (13 分)
记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 1，求 的周长.
16. (15分)
已知函数 .
(1)若 在 时取极值，求 的值和 的极小值；
(2)若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围.
17. (15 分)
已知抛物线 的焦点为 是 上不同的两点 (其中 在第一象限),点 . 当 与 轴垂直,且 时, .
(1)求 的方程；
(2)若 为 轴上一点，且 (点 与 不重合). 从下面①②③中选取两个作为条件, 证明另外一个成立:
① 三点共线; ② 轴；③ .
注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.
18. (17分)
如图，已知圆锥 的底面直径 ，其中 为底面圆心，母线 ，动点 从 点出发，在圆锥的侧面上绕轴 一周后回到 点，其轨迹为 .
(1)求 长度的最小值；
(2)若点 在圆 上，且 ( 是 所对的圆心角， )， 证明: 存在非零向量 ,使得 恒成立;
(3)在(2)的条件下，可知 是平面曲线，记 所在平面为 ，求平面 与 夹角余弦值的取值范围.
第 18 题图
19. (17 分)
一个微生物在如图所示 方格的培养皿中随机移动,每次均以相等概率移动到相邻的方格. 方格 是初始位置， 是营养丰富的角落，每次到达方格 时，微生物进行一次繁殖. 记该微生物第 次繁殖时所经过的总移动步数为 .
A B A
B C B
A B A
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 .
参考公式:1. 若 ，对于 ，则 ；
2. 若 是离散型随机变量,则 .
2026 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学试题参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。
1. 已知 ,则
A. B. C. 2 D.
答案: A
2. 已知集合 ,则
A. {-1} B. {1} C. D.
答案: C
3. 的展开式中 的系数为
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80
答案: B
由于 的展开式的第 3 项为 ,选 B
4. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案: C
5. 在平行四边形 中, ,则
A. B. C. D.
答案: A
由于 ,选 A.
6. 已知直线 ，平面 ，满足 ，则下列命题一定正确的是
A. 存在直线 ,使得 相交 B. 存在直线 ,使得
C. 存在直线 ,使得 所成角为 D. 存在直线 ,使得
答案: D
对于选项 ,若 ,任意直线 不相交,矛盾;
对于选项 ,若 与 相交,不存在直线 ,使得 ,矛盾;
对于选项 ,若 ,任意直线 ,矛盾;
对于选项 D,若 ,任意直线 ;
若 ,存在直线 ,令 ,则 ;
若 与 相交,存在平面 ,令 ,则 , D 正确.
7. 双曲线 的左、右焦点分别为 为坐标原点,点 是 上一点, ,则 的离心率为
A. B. C. 3 D.
答案: A
解析 在 中, ,
则 ,则 轴,
于是 ,由于 ,则 ,
8. 已知函数 ,则满足 的 的取值范围是
A. B.
C. D.
答案: B
由于函数 关于直线 对称,
当 时,函数 单调递增,于是函数 在 上单调递增,
由 ,则 ,即 ,选
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ，则
A. 的最小正周期为
B.
C. 为偶函数 D. 的图象关于直线 对称
答案: AD
10. 某公司统计了去年 1 月份到 5 月份某种产品的销售额如下表:
月份 5
1.8 3.1
根据表中数据,通过最小二乘法求得的经验回归方程为 ,则
A. 变量 与 正相关 B.
C. 样本数据 的下四分位数为 1.8 D. 当 时, 的预测值为 4.1 万元
答案: ABD
对于选项 ,由于 ,则变量 与 正相关;
对于选项 B，由于 ，则 ，则 ；
对于选项 C，由于 ，则样本数据 的下四分位数为 2.2 ；
对于选项 D，当 时， ，选 ABD.
11. 已知正三棱柱 的高为2，且有内切球 (球 位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点)，若过 三点的平面截该三棱柱所得的截面为 ，则
A.
B. 平面 平面
C. 截面 的面积为
D. 该三棱柱被截面 分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为
答案: BCD
如图,取上底面,下底面的中心分别为 ,取 的中点 ,
取 中点 ，于是四边形 为矩形，则 ， 于是 ,则 错误;
对于选项B，由于 ，且 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又因为 平面 ,平面 平面 ,则 ,
如图，连接 ， ，由于 ， ，则 为平面 与平面 所成角平面角,
由于 ,则 ,于是平面 平面 ;
对于选项 C，如图，连接 ，交 于 ，过点 作 的平行线交 ， 于 ， ， 由于 ,则 ,则 为 上靠近 的三等分点,
于是 ,由于 为 中点, 为 中点,
则四边形 为等腰梯形,且 ,于是 :
对于选项 D,由于正三角形 与正三角形 相似,三条侧棱延长相交于一点,
于是 为正三棱台, ,
而三棱柱的体积 ，于是 ，
则较小部分与较大部分的体积之比为 .
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 若直线 是曲线 的一条切线，则 _____.
答案: -1
设切点为 ,由于 ,则 ,则 ,
于是切点为 ,则 .
13. 已知等差数列 的前 项和为 ,首项 为 的最大值，则 的值可以为_____. (写出一个符合条件的值即可)
答案:260([260-270] 均可)
设 ,由 最大, 单调递减,
那么 ,则 ,于是 ,
14. 已知圆 是圆 上的一动点， . 若存在一个半径为 的圆与直线 相切于点 ，且与圆 内切，则 的最小值为_____.
答案: 1.2
如图,取圆的圆心为 ,连接 ,设点 ,
由于 ,则 ,
于是点 的轨迹是以 焦点的椭圆,从而椭圆的中心为 ,
于是设点 的轨迹方程为: ,
其中 ,则 ,方程为: ,如图,
由于直线 始终与 有公共点 ,
不妨设 的倾斜角为 ,如图, 才能取到最小值, ,其中直线 与圆相切,
由 ,
要求 的最小值,由焦半径公式: .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 的值
(2)若 的面积为1，求 的周长.
解: (1) 由余弦定理: ,可得 ,
且 ,则 ,得 ,
由正弦定理: ,
所以 ,即 ,
又因为 ,解得 ,
因为 ,所以 ;
解法 ,于是 ,不妨设 ,
由余弦定理: ,
由正弦定理, ,
(2)解法 1 由(1)， ， ， ，
由正弦定理, ,
于是 ,
,
解法 2 由 ,
则 ,则 ,
如图，延长 ，过点 作 ，由 ，则 ，
于是设 ,则 ,
则 ，于是 ；
16. (15分)
已知函数 .
(1)若 在 时取极值，求 的值和 的极小值；
(2)若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围.
解: (1) 由于 ,
则 ,则 ,
于是 ,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
则 在 上单调递减，所以 在 上没有极小值，
又因为 在 上单调递增,且 ,
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
于是 在 处取极小值，极小值为 .
(2)解法 1 由于不等式 对任意 恒成立，则 ，
即 ,所以 ,
下证: 当 时, ,
由于 ,则 ,
令 ,由 (1) 可知, 在 上单调递增,
于是 ,所以 ,
所以 .
解法 2 令 ,则 ,
设 ,则 ,
由于 ,
设 ,则 在 上单调递增,
于是 ,则 ,
于是 在 上单调递增,于是 ,则 ;
解法 3 由于 ,
,
则 在 上单调递增,由于 ,
若 ,由于 在 上连续,则存在 ,
于是 在 上单调递减,则 矛盾;
若 ,则 ,
于是 在 上单调递增,则 ,则 恒成立,
综上所述, ;
解法 4 由 ,则 ,
设 ,
若 ,则 ,则 在 单调递减,
则 ，则 ；
若 ,令 ,
令 ,则 在 上单调递增;
令 ,则 在 上单调递减,
于是 ,令 ,下证: ,
设 ,则 在 上单调递增,
则 ,即 ,于是 不等式恒成立,
综上所述: ;
17. (15 分)
已知抛物线 的焦点为 是 上不同的两点(其中 在第一象限), 点 . 当 与 轴垂直,且 时, .
(1)求 的方程；
(2)若 为 轴上一点，且 (点 与 不重合). 从下面①②③中选取两个作为条件, 证明另外一个成立:
① 三点共线；② 轴；③ ；
注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.
解: (1) 由题, 关于 轴对称,令 ,则 ,于是直线 过焦点 ,
在 Rt 中,有 ,可得: ,
则 ，于是 的方程为: ；
(2)①② ③
解法 1: 由题意知, 与 轴不垂直,不妨设点 , 则 ,
于是直线 ,即 ,
若 三点共线, ,则 ,
取 中点 ,连接 ,由 ,则 ,
而 ,
则 ，则 ；
解法 2: 由题, 与 轴不垂直,不妨设直线 ,点 , ，联立直线 与 :
取 中点 ，连接 ，由 ，则 ，
而 ,
则 ， ，则 ；
解法 3: 如图,设 的准线为 ,过点 分别作 的垂线,垂足为 ,过点 作 ,
设直线 的倾斜角为 ,于是 ,则 ,
即 ,同理, ,
在 与 中, ,
取 中点 ,连接 ,
于是 ,则 ,
于是 ,
且 ,
且 ，则 ，于是 ，即 ； ①③ ②
解法 1: 由题, 与 轴不垂直,不妨设点 ,
则 ,
于是直线 ,即 ,
若 三点共线,则 ,
取 中点 ,连接 ,
由于 ,
由 ,且 ,则 ,
,且 ,
则 ，即 ，
则 ,则 轴, 轴;
解法 2: 由题, 与 轴不垂直,不妨设直线 ,点 , ,联立直线 与 :
取 中点 ,连接 ,
由于 ,
由 ,且 ,则 ,
,且 ,
则 ,即 ,
则 ,则 轴, 轴;
解法 3: 如图,设 的准线为 ,过点 分别作 的垂线,垂足为 , 设直线 的倾斜角为 ,于是 ,则 ,
即 ,同理, ,
在 中, ,
取 中点 ,连接 ,
,
于是 ,则 ,
则 ,
在 与 中, ,
,
且 ,则 ,于是 ,即 轴, 轴; ②③ ①
解法 1: 由题, 与 轴不垂直,不妨设点 ,
则 ,
于是直线 ,即 ,
取 中点 ,连接 ,由 ,则 ,
而
由 ,则 ,
,于是 ,
则直线 恒过定点 ，即 三点共线.
解法 2: 由题, 与 轴不垂直,不妨设直线 ,点 ,联立直线 与 :
取 中点 ，连接 ，由 ，则 ，
而 ,
由 ,则 ,
，于是 ，此时 ，
则直线 恒过定点 ，即 三点共线.
18. (17 分)
如图，已知圆锥 的底面直径 ，其中 为底面圆心，母线 ，动点 从 点出发， 在圆锥的侧面上绕轴 一周后回到 点，其轨迹为 .
(1)求 长度的最小值；
(2)若点 在圆 上，且 ( 是 所对的圆心角， )， 证明: 存在非零向量 ,使得 恒成立;
(3)在(2)的条件下，可知 是平面曲线，记 所在平面为 ，求平面 与 夹角余弦值的取值范围.
解: (1) 如图,沿圆锥 的母线 ,将圆锥的侧面展开,得侧面展开图扇形 ,其中 为 的中点, 与 在圆锥中是同一点.
因为轨迹 在圆锥的侧面上,所以,在侧面展开图中,轨迹 是扇形 上连接 与 两点的曲线.
又 是最短路径,而平面上连接两点之中,线段最短,所以,轨迹 是侧面展开图扇形 上连接 与 两点的线段,即线段 .
由于 ，所以 的长度为 ，又 ，所以 .
所以，在等腰三角形 中， ，即 的长度为 .
(2)如图，在底面圆 中，过点 作 交圆 于点 ，由于 平面 ，则 ， ， 两两垂直，如图，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,
于是 ,设 ,
则 ,
于是 ,则 ,
于是 ,
于是令 ,则 ;
(3)解法 1 由(2)可知， 是平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ,
由于 ,
则
于是平面 的一个法向量为 ,
设平面 与平面 所成角为 ,
于是 ,
即平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围为 ;
解法 2 由(2)可知，平面 的法向量 ，
由于 在底面圆周上运动,
则平面 即平面 的法向量可以是底面上任意方向的向量,
如图，在平面 内，过点 作 ，则 ，
设平面 与平面 所成的角为 ,则 ,
易知 ,则 ,
综上, ,
即平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围为 .
19. (17 分)
一个微生物在如图所示 方格的培养皿中随机移动,每次均以相等概率移动到相邻的方格. 方格 是初始位置, 是营养丰富的角落,每次到达方格 时,微生物进行一次繁殖. 记该微生物第 次繁殖时所经过的总移动步数为 .
A B A
B C B
A B A
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 .
参考公式: 1. 若 ,对于 ,则 ;
2. 若 是离散型随机变量,则 .
解: (1) (1) 微生物经历奇数次移动必然到达区域 ,之后有 的概率到达区域 ,有 的概率到达区域 ,微生物在区域 或者区域 时,下一步必然到达区域 .
(2)微生物第 1 次到达区域 所经历的步数必然为: 2,4,6,8,...,2, k,..., ，
若微生物经历 次移动第 1 次到达区域 ，则前面 步必然在区域 与区域 之间移动， 且最后 2 步是由区域 到区域 ,接着到达区域 ,于是
不妨设
于是
则
化简可得, ,
由题意可知, ,所以 ;
解法 2: 由微生物在 2 次移动后,有 的概率经过区域 到达区域 ,
有 的概率到达经过区域 回到区域 ,
于是 ,
解得, ;
(3)解法 1:初始位置 时微生物第 次到达区域 累计移动次数为 ，
设初始位置 时粒子第 次到达区域 累计移动次数为 ，初始位置为 时粒子第 次到达区域 累计移动次数为 (初始位置不记为到达)，当 时，
于是:
即 ,
化简有 ,又由 ,有
即 ,
又由 ，于是 .
解法 2: 不妨设微生物从区域 出发,第一次到达区域 ,需要的次数为随机变量 ,当 时, ,
微生物由区域 出发第 1 次到达区域 所经历的步数必然为: ,
若微生物经历 次移动第 1 次到达区域 ，则前面 步必然在区域 与区域 之间移动， 且最后 2 步是由区域 到区域 ,接着到达区域 ,于是
,则 ,由 (2) 知
于是
又由 ,于是 .
解法 3: 当 时
易知微生物第 次到达区域 所经历的步数可能为: ， 当微生物通过 步第 次到达区域 时，前面的 步中，在奇数步中，必然到达区域 ， 偶数步中,有 次到达区域 ,对应的概率为 ,且最后 2 步移动以 的概率回到 .
于是 ,则
不妨记
于是
则 ，
又由 ,于是 ,
则 .
又由 时 也符合上式,于是对于 均有 .
说明:视每2次移动为1次实验，易知1次实验中，必然有1次到达 ，有1次到达 或者 . 即每次实验有 的概率到达 发生,有 的概率到达 不发生. 于是为使到达 事件发生 次,平均需要进行实验 次,于是需要移动 次.

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