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高三年级适应性练习 数 学
说明:
1. 本试卷分第 I 卷和第 II 卷, 共 4 页, 考生作答时, 须将答案答在答题卡上, 在本试卷、草稿纸上答题无效. 考试结束后, 将答题卡交回.
2. 本试卷满分 150 分, 120 分钟完卷.
第I卷(选择题 58 分)
一. 选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 在复平面内,复数 ,则 的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在 中, ,则
A. 6 B. -6 C. -3 D. 3
4. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 36 B. 32 C. 24 D. 18
5. 德阳市教育行政部门近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家前往阿坝、若尔盖、越西三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排 1 名专家的方法数为
A. 24 B. 36 C. 72 D. 81
6. 已知函数 的零点分别为 ,则
A. B.
C. D.
7. 如图,函数 的图象与直线 相交, 是相邻的三个交点,且 , 则
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
8. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ,过 的直线与双曲线的左右两支分别交于 ,若 的内切圆面积之比为 1:4,则双曲线的离心率为
A. B. C. 2 D. 3
二. 多项选择题:本题共3小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的.
9. 下列说法中正确的是
A. 数据0,1,2,4的极差与中位数之积为 6
B. 对随机事件 ,若 ,则
C. 已知一组不全相同的数据 的平均数为 ,在这组数据中加入一个数 后得到一组新数据的平均数还是
D. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程 中, ,则
10. 在棱长为 1 的正方体 中, . 则下面结论中正确的是
A. 存在 ，使得平面 平面
B. 是 平面 的充要条件
C. 分别是 在平面 ,平面 上的投影图形的面积,对任意 ,都有
D. 任意 ， 的面积不等于
11. 已知函数 是 的导数,下列结论正确的是
A. 的图象是轴对称图形 B. 的极大值点和极小值点个数相同
C. ! D. 方程 有根
第II卷(非选择题 92 分)
三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 展开式中 的系数等于_____.
13. 过点 的直线交抛物线 于 两点,直线 过点 且与 相切,则直线 与直线 斜率之积为_____.
14. 在平面直角坐标内 为坐标原点),已知 ,将 绕 沿逆时针方向旋转 到点 ，设 ，则 的值为_____. 四. 解答题: 共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题 13 分)
针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法, 分别抽取了男生和女生各 100 名作为样本, 调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图.
(1)根据等高堆积条形图，填写下列 列联表，并依据 的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联；
性别 是否喜欢人工智能应用 合计
是 否
男生
女生
合计
(2)已知该校男生女生人数之比为4:5，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取 1 名学生，已知该生喜欢人工智能应用，求该生为女生的概率.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式: ,其中 .
16. (本题 15 分)
已知数列 中, .
(1)求 ；
(2)设 ，证明:数列 是等比数列；
(3)记 ，求数列 的前 项和 .
17.(本题 15 分)
如图，已知两个四棱锥 与 的公共底面是边长为2的正方形，顶点 在底面的同侧. 棱锥的高 分别为 的中点， 与 交于点 与 交于点 .
(1)证明: 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的正弦值.
(3)求多面体 外接球的面积.
18.(本题 17 分)
已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明: .
19.(本题17分)
已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为 ，下顶点为 ， 的面积为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)点 为椭圆上任意一点，以 为圆心 为半径的圆与以椭圆焦点 为圆心半径为 的圆的公共弦为 ，是否存在 ，使得 的面积为定值(与点 无关)？若存在， 求出 及 的面积; 否则说明理由.
(3)事实上(2)的结论对任意椭圆 都成立，写出该结论(不需要证明).
高三年级适应性练习 数学参考答案及评分标准
一. 单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A C B B C D
二. 多项选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有几项是符合题目要求的.)
题号 9 10 11
答案 ACD ABD ACD
三.填空题(本题共3小题，每小题 5 分，共 15 分)
12.45 13. -2
14.
四. 解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 解:(1)由题意，根据等高堆积条形图，完成 列联表如下:
性别 是否喜欢人工智能应用 合计
是 否
男生 75 25 100
女生 55 45 100
合计 130 70 200
零假设为 : 该校学生的性别与是否喜欢 AI 应用没有关联,
因为 ,
所以依据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,即能认为该校学生的性别与喜欢人工智能应用有关联 7 分 (2)设事件A为“抽取的学生为女生”，事件B为“抽取的学生喜欢AI应用”.
由题意有
样本中男生喜欢 AI 应用的频率为 0.75 ，女生喜欢 AI 应用的频率为 0.55 ，以此作为概率； 则 9 分
由全概率公式:
11 分
由贝叶斯公式有 .
所以该生为女生的概率为 13 分
16. 解: (1) 由 得: 3 分
(2) ,
所以 ,即 ,且 .
故数列 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 9 分
(3)由(2)知: ，所以 .
所以 . 所以 15 分
17. 解:(1)由题意 平面 、 平面
所以 且 ,故四边形 是平行四边形.
故 且 分别为 的中点,
所以 且 即四边形 是平行四边形.
所以 为 的中点,同理 为 的中点,故 ,
且 平面 平面
所以 平面 5分
(2)由题意可知: ， ， 两两垂直，以 为原点，以 ， ， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ,如图所示,
则 . 设平面 的法向量 ,
则
取 .
设平面 的法向量 ,
则
取 . 9 分
所以 .
故二面角 的平面角的正弦值为 11 分
(3)设多面体 外接球的球心为 ,因为 到 四点距离相等
故 的坐标可设为 ,所以只要 即可.
由 (2) 知 ,所以外接球半径
解得 ,故 .
所以多面体 外接球的面积为 15 分
18. 解: (1) 当 时, ,所以
故 ,函数 在 处的切线方程为 .
整理得: 4 分
( 2 )若 ，当 时， ，所以 不恒成立 5 分
若 ,易知 在 上单增
且 ,当 时,
所以 使得 即
且 在 上单减，在 上单增，
所以 ,要使 恒成立,只要 即可 7分
由 且
所以 ,即 ,
由 有 带入上式有: .9分
令 ,则
所以 在 单增且 ,故要使 ,必有 .
又 在 单增,所以 的取值范围为 13 分
(3)由(2)知当 时， 恒成立，即
化简得: ,令
有
将这 个同向不等式相加得:
整理得: ,即所证不等式成立 17 分
19. 解: (1) 由题意得: 解得: .
所求椭圆为 4分
(2)设 ，则 ，
则以 为圆心 为半径的圆的方程为 ,
即
以 为圆心半径为 的圆的方程为 .
所以公共弦为 的方程为: 8 分
那么 到 的距离 10 分
要使得 的面积为定值(与点 无关)，只需 与 无关，
所以 ,即 .
此时 ,所以 ,故 的面积为 2 13 分
(3)以椭圆 上任意点 为圆心， 为半径的圆与以椭圆焦点 为圆心半径为 的圆的公共弦为 ,则 的面积为定值 17 分

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