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2026年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数 学
满分 150分。考试用时 120分钟。
注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知 集 合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知 ，复数 在复平面内对应的点在虚轴上，则
A. B. -1 C. 1 D.
3. 已知非零向量 满足 ，且
A. B. C. D.
4. 已知 ，则
A. 2 B. c. D. -2
5. 若函数 的图象与 的图象关于直线 对称,且 , 则
A. - 9 B. - C. D. 9
6. 已知 a>b>0 ，且a+b=1 ，则下列不等式不一定成立的是
A. B. C.
7. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点,点 在 的渐近线上,且满足 ,则 的离心率为
A. 3 B. 2
c. D.
8. 若函数 有且仅有两个零点,则 的最小值为
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分.
9. 在5 道试题中有 3 道代数题和 2 道几何题, 每次从中随机抽出 1 道题, 抽出的题不再放回. 设事件 “第 1 次抽到代数题”, “第 2 次抽到几何题”,则
A. B. C. D.
10. 已知函数 ,则
A. 是 的一个周期
B. 是 图象的一条对称轴
C. 的最大值为 D. 在 内单调递减
11. 在棱长为 1 的正方体 中，点 在线段 (包括两端点) 上运动. 点 为线段 的中点,则
A. 存 在 点 ,使 得
B. 存在点 ,使得 平面
C. 当 时,经过点 的平面将正方体 分成体积之比为3: 1 的两部分
D. 当 的面积为 时，三棱锥 的外接球表面积为
三、填空题:本题共3 小题，每小题5分，共15分，
12. 的展开式中，常数项为_____.
13.某人工智能博览会有4个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这 4 个场馆中被参观的场馆个数为X，则X 的数学期望为_____.
14. 已知圆 ,若直线 上至少存在一点 ,使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为2，则实数k的取值范围是_____.
四、解答题:本题共5 小题, 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 的值:
(2)若(a = ， 的面积为2，求 的周长.
16. (15 分)
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若 是函数 的极值点,证明: .
17. (15 分)
如图 1,在矩形 中, 于 于 , 将 沿 翻折至 ,使得 ,连接 BD,如图 2.
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求直线 与直线 所成角的余弦值.
图 1
图 2
18. (17 分)
已知椭圆 的离心率为 ，直线 披椭圆 所截得的线段的长为 3 .
(1)求C的方程:
(2)已知点 ，过点 的直线 交 于 ， 两点 ， ， ， 直线BF交直线x=1于点M.
(i)设直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,判断 是否为定值, 并说明理由;
(ii) 证明: 直线ME过定点.
19. (17 分)
从 中任取 3 个不同的数，且这 3 个数从小到大构成一个等差数列，这样的等差数列共有 个，这 个等差数列的所有项之和为
(1)写出 的值；
(2)求 ；
(3)求 .
2026 届广州市普通高中毕业班综合测试 (二) 数学试题参考答案及评分标准
评分说明:
1 .本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2.对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4. 只给整数分数. 选择题不给中间分.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A A B B C B
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合
题目要求，全部选对的给6分，有选错的给0分。有两个正确选项的仅选其中一个给 3
分；有三个正确选项的仅选其中一个给 2 分，仅选其中两个给 4 分。
9. AC 10. ACD 11. BCD
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. -40 13. 3
14.
四、解答题:共77分。
15. (13 分)
(1) 解: 因 为 ,
由正弦定理得 , 1 分
由 ,得 ,
得 , 2 分
得 BcosC +cosBsinC = sinBcosC +2sinC sinB, 3 分
得 Bsin C C B , 4 分
又 ，得 ， .5 分
所以 . 6 分
(2)解法 1:由(1) ，且 ，得 .
由 .7 分
得 . 9 分
[每个值正确各1分]
因为 的面积为 2,则 . 10 分
又 ，得 . .11 分
由余弦定理得 .
12 分
所以 的周长为 . 13 分
解法 2: 过 作 于 ,
由 (1) ,且 ,得 .
由 7 分
得 . 9 分
[每个值正确各 1 分]
在 Rt 中, ,得 , 10 分
因为 的面积为 2,则 ，得 . 11 分
在 中，由余弦定理得
12 分
所以 的周长为 . 13 分
16. (15 分)
(1) 解: 当 时,函数 的定义域为 , 分由 ,得 , .2 分则 . .3 分
又 , 4 分
则曲线 在点 处的切线 的方程为 . 5 分令 ,得 . .6 分
则/与两坐标轴围成的三角形的面积为 . .7 分
(2) 证 法 1: 由 alnx- ,得 ,
由于 是函数 的极值点,
则 ,即 . 8 分
由 ,得 ,得 . .9 分
若 ，得 ，与 矛盾，则 . 10 分所以 .
由 ,得 ,
则 . 11 分
令 ,
12 分
则 在 内单调递减. 13 分
则 . 14 分
所以 . 15 分
证法2: 由 alnx- ,得 ,
.8 分
则 在 上单调递减. 9 分
由于 是函数 的极值点,
则 , 10 分
当 时， ，则 在 上单调递增； 11 分
当 时， ，则 在 上单调递减； 12 分
所以,当 时,函数 取得最大值为 . .13 分
由 ,可得 , 14 分
所以 . 15 分
证法 3: 由 ,得 ,
由于 是函数 的极值点,
则 ,即 . .8 分
由 ,得 ,得 . 9分
若 ，得 ，与 矛盾，则 . 10 分
所以 .
由 ,得 ,
则 . .11分
下面证明 .
令 ,得 , 12 分
则 在 内单调递减. 13 分
所以 ,得 . 14 分
所以 . 15 分
17. (15 分)
(1) 共 8 分，(2+2+2+2-一找角+证高+求高+求体积)
解: 如图,在平面 上,将 平移至 ,连接 1 分
因为 ，所以 . 2 分
作 交 延长线于点 ,
因为 ’, , ’ , ’ 平面 ’ ,
EG C 平面 D’EG ,
所以 AC⊥ 平面 D’EG ，即 AC⊥ 平 面 D’OG 3 分又 D’OC 平 面 D’OG, 则 AC ⊥ D’O.
又 平面 ,
所以 ⊥ 平面 . 4 分
由 ,得 ,
在 Rt 中, , 5 分
在 Rt 中, , .6 分
又 的面积 , .7 分
所以三棱锥 的体积 . ... .8 分
(2)解法 1: 找角+求三边+求余弦值+下结论
由于 ,则四边形 为平行四边形.
所以 .
所以直线 与 所成的角为 . 9 分
(只要指出直线AC 与直线BD′所成的角就给9分点)
由(1)可得 ，则 .
由于 ,则 . 10 分
在 Rt 中, , 11 分
.12 分
在 Rt 中, , .13 分
.14 分
(14分点给的是公式, 即第一个等号)
所以直线 AC 与直线 BD′所成角的余弦值为 . .15 分
解法2: (1+4+1+1)向量表示+求模长+求余弦值+结论
19分
(只要解答中有表示出三个向量和就给9分点)
10 分
11 分
又因为矩形 ,所以 .12 分
.13 分
.14 分
(14分点给的是公式, 即第一个等号)
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 . .15 分
解法 3: 建系+向量坐标表示+求余弦值+下结论
如图，作EM //D’O，则 EM ⊥ 平面 ABC. 以 E 为原点，EG ，EC ，EM 分别为 x、y， z 轴, 建立空间直角坐标系E-xyz, 9 分
(如果画图正确就给9分点)
10 分
11 分
则 ,
(若没有求长度,直接写坐标,则B, 各 1 分)
.12 分
(也可以写 坐标)
13 分
设直线 与直线 所成角为 ,
则 , 4 分
(14分点给的是公式, 即第二个等号)
所以直线 AC 与直线BD′所成角的余弦值为 . 15 分
18. (17 分)
(1)解法 1: 由 ,令 ,得: , 1 分
根据题意,得 , 2 分
因为 ,得 ,得
解 得 , 3 分
所以 的方程 . 4 分
解法2: 由于直线 被椭圆 所截得的线段的长为3,则 过点 ().
1 分
根据题意， .2 分
[第 1 个或第 2 个等式写对给 1 分]
解得 , 3 分
所以 的方程 . 4 分
(2)解法 1:设点 ，
(i) 设 ,
由 ,得 , .5 分
由 ,得 ,解得 或 ,
又点E，F 在 轴下方，则 .
由韦达定理得 6 分
[写对一个等式给 1 分]
得 . 即 .
因为 ,
所以 .7 分
.88
分
9 分
.11
分
所以 不是定值. .12
分
(ii) 证明: 由 (i) 得 , 13 分
则直线ME 的方程为 , .14 分
即 , 15 分
当 时,得 . 16 分
所以直线 过定点 . 17 分
解法2:
(i) 直 线 斜率一定存在,设直线 ,
联立 得 , 5分
,得 ,又 ,则 .
6 分
7 分
8 分
9 分
.11
分
所以 不是定值. .12
分
(ii) 证明: ,由(i) 知 ,
所以 , 13 分
直线 , 14 分
整理得 , 15 分
解得 16 分
所以直线 过定点 . 17 分
19. (17 分)
(1) 解: 4 分
(一个结果1分)
第(2)、(3)问解法 1:(分类讨论，奇偶递推)
(2)从 , 中任取三个数构成等差数列，设这三个数为 ,
则
由于 为偶数,所以 同为奇数或偶数 5 分
① 当n为偶数时，不同的等差数列个数即为从 个奇数中任取 2 个和从 个偶数中任 2 取2个, 6 分
所以 . 7 分
② 当 为奇数时, 为偶数,最后一个奇数 与前面的 个奇数中的每一个可以组成符合题意的等差数列,其有 个不同的等差数列, 8 分
所以 . 9 分
所以 10 分
(3)思路:一行一行列举符合条件的数列，纵向看规律
① 当 为偶数时,1,2,3,..., n 中共有 个奇数和 偶数，
所有等差数列的和中，根据对称性，
1 和 出现次数相同，1 与后面 个奇数中任何一个可以构成符合题意的等差数列， 所以 1 和 出现次数都为 .
2 和 n-1 出现次数相同,2 与后面的 个偶数中任何一个可以构成符合题意的等差数列,同时作为等差中项与 1,3 组成一个等差数列,所以 2 和 出现次数都为 . 依此类推,对任意 ,它与同奇偶性的另外 个数中任何一个可以构成符合题意的等差数列,出现 次,同时作为等差中项出现 次,
所以 和 出现次数都为 . 11 分
(先列举再归纳, 建议能写对一个具体的就给这 1 分)
所以 分
(第一个等号 1 分, 答案 1 分)
② 当 为奇数时, 为偶数，最后一个奇数 只能与前面的 个奇数中任何一个组成 个符合题意的不同的等差数列,奇数 与前面的任一奇数 组成的等差数列和为 , 14 分
所以
16 分
综上所述, 17 分
第 (2)、(3)问解法2:(分析公差的情况，归纳推理)
(2)从 , n中任取 3 个不同的数构成等差数列,设这 3 个数为 , ,该数列的公差为 ,则 ,且 为正整数 分
① 当n为偶数时，
若 d=1 ，则 b 可取 2，3，...，n-1，共有 n-2 个等差数列；
若 d=2 ，则 b 可取 3，4，...，n-2，共有 n-4 个等差数列；
若 d=3 ，则 b 可取 4，5，...， n-3，共有 n-6 个等差数列；
......
若 ，则 b 可取 ， ，共有 2 个等差数列； .6 分
(公差分类, 建议能写对一个就给这1分)
故 An=(n-2)+(n-4)+...+2
. .7 分
② 当 为奇数时,
若 ，则 可取2，3，...， n-1，共有 n-2 个等差数列；
若 ，则 可取 ， ，共有 个等差数列；
若 ，则 可取 ，共有 个等差数列；
......
若 ，则 可取 ，共有 1 个等差数列； 8 分
(按公差分类, 建议能写对一个就给这 1 分)
故
9 分
综上所述, 10 分
(3) 解: 数列 的各项和为 , 11 分
当 为偶数时,由 (2)可知,
若 ，共有 个等差数列，这些数列各项和为
若 ，共有 个等差数列，这些数列各项和为
若d=3，共有n-6个等差数列，这些数列各项和为
......
若 ，共有 2 个等差数列，这些数列各项和为
12 分
(列举, 建议能写对一个就给这 1 分)
故 . .13 分
同理可得,当 为奇数时, . .16 分
(第一个等号2分, 答案 1 分)
综上所述，
第(2)、(3)问解法3:(利用对称性，中间项取值决定构成等差数列的个数)
(2) (i) 当 为偶数，记取出的 个 数 为 ，
当 时,可取 ,所以等差数列的个数为 5 分
当 时,可取 ,所以等差数列个数为 个 6 分
所以 . .7 分
(ii) 当 为奇数，同理可得
当 时，等差数列的个数为j-1,
当 时,等差数列的个数为j-1,
当 时,等差数列的个数为 8 分
(分类, 建议能写对一个就给这 1 分)
9 分
综上所述, 10 分
(3) 由 得
(i) 当为偶数时
若 ，所有以 为中项的等差数列的所有项的和为 ，
若 ，所有以 为中项的等差数列的所有项的和为 ，
13 分
(ii) 当 为奇数时
16 分
所以 17 分
第(3)问解法4:(解法1是一行一行列举，纵向看规律，受解法2启发，每行求和构造数列, 倒序相加)
设 a, a, 是由 1,2,3,..., n中任取 3 个不同的数且从小到大构成等差数列,
记 ,将所有的 由小到大排列构成数列 将所有的 由大到小排列构成数列 ,且 , 11 分可知 , 13 分
(这个规律难发现)
. 14 分
显然
所以 . 15 分
即 . 16 分
因为
所以 17 分
第(2)、(3)问解法 4:
(2) (i) 当 时,
因为数列 与数列 产生的等差数列个数相等,
所以有 . .5 分
则 ①
艮 ②.6 分
(ii) 当 时,
因为数列 与数列 产生的等差数列个数相等,
但 也构成等差数列.
所以有 . .7 分
即
所以 ③
结合②③，有 ，
即 , 8 分
所以数列 是以首项为 ，公差为 2 的等差数列.
所以
所以
.
当 ,所以 . .59 分
所以由②有 .
综上所述, 10 分
(3) (i) 当n=2k时，设 是由 生成的等差数列，
则 是由 生成的等差数列.
又因为 和 是等差数列.
所以有
即
所以
记 ,所以 ,则
所以
即
所以 .
13 分
(ii) 当 时,假设 是由数列 构成的等差数列,
则 是由数列 构成的等差数列.
所以
即
. .16 分
综上所述 17 分

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