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2026 届高三模拟测试 (二) 数 学
满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡 “条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个 选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若集合 ，则
A. B. C. D.
2. 若 ，则
A. B. C. D.
3. 已知 ,若 ,则
A. B. C. -1 D. 3
4. 已知函数 ,若 ,则
A. 3 B. 2 C. 4 D.
5. 由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有
A. 48 个 B. 52 个 C. 60 个 D. 120 个
6. 若以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1 , 则椭圆长轴长的最小值为
A. B. C. 2 D.
7. 抽样得一组数据如下表,利用最小二乘法得到回归直线方程 ,据此模型预测当 时, 的估计值为
2 4 5 6 8
20 45 60 75 80
A. 100 B. 106 C. 110 D. 116
8. 设 为异面直线， 为平面，已知 ， ，动点 . 若 到直线 的距离相等,则 的轨迹为
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知直线 与平面 相交于点 ,则
A. 内不存在直线与 平行 B. 内有无数条直线与 垂直
C. 内所有直线与 是异面直线 D. 至少存在一个过 且与 垂直的平面
10. 已知随机事件 满足 ,则
A. B.
C. D.
11. 已知函数 的定义域为 ,且 , 若 的图象关于直线 对称,则
A.
B.
C. 是奇函数
D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 是奇函数，则实数 _____.
13. 已知角 的终边经过点 ，则 _____.
14. 已知抛物线 ,按如下方法依次构造点列 : 设点 , 过抛物线上点 作斜率为 4 的直线 与抛物线 交于另一点 为 关于 轴的对称点. 记 的坐标为 ,数列 的前 项和为 ,则 _____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知函数 .
(1)若 ，求 的极小值；
(2)讨论导函数 的单调性.
16. (15 分)
已知 分别为 三个内角 的对边,且 .
(1)求证: ；
(2)若 的面积为 ，求 .
17. (15 分)
如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， . 以 为直径的球面分别交 于 两点( 异于所在棱端点).
(1)证明: 平面 ；
(2)求异面直线 与 的夹角；
(3)求三棱锥 的体积.
18. (17 分)
已知双曲线 的离心率为 ，左右焦点分别为 ， ， ， 为双曲线左支上的两点,直线 交 轴于点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)设线段 的中点为 ，直线 交 轴于点 ，点 为 关于原点的对称点，以 为圆心作与 轴相切的圆,过 作该圆的两条切线,切点分别为 ,求 的取值范围.
19. (17 分)
袋中共装有 个小球,分别标有编号 . 现采用 “先试验后锁定” 的策略进行 次操作: 前 次 (试验期) 每次从袋中无放回地随机摸一个球,并记录摸到球的编号; 之后的 次 (锁定期) 操作,不再继续摸球,而是每次都记录试验期摸到球的最大编号. 记 为这 次操作中记录的全部编号之和, 为 的数学期望.
(1)当 ， ， 时，求在试验期至少摸到一个编号不小于 8 的球的概率；
(2)若 是定义在同一个随机试验样本空间上的任意 个离散型随机变量， 则 . 基于此,求解下列问题:
① 求试验期所摸小球编号之和的数学期望；
② 当 时,求 的最大值以及此时 的值.
2026 届高三模拟测试(二)参考答案 数 学
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正确 的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D C B D B C
1.【答案】D
要使 有意义,则 ,即 ,则 . 故选: D.
2.【答案】B
因为 ,所以 . 故选: B.
3.【答案】D
因为 ,所以 ,即 . 故选: D.
4.【答案】C
由题意知 ,
所以 ,即得 ,解得 . 故选: C.
5.【答案】B
由题意可知,分为两种情况:
情况一:个位是 0，则有不同的结果 个；
情况二:个位不是 0，则有不同结果 个；
所以共有 个；故选:B.
6.【答案】D
由椭圆的特征可知,椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 , 即 .
7.【答案】B
由题意可知: 因为回归直线方程经过样本中心 ,所以 ,即 , 回归直线方程为: ,当 时, 的估计值为 106 . 故选: B
8.【答案】C
设直线 在平面 的射影为直线 ,则 与 相交,且 与 垂直, 设直线 与平面 的距离为 ,在平面 内,以 为 轴, 轴建立平面坐标系，设 ，则 到直线 的距离为 ， 到直线 的距离为 ， 所以 到直线 的距离为 ,所以 ,即 , 所以 的轨迹为双曲线. 故选: C.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 ABD AC ABD
9.【答案】ABD
已知直线 与平面 相交于点 ,若 内存在直线 与 平行,则直线 与 确定一个平面 , 由 且 ,则 与 重合,有 ,与 矛盾,故选项 正确. 设直线 在平面 内的射影为 ,根据三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 所以平面 内与射影 垂直的直线 ，与直线 直. 又因为在平面 内与直线 平行的直线都与直线 垂直，而在平面内与一条直线平行的直线有无数条, 所以平面 内有无数条直线与 垂直，故选项 正确.
在平面 内过点 的直线 ，因为直线 与直线 都过点 ，根据相交直线的定义:两条直线有且只有一个公共点,则这两条直线相交,所以直线 与直线 相交,并非异面直线,故选项 错误.
如图,取直线 上除斜足 外一点 ,过该点作平面 的垂线 .
因为 ,且 平面 平面 ,根据平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,所以平面 垂直于平面 ,即至少存在一个过 且与 垂直的平面, 故选项 D 正确. 故选: ABD.
10.【答案】AC
由题设 ,且 ,
所以 A、C 对， B、D 错. 故选:AC
11.【答案】ABD
【解】因为 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,
所以 关于 中心对称,且 ,
所以 ,故 A 选项正确;
因为 的图象关于直线 对称,
所以 ,所以 ,
用 替换 可得 ,
所以 ,所以 的周期为 ,
所以 ,故 D 选项正确;
因为 的图象关于直线 对称,
所以 ,所以 ,所以 是偶函数;
因为 ,所以 ,所以
所以 ,所以 错误;
由 ,所以 ,所以 ,
所以 ,所以选项 正确.
故答案为: ABD.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
题号 12 13 14
答案 1 2
12.【答案】1
因为函数 是奇函数,所以 , 即 ,由于分母 ,化简得 ,解得 ,经检验符合题意.
13.【答案】2
因为 的终边经过点 ,所以 ,
所以 ,解得 或 ,
又 ，所以 ，所以 ，所以
14. 答案:
设 ,则
因为 ,所以 ,即 ,化简得: ,
所以数列 是首项为 -4,公差为 -4 的等差数列,所以
所以 ,所以
所以
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
解: (1) 当 时, 的定义域为 , 1 分
则 , 2 分
当 时, 在 上单调递减; 3 分
当 时, 在 上单调递增; 4 分
所以当 时, 取得极小值 . 6 分
(2) 的定义域为 ,
7 分
令 ,则 , 8 分
当 时, 恒成立,所以 即 在 上单调递增. 10 分
当 时,由 ,得 ,所以 即 在 上单调递增 12 分
由 ,得 ,所以 即 在 上单调递减. 13 分
16. (15 分)
解: (1) 由正弦定理 ,得 1 分
即 2 分
由 知
所以 3 分
因为 为三角形的内角
所以 或 (舍去) 5 分
即 6 分
( 2 )由 ，得 7 分
由 (1) 知 及 为锐角
所以 8 分
可得 10 分
又 12 分
由正弦定理 得 13 分
所以
解得 14 分
所以 15 分
17. (15 分)
方法 1:
(1)因为 底面 ， ， 平面 ，所以
又 ,以 为原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系, 如图所示
则 1 分
设 ,因为 共线,所以
即 ,解得 2 分
因为 在以 为直径的球面上,
所以 ,得 ,解得 ,
所以 3 分
设平面 的一个法向量为
则 ,得
所以 4 分
因为 ，所以
所以 平面 5 分
(2)设 ，因为 共线，所以
即 ,解得 6 分
因为 ,所以 ,解得 7 分
所以 8 分
记异面直线 的夹角为 ,则 9 分
所以异面直线 的夹角为 10 分
(3)
因为 ,所以 11 分
又因为 平面
所以 平面 12 分
在 中,
所以 ,得
13 分
在 中，因为 ，所以 14 分
所以三棱锥 的体积为 15 分
方法 2:
(1)证明:因为 底面 ， 平面 ，所以 1 分
因为 平面
所以 平面 . 2 分
因为 平面 ,所以 3 分
因为点 在以 为直径的球面上,所以 4 分
因为 平面
所以 平面 5 分
(2)因为 平面 ,所以
因为 ,所以 为 中点
因为点 在以 为直径的球面上,所以
在 中,易得 6 分
在 中,
所以 7 分
取 的中点 ,取 的中点 ,取 的中点 ,连接
在 中, 分别为 中点,所以 且 在 中,同理可得 且
所以 且
因为 且 ,
所以四边形 为平行四边形,即 8 分
过 作 于
在 中,
所以 9 分
在 中, ,所以 ,所以
所以异面直线 的夹角为 10 分
(3)在 中， ，所以 11 分
因为 平面
所以 平面 12 分
在 中,
所以 ，得
13 分
因为 ,所以 14 分
所以三棱锥 的体积为 15 分
18.(17分)
解: (1) 由题意可得: ,且 1 分
所以 2 分
在双曲线中, ,故 3 分
因此双曲线 的方程为: 4 分
(2)设点 ，且 ， ，可得 5 分点 在双曲线上,可得 6 分
所以 7 分
所以直线 的方程为: . 或 9 分
(3)由题意可知直线 斜率不为 0，设直线 方程为 ， ，
所以 ,又点 关于坐标原点对称,所以 ,圆 的半径为 10 分
联立 ,可得 11 分
得 12 分
要使得直线 与双曲线左支交于两点,应满足: 13 分
因为
所以 14 分
因为
所以 15 分
令
得
因为
所以 16 分
因为 为锐角,所以
而 ,所以 17 分
19.(17分)
解:(1)设事件 “实验期至少摸到一个编号不小于 8 的球” 1 分
则 3 分
(2)①方法 1:
设实验期第 次摸到的球的编号为 ,记这 个编号的和为
则 4 分
先求第 次摸到的球的编号为 的数学期望
的所有可能的取值为: 5 分根据无放回随机抽样的特点, 6 分
所以 7 分
所以 9 分
方法 2: 从 中选 个数共有 种组合, 4 分
考虑 所有 元子集,它们的和的平均值即为实验期所摸小球编号之和的数学期望
对每个数 ,它在所有 元子集中出现的次数为 5 分
所有 元子集的总和为 8 分
所以所求期望为: 9 分
② 记前 次(实验期)记录的编号之和为 ，编号最大的数即为 ，则
所有可能的取值为: 10 分
则 11 分
所以 12 分
因为
所以
所以 15 分
当 时，
,当且仅当 ,即 时取等号
所以 的最大值为 ,此时 17 分

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