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2026年4月高中毕业班教学质量调研 数学试卷
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知 ,则
A. B. C. D.
3. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ，且点 在 上. 若 上一点 到 的距离为 6,则点 到 的距离为
A. 10 B. 14 C. 20 D. 26
4. 如图，正方体 中， 为线段 中点，则异面直线 与 所成角的大小为
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为. 为了保障交通安全,根据国家有关规定:100mL 血液中酒精含量达到 20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果在停止喝酒以后， 他血液中酒精含量会以每小时 20% 的速度减少，那么他至少经过( )个小时才能驾驶. (参考数据: )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6. 下列命题为真命题的是
A. 命题 ,则命题 的否定是:
B. “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件
C. 方程 的两根都大于 1 的充要条件是
D. 是关于 不等式 对一切实数 恒成立的充要条件
7. 设函数 . 若 的图象经过点 ，且 在 上恰有 2 个零点,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 设曲线 的方程: ，过点 的直线 的倾斜角为 . 若直线 与曲线 恰有 3 个不同的交点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知实数 满足 ,则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
10. 已知函数 是定义域为 的奇函数,当 时, ,则下列说法正确的是
A. 当 时, .
B. 的极大值点是3 .
C. 的值域为 .
D. 当 时,函数 有 1 个零点.
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为 中点， 为侧面正方形 内一动点,且满足 平面 ,则
A. 三棱锥 的外接球的表面积为 .
B. 三棱锥 的体积是 .
C. 动点 的轨迹是一条线段.
D. 若过 三点作正方体截面 为 上一点， 则线段 长度取值范围为 .
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知圆 的圆心在 轴上,并且过 和 两点,则圆 的方程为_____.
13. 已知圆锥的母线长为 6，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧面积为_____.
14. 在量子计算与人工智能融合的前沿研究中,科研人员需通过调控函数优化量子比特的能量弛豫特性,定义 “量子能量调控函数” : 对于量子比特的相对能量值 (单位: 相对能量单位,以基态能量为零点),存在实数 ,使得函数 对应量子比特的能量损耗规律. 已知该函数满足 “双极值对称” 性质，即能量损耗的两个极值点 (对应量子比特的两个稳定工作状态) 关于直线 对称,且两个极值的和 (对应两种稳定状态下的总能量损耗 ) 为整数 4 , 则 的值为_____，(3 分) 的值为_____. (2 分)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题 13 分) 在 中,内角 的对边分别为 ,若 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， 为 边上的高，求 .
16. (本题 15 分)为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入 AI 智能图书盘点机器人. 现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有 6 本图书，分为两类:4 本标签完好， 是机器人应正确识别的有效馆藏图书; 2 本标签破损, 是机器人应正确排除的无效图书. 两类样本共同用于机器人识别性能测试, 现从这 6 本图书中不放回地随机抽取 2 本, 逐本开展测试.
(1)已知第一次抽取到有效馆藏图书,求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率;
(2)记抽取的 2 本图书中，有效馆藏图书的数量为 X，求 X 的分布列及数学期望 E(X).
17. (本题 15 分) 已知函数 在 处取得极值,且 的图像在点 处的切线为 . 若数列 满足 ,且对任意 ,点 均在切线 上.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和为 .
18. (本题 17 分) 已知抛物线 ，其焦点为 ，若 、 为抛物线 上两个动点， 且 到 的距离最小值为 1,以 为切点分别作抛物线 的互相垂直的两条切线.
(1)求焦点 到准线的距离；
(2)若平面上动点 满足 ，(O为原点)，且 ，求点 的轨迹方程；
(3)若抛物线 上存在点 ，满足 ，且设 的中垂线与 轴交于点 ，求 的面积的取值范围.
19. (本题 17 分) 已知三棱柱 中, , 且 分别为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求 的取值范围；
(3)已知 ,若点 是四边形 所在平面上的一个动点, 且 . 求 取最小值时三棱锥 的体积.
2026 年 4 月高中毕业班教学质量调研参考答案 (数 学)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B D C B B D
说明: 选对的得 5 分; 错选、不选均的给得 0 分。
二选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分。有两个正确选项的仅选其中一个给 3 分; 有三个正确选项的 仅选其中一个给 2 分, 仅选其中两个给 4 分。
题号 9 10 11
答案 AD BD ACD
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知圆 的圆心在 轴上,并且过 和 两点,则圆 的方程为_____.
【答案】 (或 )
设圆 的圆心坐标为 ,半径为 ,则圆 的标准方程为 , 有 ,解得 . 故所求为: .
见 “ ”、 “ ” 之一，给 5 分
13. 已知圆锥的母线长为 6，其侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧面积为_____.
【答案】 设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则 ，解得 ，所以该圆锥的侧面积为 .见 “12π” 给 5 分
14. 在量子计算与人工智能融合的前沿研究中,科研人员需通过调控函数优化量子比特的能量弛豫特性，定义 “量子能量调控函数”:对于量子比特的相对能量值 (单位:相对能量单位，以基态能量为零点),存在实数 ,使得函数 对应量子比特的能量损耗规律.已知该函数满足“双极值对称”性质，即能量损耗的两个极值点(对应量子比特的两个稳定工作状态)关于直线 对称,且两个极值的和(对应两种稳定状态下的总能量损耗)为整数 4 ,则 的值为_____，(3 分)，b(3)分(3) (2 分)
【答案】 (或 (或 )求导得 ,令 , 消去分母整理得二次方程: . 设两个极值点为 . 由极值点关于 对称,得二次方程对称轴为 ,则 ,解得 . 将 代入方程
,得 . 得
而 . 代入题干极值和为 4,得 . 由对数性质 .
令 ,解得 代入原方程验证成立.
见 “ (或 )” 给 3 分; 见 “ (或 )” 给 2 分
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题 13 分) 在 中,内角 的对边分别为 ,若 .
(1)求 ；(2)若 的面积为 ， 为 ，边上的高，求 .
解:(1)解法一:由 得 2 分
见 “ ” 给 2 分
因为 则 . .2 分(4 分)
至少见 “ ”、“正弦定理”、“ ” 之一给 2 分所以 即 .2 分(6 分)
见 “ ” 给 2 分
解法二:根据 得 2 分
见 “ ” 给 2 分
过点 作 于 ,因为 ,则 .2 分(4 分)
见 “ ” 给 2 分
而 ,故 .2 分(6 分)
见 “ ” 给 2 分
(2)由(1)得 ，解得 2 分(8 分)
见 “ ” 给 2 分;
若不见 “ ” 但写原始面积公式 “ 或 或 ” 给 1 分则 ,解得 3 分(11 分)
见 “ ” 给 3 分; 若不见 “ ” 但写原始余弦定理 “ ” 给 2 分则 ,代入 ,解得 . 2 分(13 分)
见 “ ” 给 2 分.
16. (本题 15 分) 为提升图书盘点效率,某中学图书馆引入 AI 智能图书盘点机器人. 现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有 6 本图书，分为两类:4 本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书;2 本标签破损,是机器人应正确排除的无效图书. 两类样本共同用于机器人识别性能测试,现从这 6 本图书中不放回地随机抽取 2 本,逐本开展测试.
(1)已知第一次抽取到有效馆藏图书,求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率;
(2)记抽取的 2 本图书中，有效馆藏图书的数量为 X，求 X 的分布列及数学期望 E(X).
解:(1)设事件 A 为 “第一次抽取到有效馆藏图书”，事件 B 为 “第二次抽取到有效馆藏图书”.
由不放回抽取规则,得 .4 分(4 分)
至少见 “ ”、“第一次抽取到有效馆藏图书的概率为 ” 之一给 2 分;
至少见 “ ”、“第一次抽取到有效馆藏图书且第二次也抽取到有效馆藏图书的概率为 ” 之一给 2 分
.2 分(6 分)
见 “ ” 给 2 分; 若结果错,但写出公式 “ ” 给 1 分 (2)依题意，X 的可能取值为 0,1,2,. .1 分
见 “ 的可能取值为 0,1,2 ” 全对才给 1 分
.6 分(13 分)
见 “ ”、“ ”、“ ” 各给 2 分因此 的分布列为
X 0 1 2
P 1 5 2 5
若只写列表且见 “ ”、“ ”、“ ”,不见体现超几何分布概率公式 或 ,扣 1 分,即给 5 分.
,故 的数学期望为 . .2 分(15 分)
见 “ 的数学期望为 ” 给 2 分；若结果不正确但体现数学期望公式过程，给 1 分.
17. (本题 15 分)已知函数 在 处导数值为 0,且 的图像在点 处的切线为 . 若数列 满足 ，且对任意 ，点 均在切线 上.
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和为 .
解: (1) ,由已知条件可得 即 .3 分
见 “ ” 给 2 分; “ 或 或 ” 给 1 分.
解得 . .2 分(5 分)
见 “ ” “ ” 各给 1 分
故 ,切线 的斜率为 ,故切线 的方程为 1 分(6 分)
见 “切线 的方程为 ” 给 1 分
因点 在直线上,则 1 分(7 分)
见 “ ” 给 1 分
故 ,即 是以 为首项,公比为 3 的等比数列
所以 即 . .2 分(9 分)
见 “ ” 给 2 分
(2) 1 分(10 分)
则 . 记 1 分(11 分)
见 “ ” 或 “ ” 给 1 分
.①1 分
见等式 “ ” 给 1 分
.②1 分(13 分)
见等式 “ ” 给 1 分
①-②得 1 分(14 分)
见至少 “①-②”、“②-①”、“两式相减” 之一,体现错位相减法,给 1 分
故 1 分(15 分)
见 “ ” 或其它等价表达式,给 1 分
18. (本题 17 分) 已知抛物线 ，其焦点为 ，若 、 为抛物线 上两个动点，且 到 的距离最小值为 1,以 为切点分别作抛物线 的互相垂直的两条切线.
(1)求焦点 到准线的距离；
(2)若平面上动点 满足 ，(0为原点)，且 ，求点 的轨迹方程；
(3)若抛物线 上存在点 ，满足 ， ，且 的中垂线与 轴交于点 ，求 的面积的取值范围.
解:(1)由于动点 到准线的距离为 ，则 . 所以焦点到准线的距离为 .2 分(2 分)
至少见 “ ”、“焦点 到准线的距离为 2”、“所求距离为 2” 之一,给 2 分 (2)由(1)知抛物线 方程为 .1 分(3 分)
注意到直线 经过点 ,且联立 ,得 .
则 ,这表明直线 恰为抛物线 在点 处的切线. 1 分
见 “直线 为抛物线 在点 处的切线” 给 1 分设 ,同理可得抛物线在点 处的切线为 1 分(5 分)
见 “直线 为抛物线 在点 处的切线” 给 1 分因为两条切线互相垂直,则 即 1 分(6 分)
设直线 方程为 ,联立 ,可得 .
则 ,所以
则 .
设 ,由 ,则 .2 分(8 分)
见等式 “ 或 ”, “ 或 ” 各给 1 分消去 可得 . 由 ,所以 .
所以点 的轨迹方程为 3 分(11 分)
见 “ ” 给 2 分; 见 “ ” 给 1 分.
解法二: 由 (1) 知抛物线 方程为 1 分(3 分)
注意到直线 经过点 ,且联立 ,可得 .
则 ,这表明直线 恰为抛物线在点 处的切线. 1 分
设 ,同理可得抛物线在点 处的切线为 1 分(5 分)
因为两条切线互相垂直,则 即 .1 分(6 分)
设点 ,由于 ,得 .1 分
则 .1 分(8 分)
见 “ ” 给 1 分.
因为 ,所以 . 由于 ,所以 .
所以点 的轨迹方程为 .3 分(11 分)
见 “ ” 给 2 分; 见 “ ” 给 1 分.
(3)设点 ，由 可得 ， .2 分(13 分)
见 “ ” “ ” 备给 1 分.
由于 ,则 .
即 .
由 代入上式可得 .
因为 ,上式两边同除以 ,得 .
令 则 ,即 .
故 (舍负),所以 .
由于 ,则有 1 分(14 分)
见正确结论 “ ” 给 1 分. 又 中垂线方程为 ,令 ,则有 .
由(2)知 ,则有 1 分(15 分)
见正确结论 “ ” 给 1 分.
因为直线 过 所以 .
令 ,则有 . 所以 .
注意到 ,则有 ,所以 .2 分(17 分)
见正确结论 “ ” 给 2 分;
见 “ 或 ” 给 0 分
19. (本题 17 分)已知三棱柱 中， ， ，且 、 分别为 的中点.
(1)求证: 平面 ；(2)求 的取值范围；
(3)已知 ，若点 是四边形 CB 所在平面上的一个动点， 且 . 求 取最小值时三棱锥 的体积.
解:(1)法一:连接 ，依题意知四边形 是平行四边形.
则 与 交于 中点 . 而 为 中点，则 . .2 分
见 “DE // BC” 给 2 分.
又 平面 且 平面 ,则 平面 . 1 分(3 分)
见 “ 平面 ” 且见 “ 平面 ” 才给 1 分.
法二: 取 中点 ,连接 . 则 分别是 和 中位线
则 . 从而 平面 平面 .
因为 ，所以平面 平面 . .2 分
见 “平面 平面 ” 给 2 分.
又 平面 ,则 平面 . 1 分(3 分)
见 “ 平面 ” 且见 “ 平面 ” 才给 1 分.
(2)设 ，由 ，可得 .
因为 ,故
1 分
见 ” 给 1 分.
.
1 分
见 “ ” 给 1 分.
则有 1 分(6 分)
令 ,由 . 可设
则有 .
则 .2 分(8 分)
见正确结论 “ ” 给 2 分.
(3)在面 内以 中点为原点， 为 轴， 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系...1 分
见 “在面 内建立平面直角坐标系”，体现平面内建系思想，给 1 分.
则 ,设 ,由 可得 .
即 . 其点 轨迹是圆心为 ,半径为 的圆 1 分(10 分)
见 “点 轨迹是圆” (圆心和半径不一定正确) 给 1 分.
所以 1 分(11 分)
又 1 分(12 分)
所以 ,且 .
在 中, .
又 ,由(2)知 ,则有 ,所以 .
则 .
当 时,即 时 取得最小, 也取得最小. 1 分(13 分)
至少见 “ 时 取得最小”、“ 时 取得最小” 之一,给 1 分. 由于 ，所以 .
取 中点 ,连接 与 ,由于 ,则 .
取 中点 ,连接 与 ,则 ,所以 平面 .
过点 作 于 ,因 平面 ,得 . 故 平面 .1 分(14 分)
见 “ 平面 .” 给 1 分.
注意到 ,则 .
在 中, ,则 .
所以 . 所以 1 分(15 分)
见 “ ” “ ” 之一,给 1 分.
所以 .2 分(17 分)
见正确结论 “ ” 给 2 分.

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