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2026 届高三第二次模拟检测 数 学
班级_____ 姓名_____
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,若 ,则实数 的值为
A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. -1
2. 已知复数 在复平面内对应的点的坐标是 ,则
A. 1 B. 2 C. D. 3
3. 已知直线 ，则 “ ” 是 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数 图象的相邻两个对称中心的距离为 ,且函数 在 上单调递增,则 的最大值为
A. B. C. D.
5. 已知一组数据: ，若该组数据的第 80 百分位数为 5，平均数不小于 5，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
6. 已知 ,则 被 10 除的余数为
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
7. 已知函数 ,若对任意 ,且 ,不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,其右支上有一点 ,满足 的垂直平分线与右支交于点 ，且直线 过右焦点 ，则双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 为奇函数，则下列结论正确的是
A. B. 在 上单调递减
C. 的值域为 D. 的解集为
10. 在 中,角 的对边分别为 ,若 为 的中点,则下列结论正确的是
A.
B. 当 时, 仅有一解
C. 当 时, 为等边三角形
D. 当 时， 的最大值为
11. 已知在 中, ,若 ，且直线 过 中点 ，则下列结论正确的是
A. B.
C. D. 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 曲线 在点 处的切线方程为_____.
13. 某人计划阅读 六本不同的书,并且要求 在 之前读完, 与 不相邻, 则不同的读书顺序有_____种。
14. 用一个平面去截圆锥,则截面交线为圆锥曲线. 2000 多年前,古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果. 当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，可以得到抛物线. 已知圆锥 的轴截面为正三角形 ,其底面圆上存在两点 满足 ,点 分别在 上,且 ,则过点 的平面截圆锥 得到的抛物线的焦点和准线之间的距离为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)2026 年马年春晚是 AI 大模型与节目结合最多的一场春晚，其中大模型 “豆包”贯穿整场晚会. 为了了解人们对大模型“豆包”应用的关注程度，现随机抽取不同年龄段的 1000 人进行调查统计，得到如下 列联表:
年龄 “豆包”应用 合计
不关注 关注
不超过 50 岁 400 600
超过 50 岁 300
合计 1000
(1)完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，判断人们对大模型“豆包”应用的关注程度是否与年龄有关联;
(2)从不超过 50 岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取 6 人，从这 6 人中随机抽取 2 人做进一步的访谈，记抽到的 2 人中关注“豆包”应用的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
附: ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. (本小题满分 15 分) 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形,其中 为 的中点, 为 上一点.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若 ，且 .
(i) 当 平面 时,求 的值;
(ii) 当 时,求平面 与平面 夹角的大小.
17. (本小题满分 15 分) 已知数列 满足 ,且 .
(1)证明:数列 为等比数列；
(2)令 ，若保持 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个 ,使它们和原数列的项构成一个新的数列 ,记 的前 项积为 ,求 (化为最简形式).
18. (本小题满分 17 分)已知椭圆 的下、上焦点分别为 ，点 ， ,四边形 的面积为 4,椭圆 的长轴长是短轴长的 倍,椭圆 上有一动点 ,连接 并延长与椭圆 交于点 ,连接 并延长与椭圆 交于点 (与 不重合), 记 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 面积的最大值；
(3)试判断 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.
19. (本小题满分 17 分)已知函数 .
(1)当 时,求函数 的极值;
(2)已知对于任意 ， 恒成立.
(i) 求实数 的取值范围;
(ii) 证明: .
2026 届高三第二次模拟检测 数学参考答案及解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C C B A D A C ACD BCD ACD
1. A 因为集合 ,所以若 ,则 或 ,解得 或 , 当 时, ,不满足集合元素的互异性,排除; 当 时, ,满足 ,所以 . 故选 A.
2. C 由题意可得 ,则 ,故 ,故选 C.
3. C 当 时, 与 平行,充分性成立; 由 与 平行,可得 ,解得 ,当 时, 与 重合,故 ,所以必要性成立. 故选 C.
4. B 由题意可知 ,解得 ,则当 时, ,又因为 ,所以 ,又因为函数 在 上单调递增,则 且 , 得 ,故选 B.
5. A 因为该组数据一共 7 个数，该组数据的第 80 百分位数为 5,7 0.8 = 5.6，所以该组数据按照从小到大的顺序排列后第 6 个数为 5,则 ; 因为该组数据的平均数不小于 5,所以 ,解得 ,所以 ,故选 A.
6. D ,故 被 10 除的余数是 9,故选 D.
7. A 因为 ,所以 3. 显然函数 在 上单调递增,由 ,得 ,所以 ,即 ,又因为对任意的 ,且 ,不等式 恒成立,所以 ,即 ,解得 . 故选 A.
8. 设 ,不妨设 ,设 ,则 ,得 ,解得 的垂直平分线与右支交于点 且直线 过点 ，等价于直线 与双曲线右支交于另一点 ,则 ,即 ,得 ,代入 ,解得 ,又 ,所以 ，故选 C.
9. ACD 对于 ,由题意可知 ，解得 ，故 正确；对于 ， ， 在 上单调递增，故 不正确；对于 ,故 正确；对于 D, 等价于 ,故 ,得 ,故 D 正确. 故选 ACD.
10. BCD 对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,故 A 不正确; 对于 B,由正弦定理得 ,故三角形有解,又因为 ,故三角形仅有一解,故 B 正确; 对于 ,得 ,故 为等边三角形,故 正确; 对于 ,因为 ,根据余弦定理可得 ,所以 ,又 ,即 ,则 ,即 ,当且仅当 时取等号,故 D 正确. 故选 BCD.
11. ACD 对于 ,以 边所在直线为 轴, 边中点 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,
则 ,设 ,由 ,知 ,得 ,则 ,故 A 正确; 对于 为 中点,则
不一定成立,故 不正确; 对于 ①，由平面向量共线定理的推论得 ②，所以 ,则 ,当且仅当 即 时取等号,故 正确; 对于 ,令 ,由数形结合可得 ,则 ,设 ,则 设 ,则 , ,故 D 正确,故选 ACD.
12.【答案】
由 ，可得 ，所以 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 . 故答案为 .
13.【答案】 240
排列并且 在 之前共有 种排法,从 形成的 5 个空位中选两个排 ,共有 种排法,故共有 种排法. 故答案为 240.
14.【答案】
如图 1,设截面平行于母线 ,连接 并延长与圆 交于点 与抛物线交于点 ,则 为抛物线的顶点,设截面与 交于点 ,过点 分别作平行于圆锥底面的截面得到圆 、 ,取轴截面得到图 2,连接 ,交于点 ,圆 与抛物线交于点 ,圆 与 交于点 . 由 得 ,由题意可知 ,进而可得 ,得 ,以 为原点, 的方向为 轴正方向建立直角坐标系,得 ,令 ,代入点 坐标，得 ，故抛物线的焦点和准线之间的距离为 . 故答案为 .
图1
图2
15.【解】(1)补全的 列联表如下:
年龄 “豆包”应用 合计
不关注 关注
不超过 50 岁 200 400 600
超过 50 岁 300 100 400
合计 500 500 1000
(2 分)
零假设为 : 人们对“豆包”应用的关注程度与年龄无关. (3 分)
根据表中数据,计算得到 . (4 分)
根据小概率值 的独立性检验,没有充分证据推断 成立, (5 分)
即认为人们对“豆包”应用的关注程度与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过 0.001 . (6 分)
(2)根据题意知，抽取的 6 人中，不关注“豆包”应用的有 2 人，关注“豆包”应用的有 4 人， 则 的可能取值为 0,1,2, (7 分)
的分布列为
0 1 2
(11 分)
的数学期望为 . (13 分)
16.【解】(1)因为 ， 为 的中点，所以 ， (1 分)
因为 平面 ,又 平面 ,所以 ,又 ,
平面 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以 , (2 分)
又 平面 ,所以 平面 , (3 分)
又 平面 ,所以平面 平面 . (4 分)
(2)(i)连接 与 交于点 ，连接 ，则平面 平面 ，
又已知 平面 平面 ,所以 ,所以 . (6 分)
因为 ,所以 ,又 ,所以 ,
又 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 . (8 分)
(ii)由已知,以 为原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,如图,
所以 ,
当 时, ,即 为 中点, ,则 (10 分) 设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得到 , (12 分)
由 (1) 知 平面 ,所以取平面 的法向量 , (13 分)
设平面 与平面 夹角为 ,故 . 故平面 与平面 的夹角为 . (15 分)
17.【解】( 1 )由 ，且 可知 ，
两边取底数为 2 的对数得 ，即 ，
又 ,故数列 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. (4 分)
(2)由(1)可知 ，得 ，故 .
数列 的项依次为 , (6 分)
令 ,解得 的最大值为 , (8 分)
故 ,
(10 分)
令 ,
作差得 , 得 , (14 分)
所以 . (15 分)
18.【解】(1)由题意可知 ,得 ,
又因为 ,故 ,得 , (2 分)
所以椭圆 的方程为 . (3 分)
(2)设 ， ，
设直线 方程为 ,
联立直线 与椭圆方程得
得 ,
由韦达定理可知 (5 分)
(6 分)
令 ,得 ,
可知 时, 取最大值 . (8 分)
(3)设 ，
由(2)知直线 方程为 ，其中 ，
设直线 方程为 ，其中 ， (9 分)
由 (2) 可知 ,即 , (11 分)
同理可得 , (12 分)
,即 ,
同理 , (14 分)
则 ,故 是定值 . (17 分
19.【解】(1)当 时, ,则 ,
易知函数 在 上单调递增,由 ,解得 , (2 分)
所以当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,所以函数 在 处取得极小值,为 ,无极大值. (4 分)
(2)(i) ，令 ，则 ，
若 ,则当 时, 单调递减, ,故 单调递减,故 恒成立，符合题意； (6 分)
若 ,则当 时, 单调递增, ,故 单调递增,故存在 ,不符合题意;
当 时, ,不符合题意. (8 分)
综上, . (9 分)
(ii)由(i)可知当 ,且 时满足 ,
令 ,则 ,故 ,得 ,
...
(12 分)
相加可得 ,
,
, (15 分)
,
即 . (17 分)

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