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张家口市 2026 届高三年级第二次模拟考试 数学试卷
班级_____ 姓名_____
注意事项:
1. 答卷前. 考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动. 用橡皮擦干净后. 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 设集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知复数 ,则
A. 1 B. C. D. 2
3. 在等差数列 中,若 ,则
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 圆柱与圆锥的底面半径均为 1,母线长均为 2,则圆柱与圆锥的体积之比为
A. B. C. D.
5. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象, 则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量 ,且 ,若 , ,则
A. B. C. D.
7. 已知抛物线 与双曲线 的渐近线的交点分别为 ,其中 为坐标原点,若 的面积为 为 与 在第一象限内的一个公共点,则
A. B. C. D.
8. 已知正三棱柱 的底面边长为 4,高为 分别为 的中点,球面 经过 四点,则球面 与该正三棱柱的上底面交线的长度为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知一组数据 的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为 . 设 ,记新数据 的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为 ,则
A. B.
C. D.
10. 已知圆 为直线 上一动点, 为圆 的切线,切点分别为 ,则
A. 圆心 的轨迹方程为
B. 圆 过定点
C. 当 时, 的最小值为 15
D. 当 时,四边形 面积的最小值为
11. 已知函数 则
A.
B. 函数 的值域为
C. 方程 有且仅有 3 个根 ,且
D. 方程 的根的个数可能是0,5,6,7,8,9,10
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知函数 是定义域为 的奇函数,当 时, ,则 _____.
13. 已知曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线,则 _____.
14. 某新能源汽车公司的电池由甲、乙两个厂家独立供货，汽车装配电池前，公司要对两个厂家所供电池进行严格检测. 从甲厂家供货的 100 件电池中检测出不达标的有 2 件, 从乙厂家供货的 200 件电池中检测出不达标的有 3 件. 现从两个厂家等可能随机挑选一家,从所供货的电池中随机选择一件，检测结果不达标，则该件电池来自乙厂家的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知等差数列 的公差和等比数列 的公比均为 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
16. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 的长轴长为 4，且与直线 相切， ， 为 上不在坐标轴上的不同两点.
(1)求 的方程；
(2)若以 为直径的圆经过点 ，证明:直线 过定点.
17. (本小题满分 15 分)
在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边， ， 分别为边 ， 上的动点，记 为 与 的夹角.
(1)证明: ；
(2)证明: .
18. (本小题满分 17 分)
如图，在正四棱锥 中， ， 分别为棱 ， 的中点，点 满足 ， .
(1)证明: .
(2)已知 四点共面.
(i) 求 的值;
(ii) 若 与底面所成角的正切值为 2，求平面 与平面 夹角的余弦值.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围.
(2)已知 .
(i)设数列 的前 项和为 ,证明: ;
(ii) 若 ,且 ,证明: .
张家口市 2026 届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案
题母 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A C D B D B C AC BCD BCD
1.C 由题可知, ,故选 C.
2. A 因为 ,所以 ,则 ,故选 A.
3. C 由 ,得 ,又 ,所以 ,故选 C.
4. D 易得圆锥的高为 ,则圆锥的体积为 ,圆柱的体积为 ,所以圆柱与圆锥的体积之比为 ,故选 D.
5. 由题可知 ,又 ,所以 ,故选 B.
6. D 依题意, ,所以 ,故选 D.
7. 的渐近线为 ,联立 可得 不妨设 ,又 的面积为 16,则 ,解得 ,联立 整理得 ,解得 或 (舍去),所以 ,所以 ,故选 B.
8. C 如图,连接 ,易得 平面 平面 ,所以 ,即 和 均为直角三角形,所以 即为球 的直径,其长为 ,所以 . 过点 作 于点 ,则 . 球 与上底面的交线即为以 为圆心,半径为 的圆弧,又底面 的边长为 4,则交线为以 为圆心, 圆心角为 ,半径为 2 的圆弧,长度为 ,故选 C.
9. AC 因为 ,则 ,所以 A 选项正确, B 选项不正确, 选项正确, 选项不正确. 故选 AC.
10. BCD 圆 的方程可化为 . 对于 A 选项,圆心 的坐标为 ,则圆心 的轨迹方程为 (除去点 ),所以 选项不正确; 对于 选项, 圆 的方程可化为 ,令 解得 所以圆 过定点 ,所以 选项正确; 对于 选项, ,当 时, ,圆心 ,半径 ,圆心 到直线 的距离 ,所以 ,所以 选项正确; 对于 选项, ,所以 D 选项正确. 故选 BCD.
11. 当 时, ,所以 ; 当 时, ,所以 ,则函数 的图象如下:
对于 选项, ,所以 选项不正确; 对于 选项,函数 的值域为 ,所以 选项正确; 对于 选项,当 时,不妨设 ,则 ,所以 ,所以 选项正确; 对于 D 选项,令 ,则 . 当 时,易知原方程无解; 当 时,易得 ,由图可知原方程有 5 个不等的根; 当 时,方程 有两个不同的正实根 ,且 ,不妨设 ,由图可知,当 时,原方程有 10 个不等的根, 当 时,原方程有 9 个不等的根,当 时,原方程有 8 个不等的根,当 时,原方程有 7 个不等的根; 当 时,方程 有且仅有 1 个正实根,且 ,由图可知,此时原方程有 6 个不等的根, 所以 D 选项正确. 故选 BCD.
12. .
13.1 易知曲线 在点 处的切线为 . 设直线 与曲线 相切的切点为 ,则有 ,解得 ,于是 ,解得 .
14. 记事件 “任取一件电池检测不达标”, “电池是从甲厂取出的”, “电池是从乙厂取出的”. 依题意可知, ,由全概率公式,得 ,则
15. 解: (1) 依题意可知, ,解得 , 3 分所以 . 5 分
(2)由(1)可知， ,则
7 分
9 分
两式作差得
12 分
所以 . 13 分
16. 解: (1) 由题易知 , 1 分
联立 得 , 3 分
令 ,得 , 4 分
所以 的方程为 . 5 分
(2)证明:当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ， ， ， 6 分
联立 得 ,
则 _____ 8 分
9 分
因为以 为直径的圆经过点 ,则 ,
即 , 10 分
则 ,即 或 . 11 分
当 时,直线 的方程为 ,此时直线 过定点 ,舍去;
当 时,直线 的方程为 ,此时直线 过定点 . 13 分
当直线 的斜率不存在时,直线方程为 ,此时 两点为 ,以 为直径
的圆的方程为 ,点 在该圆上. 14 分
综上所述,直线 过定点 . 15 分
17. 证明: (1) 方法一: 由余弦定理得 , 1 分
所以 ,
即 . 3 分
两边同乘 ,得 ,
由正弦定理可得 , 5 分
所以 . 7 分
方法二:由正弦定理可知,要证 ,
只需证 , 2 分
又因为
5 分
所以 ,得证. 7 分
(2)方法一:当点 都位于点 时， ，等式显然成立. 9 分
当点 ， 不同时位于点 时，
10 分
, 11 分
, 12 分
, 13 分
所以 ,又 , 14 分
即 . 15 分
方法二:展开等式右边,
10 分
易知 ,又由正弦定理可知, . 12 分
所以 , 14 分
即 . 15 分
18. 解:(1)证明:设 ,则在正四棱锥 中, 平面 . 1 分
因为 分别为棱 的中点,则 ,
,
所以 平面 平面 , 3 分
又 平面 ,所以 . 4 分
(2)(i)由题可知， , . 5 分
因为 分别为棱 的中点,所以 , 6 分
又因为 四点共面,则有 ,
于是可得 ,
可得 9 分
解得 . 10 分
(ii) 因为 与底面所成角的正切值为 2,
所以 ,所以 . 11 分
如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，
13 分
设平面 的法向量为 ,
则 ,不妨令 ,则 ,
所以平面 的一个法向量为 . 14 分设平面 的法向量为 ,
则 ,不妨令 ,则 ,
所以平面 QMN 的一个法向量为 . 15 分
设平面 与平面 的夹角为 ,则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 0 . 17 分
19. 解: (1) 函数 的定义域为 ,
不等式 ,即 . 1 分
令 ,
则 , 2 分
又 在区间 上恒成立，所以函数 在区间 上单调递增，
又 ,所以当 时, ,函数 在区间 上单调递减; 当 时, ,函数 在区间 上单调递增, 4 分
所以函数 在 处取得最小值 ,所以 ,解得 . 5 分
(2)证明:(i) 当 时， ，由(1)可知， 在区间 上恒成立,当 时,不等式 可化为 ,当且仅当 1 时等号成立. 7 分
令 ,则有 , 9 分
可得 ,即 , 10 分
所以 ,
即 . 11 分
(ii) 不妨令 ,由 (1) 可知,函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,则有 .
当 时,则 恒成立;
当 时, ,
由
. 13 分
令 ,
因为 ,所以 ,当且仅当 时,等号成立.
又 ,所以 ,所以 ,
所以 在区间 上恒成立,即函数 在区间 上单调递减. 15 分
又 ,所以 ,即 ,
,又函数 在区间 上单调递减,
则有 ,即 .
综上所述， . 17 分

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