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河北石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） 数学试题
一、单选题
1．已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．某研究小组收集了60组关于“每天课外阅读时长（单位：分钟）”与“语文阅读理解得分（单位：分）”的数据，经计算，且由这60组数据拟合得到的经验回归方程为，则（ ）
A． B．12 C．1.2 D．12.84
5．若函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（ ）
A．148 B． C．168 D．80
7．若函数在区间上单调递减，则实数为（ ）
A． B． C． D．
二、
8．已知椭圆的左、右焦点分别是和，过的直线交椭圆于两点，的内切圆分别与相切于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆的半径为2，则（ ）
A．
B．原点在圆的内部
C．圆与圆有且仅有1条公切线
D．直线与圆交于两点，的面积为
10．已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．若，且三点共线，则
11．已知数列满足，且为数列的前项和，为数列的前项积，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，数列是递减数列
B．
C．存在，使得成等差数列
D．当时，
12．智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动4秒恰好位于舞台中心的路径条数为_____．（用数字作答）
13．在母线与底面所成角为的圆锥内放入三个半径为1的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为_____；若再放入一个半径为的小球，使得它与三个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则_____．
14．已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和．
15．已知函数．
(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)当时，对于任意，恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：．
16．甲、乙两队进行竞技比赛，比赛规则如下：每轮比赛有进攻方和防守方，进攻方采用进攻策略，防守方采用防守策略，每轮比赛结果无平局；若进攻方获胜，则进攻方加1分，防守方减1分，且下一轮进攻方保持不变；若防守方获胜，则双方均加0分，且下一轮攻防互换；比赛开始前，两队总分之和为，比赛开始后，若某队分数变为0分，则比赛立即结束，该队判负；已知进攻方获胜的概率为，防守方获胜的概率也为，且每轮比赛相互之间没有影响；记为甲队的分数为分且甲为进攻方时，甲队最终获胜的概率．若在某次比赛中规定第一轮比赛甲队为进攻方，甲队初始得分为．
(1)当时，
（i）求比赛进行了4轮结束的概率；
（ii）求的值；
(2)求的表达式（用和表示）．
三、填空题
17．已知，则_____．
四、解答题
18．已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的焦距；
(2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求．
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，分别为中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若点为中点，点关于平面的对称点为点，求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
1．A
2．D
3．C
4．C
5．D
6．A
7．B
8．B
9．BC
10．BCD
11．ACD
12．16
13．
14．解：（1），
当时，．1分
又当时，
，3分
数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
．5分
（2），由题意知，，8分
，9分
设数列的前项和，
，
，
，11分
两式相减得：，12分
即，14分
．
15．解：（1），1分
则，则．3分
（2）当时，依题意有对于任意恒成立，则，5分
设，7分
设，
由得：，则在上单调递减，
且，则，即在上单调递减，
，则，则．9分
（3）由（2）可知，当时，，11分
令，则，因为，13分
令，则，
即，即，15分
累加得：，
即成立
16．解：（i）由题意得，若比赛进行四轮结束第一轮甲进攻乙胜，第二轮乙进攻甲胜，第三轮甲进攻乙胜，第四轮乙进攻乙胜，1分
故比赛进行四轮结束的概率为．
（ii）由全概率公式得：，解得：．
（2）记为甲队的分数为分且乙为进攻方时甲队最终获胜的概率．
由规则，对，有①8分
②10分
边界条件：，且自然定义（甲得满分时获胜）．11分
由①解出，代入②得，
整理得．③
这说明是等差数列
下面确定和的关系．
由②取并结合得．
又由①取得，代入得
，
设公差为，则，故．于是对任意，
有．利用边界，
得因此
17．2
【详解】由可得，故，
则.
18．（1）由题意得：
，
又，可得，
，则双曲线的焦距为．
（2）双曲线的方程为，
右焦点坐标为，
设直线的斜率为．
直线的方程为：，
联立，整理得，
因
设，则
．
19．（1）侧面为正三角形，为的中点，
，
是矩形，且分别为中点，，
面面，
面平面，
平面平面．
（2）方法一：由（1）知，平面平面，
平面，平面平面平面，，
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，
，
，设，
则，
设平面的一个法向量为，则，即，
取，则，所以，
易知点P到平面的距离与点到平面的距离相等且，
即且，
即且，
解得（舍去）或，所以．
设平面的一个法向量为，
又，
则，即，
取，所以．
设平面的一个法向量为，
则，即取，
则，所以，
设平面与平面夹角为，则．
故平面与平面夹角的余弦值为．
方法二：设平面与棱相交于点，
因为面，则平面，
且面面，则，又因为为中点，可得为中点，
设平面平面，，则为中点，
因为关于平面的对称点为，的中点为，
所以面，由（1）知平面平面，
所以平面，又平面平面
且，且，
在平面内，，所以，
因为为中点，
可得为正三角形，因为，所以为中点，
由对称性可知，，
所以，可得，且，
设交于点，则为中点，
则，
由面，可得，
则平面与平面夹角为，
设平面与平面夹角为，同理可得，
则平移可得平面与平面夹角为，
则，即，
故平面与平面夹角的余弦值为．

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