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2026 届高三年级四月测试 数 学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知复数 ，则
A. B.
C. D.
3. 已知向量 ，若 ，则
A. B. C. D.
4. 已知直线 与圆 相交于 两点,则
A. B. 2 C. D. 1
5. 已知函数 ,若 ,则
A. B. C. D.
6. 已知圆锥的轴截面是等边三角形,若该圆锥的表面积与球 的表面积相等,则该圆锥的体积与球 的体积之比为
A. B.
C. D.
7. 已知函数 的定义域为 为奇函数， 为偶函数，且 ，则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
8. 在正项数列 中, ,若 为数列 的前 项和,若 ,则正整数 的最大值为
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知一组数据 的 60% 分位数为 7,则
A.
B. 该组数据的极差为 10
C. 剔除该组数据中的 后,剩余数据的平均数不变
D. 剔除该组数据中的 后,剩余数据的方差变小
10. 已知函数 与 的图象关于原点对称,则
A. 函数 的最大值为
B. 函数 的图象关于点 对称
C. 将函数 的图象向左平移 个单位长度可得 的图象
D. ,存在唯一的 ,使得
11. 在平面直角坐标系 中,点 分别为双曲线 的左、右焦点,点 经过点 ，其一条渐近线经过点 ，第一象限内的点 在 上，则
A. 的方程为
B. 点 到 的两渐近线的距离之积为
C.
D. 若 为 的内心,则 为定值
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知等比数列 的前 项和为 ,公比为 ,若 ,则 的公比 _____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线 与 相交于 两点 在第一象限 ,若 的面积为 ,则 _____.
14. 如何度量样本间的相似性是人工智能核心领域的基础问题,通常通过计算样本间的“距离”来解决. 镜像距离是一种基础且重要的工具. 定义两点 的镜像距离为 . 若 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，点 在边 的延长线上， ，且 ，求 的面积.
16. (本小题满分 15 分)
如图，在正三棱柱 中， 为棱 的中点， 为 的重心.
(1)证明: 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
甲、乙两人进行投篮练习，每人最多投篮 ( ， )次，约定如下:若先投篮者有两次投篮不中， 则换成另一人投篮，否则一直投篮 次. 假设甲每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮结果相互独立. 若甲先投篮,随机变量 表示换成乙投篮时甲投篮的次数.
(1)求 ；
(2)求 的分布列；
(3)求 .
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ， ，点 在 上，直线 与 交于另外一点 ，直线 与 交于另外一点 ,且 .
( i )证明:直线 恒过定点;
(ii) 记直线 的斜率分别为 ,求 的值.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 的斜率为 -1 的切线方程;
(2)若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围；
(3)当 时,若 ,且 ,证明: .
2026 届高三年级四月测试 数学 参考答案、提示及评分细则
1.C 因为 ,所以 . 故选 C.
2. D 因为 ,所以 ,则 . 故选 D.
3. A 由题意得 ,由 ,得 ,所以 ,解得 . 故选 A.
4. B 将圆 的方程化为标准形式，得 ，故圆心为 ，半径为 ，所以圆心到直线的距离为 ,所以 . 故选 B.
5. C 因为函数 在 上单调递减, 在 上单调递增,所以 ,又 在 上单调递增,所以 ,即 . 故选 C.
6. D 设圆锥的底面半径为 ,则其母线长为 ,高为 ,所以该圆锥的表面积为 ,设球 的半径为 , 则球 的表面积为 ，由题意知 ，所以 ，圆锥的体积 ，球 的体积 ，所以 . 故选 D.
7. A 因为 为奇函数,所以 ,令 ,则 ,即 ; 因为 为偶函数,所以 ,令 ,则 ,即 ,所以 ,所以 ,即 ,所以 ,所以 4 是 的一个周期. 所以 ,所以 ,则 . 故选 A.
8. 由 ,得 ,又 ,所以 是首项为 2,公差为 1 的等差数列,所以 ,又 ,所以 ,所以当 时, ,又 ,也符合上式,故 ,则 ,所以 , 由 ,得 ,所以 ,解得 ,所以正整数 的最大值为 22 . 故选 B.
9.BC 因为 ,所以该组数据的 分位数为将其按从小到大的顺序排列后第 6 个数和第 7 个数的平均数, 当 时,其 60% 分位数为 ,不合题意; 当 时,其 60% 分位数为 ,解得 ,不合题意; 当 时,其 60% 分位数为 7,符合题意; 当 时,其 60% 分位数为 ,得 ,不合题意; 当 时,其 60% 分位数为 ，不合题意，故 ，A 错误；该组数据的极差为 10，B 正确；该组数据的平均数为 ,所以剔除该组数据中的 后,剩余数据的平均数不变, 正确; 该组数据的方差为 ,剔除该组数据中的 后的方差为 ，所以剔除该组数据中的 后，剩下数据的方差变大，D 错误. 故选 BC.
10. ABD 设 为函数 图象上任意一点,则 ,点 关于原点的对称点 在 的图象上,则 ,即 ,所以 ,所以 ,其最大值为 正确; 在 中,令 ,得 ,令 ,得 ,所以 的图象关于点 对称, B正确; 将 的图象向左平移 个单位长度可得 , 错误; 当 时, ,所以 在 上的值域为 ,当 时, ,所以 在 上单调递增,且值域为 ,又 ,所以 ,存在唯一的 ,使得 , D 正确. 故选 ABD.
11. BCD 由题意知双曲线 的一条渐近线方程为 ,由题意得 解得 ,则双曲线 的方程为 , A 错误; 设 ,则 ,即 ,所以点 到 的两渐近线的距离之积为 , B正确; 当 时, ,所以 ,又 ,所以 ,当 2 时, ,易知 ,所以 ,所以 正确; 设 ,因为 ,则 ，因为 为 的内心，所以 与 共线，且 ,所以 ,即 ①,同理 与 共线, ,所以 ,即 ②,由①②,得 ,所以 所以点 在 的右支上,根据双曲线的定义知 , D 正确. 故选 BCD.
12. -2 由等比数列的性质知 ,所以 ,所以 ,由 可知, ,解得 ,或 1(舍去)，故 .
13. 易知 ，设 ， ，由 的面积为 ，得 ，所以 ，所以 ,所以 ,则直线 的方程为 ,代入 ,整理得 ,解得
2,即 ,所以 .
14. 由题意得 ,设 ,则 ,当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,则 ,即 ,所以 . 令 当 时, ,则 ,令 ,得 ,令 ,解得 ,所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 时， . 当 时， ,则 ,易知 在 上恒成立,所以 在 上单调递减,所以 ,因为 ,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 的最小值为 .
15. 解: (1) 由 与余弦定理,得 , 2 分
所以 ,所以 , 4 分
所以 ,又 ,
故 . 6 分
(2)由正弦定理及 ,得 ,
所以 ,又 ,所以 , 8 分
在 中,由正弦定理,得 ,即 ,所以 . 10 分
则 , 11 分
故 的面积为 . 13 分
16.(1)证明:连接 并延长交 于 ，则 为 的中点，连接 ，则 ，且 ，
又 ,且 ,所以 ,且 ,所以四边形 为平行四边形, 1 分
JX
所以 ,又 平面 平面 ,所以 平面 . 3 分
连接 ,易证得 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 ; 4 分
因为 平面 ,所以平面 平面 , 5 分
又 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)解:易证 ， ， 互相垂直，以 为原点，以直线 ， ， 分别为 轴， 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 , ,所以 . 8 分设平面 的一个法向量 ,则 令 ,得 ,所以 ; 10 分设平面 的一个法向量 ,则 ,得 ,所以 .
12 分
设二面角 的大小为 ,则 , 14 分所以 ,
故二面角 的正弦值为 . 15 分
17. 解: (1) . 2 分
4 分
(2)当 时，第 次投篮未进，
则前面 次投篮中有 1 次未投中,所以 , 7 分当 时,
若前面 次投篮都投中,其概率为 ;
若前面 次投篮中有 1 次未投中,其概率为 ,
故 , 9 分
所以 的分布列为
2 3 4 ...
...
10 分
(3)由上可知 .
① 11 分
,②
由①-②得, 12 分 .
所以 , 14 分
故 . 15 分
18.(1)解:记 的半焦距为 ,由题意知 , 2 分解得 ,
所以 的方程为 . 4 分
(2)(1)证明:设 ， ， ，
由 ,得 ,则 ,
即 ,
同理得 , 6 分
由对称性可知,若直线 过定点,则直线 过的定点在 轴上,设其为 ,
由 三点共线,得 ,则
, 9 分
故直线 恒过定点 . 10 分
(ii) 解: 因为 在椭圆 上,则 ,
所以 ,则 ,
又 在椭圆上,则 ,所以 ,
又 ,则 ,①
同理得 ,② 12 分
由①-②，得 ，
由 ② ，得 ，
则 . 14 分
因为 ,所以 ,
又 ,则 , 15 分
所以 . 17 分
19.(1)解:设曲线 的斜率为 1 的切线的切点为 ， . 令 ,则 ,
所以 在 上单调递增,即 在 上单调递增, 2 分
又 ,所以 ,则 , 3 分
故曲线 的斜率为 -1 的切线方程为 ,即 . 4 分
(2)解:由题意知 在 上恒成立，
令 ,则 , 5 分
令 ,则 ,
所以 在 上单调递减,且 , 6 分
所以当 时, ,即 ,当 时, ,即 , 7 分
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 , 8 分
由题意可知 ,
即实数 的取值范围为 . 9 分
(3)证明: 由(2)可知,当 时, 在 上恒成立,所以当 时, 在 上恒成立,当且仅当 时等号成立, 10 分
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
同理 ,则 ,所以 ,
因为 ,所以 . 12 分
由 ,得当 时, ,所以 在 上单调递增;
当 时,令 ,则 ,
令 ,则 ,
所以 在 上单调递减,所以 ,即 在 上恒成立,所以 在 上单调递增. 13 分
又 ,所以存在 ,使得 ,
当 时, ,即 ,当 时, ,即 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 14 分
又 ,故存在唯一的 ,使得 ,
所以当 时, ,当 时, . 15 分
由上可知, ,且 在 上单调递增,所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,又 ,则 ,
所以 ,则 , 16 分
又 ,所以 . 17 分

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