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高一数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，则与 同方向的单位向量的坐标为
A. B. C. D.
3. 已知平面 和两条不同的直线 ,则下列说法正确的是
A. 若 上有无数个点不在 内,则
B. 若 ,则 与 内的任意一条直线都没有公共点
C. 若 ,则 平行于 内的任意一条直线
D. 若 ，且 ，则
4. 设复数 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知 的三个顶点分别为 ,则 是
A. 的直角三角形 B. 的直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
6. 在 中, 交 于点 ,设 ,则
A. B.
C. D.
7. 若直三棱柱 的所有顶点均在半径为 的球 的球面上,且 ,则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 在 中, ,且 的面积为 ,则
A. 3 B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D.
10. 下列关于复数 的说法正确的是
A. 若 ，则 为实数或纯虚数 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D.
11. 在四棱锥 中, 底面 ,且 ,底面 是边长为 2 的菱形,设 ,则下列说法正确的是
A. 当 增大时,四棱锥 的体积逐渐增大
B. 若 ,则三棱锥 的体积为
C. 若四棱锥 有外接球,则其外接球的表面积为
D. 若 ,则三棱锥 的内切球半径为
三、填空题: 本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 用斜二测画法画出的水平放置的边长为 2 的正方形的直观图的面积为_____.
13. 已知某圆锥的底面半径为 1,体积为 ,则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为_____.
14. 如图，等边三角形 是由三个全等的三角形 ( ) 与中间一个小等边三角形DEF拼成的，且 的面积是 的面积的 19 倍，设 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知复数 在复平面内对应的点位于第四象限.
(1)求实数 的取值范围；
(2)已知 为坐标原点,若 为整数,且 在复平面内对应的点分别为 ,求向量 在向量 上的投影向量的坐标.
16. (15 分)
已知 为不共线的单位向量, .
(1)若 且 ，求 的夹角的余弦值；
(2)若 的夹角为 ,且 ,求实数 的值.
17. (15 分)
某海滨景区计划建造一座观光灯塔,其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成(如图所示). 已知圆柱的底面半径为 ,高为 ,圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆锥的母线长为 . (取 的近似值为 3)
(1)求该灯塔主体结构的体积.
(2)已知物料费用由两部分组成:①主体结构材料费为每立方米 1000 元，②外部装饰涂料费为每平方米外表面积 200 元(不包括底面). 人工施工费为总物料费用的 20%. 若景区预算为 40 万元, 问: 该预算是否够用
18. (17 分)
在 中，角 的对边分别为 .
(1)求A.
(2)已知 平分 且交 于点 .
(i) 若 ,求 ;
(ii) 求 周长的最小值.
19. (17 分)
如图，圆 的半径为 为圆 上两点.
(1)若 ，向量 与 垂直，求实数 的值；
(2)若过 的重心 的直线与边 分别交于点 ，且 ， ,求 的最小值;
(3)设 ( 且为常数),若 的最小值为 ，求 的值.
高一数学 答案
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 答案
.
2. 答案
由题可知 ,所以与 同方向的单位向量的坐标为 .
3. 答案
对于 与 也可能相交,故 错误; 显然正确; 显然错误;对于 可能在 内,故 错误.
4. 答案
当 时, ,此时 ,当 时, ,此时 ,因此由前者可以推出后者,而由后者不能推出前者.
5. 答案
由题可知 ,所以 ,且 ,所以 是 的直角三角形.
6. 答案 C
命题透析 本题考查平面向量基本定理.
解析 ,由 ,可得 ,则
7. 答案 A
如图,设 与 的外心分别为 ,则球心 是 的中点,连接 . 设 的外接圆半径为 ,球 的半径为 . 在 中,由正弦定理可知 ,解得 . 在 中, ,即 ,解得 .
8. 答案
延长 到 ,使得 . 由 ,可知 ,即 ,所以 . 由 的面积为 ,可知 的面积为 ,由于 ,所以 ，解得 . 由勾股定理可得 ，所以 . 在 Rt 中， ，所以 . 在 中,由余弦定理可得 ,所以 .
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 答案 ACD
对于 ,故 正确;
对于 ,当 时, 不一定成立,故 错误;
对于 ,因为 ,所以 ,故 正确;
对于 ,根据向量加法的三角形法则,可知 成立,故 正确.
10. 答案 AD
对于 ,设 ,则 ,所以 ,所以 为实数或纯虚数,故 正确;
对于 ,令 ,满足 ,但 ,故 错误;
对于 ,设 ,则 ,此时 ,故 错误;
对于 ,设 ,则 , ,则 ,故 正确.
11. 答案 BCD
对于 ,由题可知 ，当 增大时， 先增大后减小，所以四棱锥 的体积先增大后减小，故 A 错误；
对于 ,故 正确；
对于 ,若四棱锥 有外接球,则 ,将该四棱锥补形成长方体 ,可得其外接球的半径 ,则其外接球的表面积为 ,故 正确;
对于 ,若 ,设三棱锥 的内切球半径为 ,则 ,解得 ,故 D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 答案
用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图与原图的面积之比为 .
13. 答案
设圆锥的高为 ,母线长为 . 由题意知 ,解得 ,则 . 由于侧面展开图对应扇形的弧长为 ,半径为 2,所以圆心角的弧度数为 .
14. 答案
设 的面积为 ,则 的面积为 的面积均为 . 设 ,则 . 由题可知 ,则 . ①, ②, ，得 ，解得 或
(舍去), , 则 ,故 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1) 因为 在复平面内对应的点位于第四象限,所以 (3 分) 解得 ,故 的取值范围为 . (5 分)
(2)因为 为整数，且 ，所以 . (6 分)
故 . (8 分)
所以 ,
则 . (10 分)
所以向量 在向量 上的投影向量的坐标为 (13 分)
16. (1) 由题意知 . (1 分)
因为 ,所以 , (2 分)
即 ,
所以 , (4 分)
设 的夹角为 ,则 ,即 的夹角的余弦值为 . (6 分)
(2) , (8 分)
因为 ,即 ,
所以 , (10 分)
又 , (12 分)
所以 ,
解得 或 -1 . (15 分)
17. (1)因为圆锥的母线长 ,底面半径 ,
所以圆锥的高 ,
所以 . (3 分)
又因为 , (5 分)
所以 . (7 分)
(2)结合(1)可知主体结构材料费为 (元). (8 分)
因为 ,
所以 ,
则外部装饰涂料费为 (元), (11 分)
总物料费用为 (元),
人工施工费为 (元),
总费用为 (元) (万元). (14 分)
因为 40 万元>23.76 万元,
所以该预算够用. (15 分)
18.(1) 因为 ,
所以由正弦定理,可得 ,即 . (2 分)
由余弦定理,可得 ,
又因为 ,所以 . (5 分)
(2)(i)因为 ，所以由正弦定理，可得 ①. (6 分)
因为 平分 ,所以 .
由 ,可得 ,
即 ,即 ②. (8 分)
由①②可得 . (9 分)
由余弦定理,可得 ,
解得 . (11 分)
(ii) 由 (i) 可得 ,即 .
所以 ,
当且仅当 时等号成立,此时 取得最小值 8 . (14 分)
由余弦定理,可得 ,
因为 ,当且仅当 时等号成立,
所以 ,即 ,
所以当 取得最小值 8 时, 取得最小值 .
所以 周长的最小值为 . (17 分)
19. 设 与 的夹角为 .
(1)在 中， ，
由余弦定理,可得 ,
即 ,解得 . (2 分)
所以 . (3 分)
若 与 垂直，则 ，
即 ,
所以 ,解得 . (5 分)
(2)因为 为 的重心,所以 ,
由 ,可得 . (7 分)
由于 三点共线,所以 ,即 . (9 分)
由题可知 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 的最小值为 . (11 分)
(3)在 中，由余弦定理，可得 ，
所以 . (13 分)
因为 , (15 分)
所以当 时, 取得最小值 ,
所以 ,解得 . (17 分)

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