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2025 级高一年级 4 月月考数学试卷
一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的, 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.)
1. 已知复数 ，则 的虚部为( )
A. 3 B. 3i C. -3 D.
2. 已知向量 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 在 中,内角 的对边分别为 ,若 ,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知点 ，则 在 上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
5. 在 中, 是 上靠近点 的三等分点, 为 中点,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 2025 年 10 月, 某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相, 彰显中国汽车品牌创新实力.如图, 此段长江的两岸近似看作平行, 宽度约为 1000 米.若汽车从 地出发,以 的静水速度向对岸航行,水流速度为 ，要使航程最短，大约需要( )时间(单位: )
A. B. C. 6 D. 12
7. 若复数 满足 ，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 如图所示，等边 的边长为 2， . 位边 上的一点，且 ， 也是等边三角形，若 ，则 的值是( )
A. B.
C. D.
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 下列各式的运算结果是纯虚数的是( )
A. B.
C. D.
10. 在 中，角 的对边分别是 ，下列说法正确的是( )
A. 若 ，则 有两解 B. 若 ，则
C. 若 ，则 为锐角三角形 D. 若 ，则 为等腰三角形
11. 已知 的内角 所对边的长分别为 ，已知 ， 的面积 满足 ，点 为 的外心，满足 ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.)
12. 已知 ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则点 的坐标为_____.
13. 在 中,角 所对的边分别为 ,若 边上的高 , 则 的周长为_____.
14. 在 中，角 所对的边分别为 ， ，且点 满足 ，则 _____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13 分) 记 的内角 的对边分别为 ,且满足 . (1)求 的值；
(2)若 ，求角 的大小.
16.(15 分) 如图, 中, 为 的中点,
与 相交于点 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的余弦值.
17.(15 分) 在 中，角 的对边分别为 ，满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 周长的最小值；
(3)若 是锐角三角形，且 ，求 面积 的取值范围.
18.(17 分) 2025 年春晚《秧 BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力. 某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形 中，在点 处放置机器狗,在 的中点 处放置足球,机器狗和足球均做匀速直线运动,且无其他外界干扰. 已知 米，足球运动速度为 米/秒，设机器狗在点 处捕捉到足球，若点 在矩形 内(含边界)，则捕捉成功. 记足球和机器狗的运动方向与 所成夹角分别 .
(1)当 长度不受限制， ，机器狗以 米/秒速度捕捉足球， 为何值时，机器狗能捕捉成功？ (2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为 ， 长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值;
(3)当机器狗的速度为 米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则 的长度至少为多少米
19.(17 分) 如图,已知 与 的夹角为 ,点 是 的外接圆优弧 上的一个动点 (含端点 ).
(1)求 外接圆的直径；
(2)直接写出 面积的最大值(无需过程)；
(3)记 与 的夹角为 ,试将 表示为 的函数,并求 的最大值.
2025 级高一年级 4 月月考数学参考答案
1. A_____2. A_____3. D_____4. C 6. D 7. B 8. A
,则 ,因为 ,所以 .
9. BD
解: A 项中 ,故 A 错误; B 项中, ,故 B 正确;
C 项中, ,故 C 错误; D 项中, ,故 D 正确.
10. AC
对于 ,由正弦定理得 ,则 ,所以 ,又 ,则 , 所以 有两解,则 有两解,故 正确;
对于 ,在 中, ,由正弦定理得, ,故 错误;
对于 ,由 ,可得 ,且 均为锐角,所以 ,
则 ,所以 也为锐角,
则 为锐角三角形，故 C 正确；
对于 ,由 ,由正弦定理得, ,
则 ,所以 或 ,则 或 ,
所以 为等腰三角形或直角三角形，故 D 错误.
11. ABD
因为 ,所以 ,
即 ,又 ,所以 ,
所以 ,又 ,所以 .
对于 ,故 正确;
对于 B: ,
因为点 为 的外心,所以 ,
则 ,故 B 正确;
对于 : 由余弦定理 ,
由正弦定理 ,则 ,故 错误;
对于 : 因为 ,则 ,
即 ①，同理 ，
即 ②,联立①②,解得 ,故 正确.
13. 15 14.
15. (1) .
(1)由已知得 ,
即 ,即 ,
即 ,即 ,即 .
由正弦定理可知 ,因此 .7 分
(2)由余弦定理可得 ,又 ,所以 .13 分
16. (1) .
(1) ,
因为 三点共线,设 ,即 ,
，故 ， ，所以 ，解得 ； .6 分
(2)由(1)知， ， ，又 ， ， ，故 ，
, ..8 分
.10 分
.12 分
则 .15 分
17. .
(1)因为 ，所以 ，由余弦定理可得
,因为 ,所以 ; 3 分
(2)因为 ，所以 ，
由基本不等式可知 ，当且仅当 时等号成立，
所以 即 ,所以当 时, 周长有最小值为 12 ; .6 分
(3)由正弦定理可得 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
则
, .11 分
因为 是锐角三角形,有 ,即 , .13 分所以 ,因为 ,
所以 ,即 面积 的取值范围是 . .15 分 18. 米; (3)1.5 米.
(1)在 中，由正弦定理知 ，即 ，
因为 ,所以 ,解得 ,因为 ,所以 ,
此时 ,因为 ,所有点 在矩形 内,捕捉成功. .4 分
(2)法一:在 中，由余弦定理知 ，
故 ,整理得 ,
即 ,当且仅当 时等号成立,此时 ,
,点 在矩形 内,捕捉成功. 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为 8 米.
.9 分(法二至此处也是累计 9 分)
法二: 在 中,由正弦定理知 ,
所以 .
当 ,即当 时, 有最大值为 8,
此时 ,点 在矩形 内,捕捉成功.
故机器狗与足球运动的总路程的最大值为 8 米.
(3)如图，过 作 的垂线，垂足为
设 ,则 ,由题可知 所以 ,
在 中,由余弦定理知 ,
则 ,整理得 ,所以 , 又因为 , .14 分
当 ,即当 时, 有最大值为 ,
由题知 恒成立，所以 ，
此时 ,
故当 的长度至少为 米时,满足题意. .17 分 19. (1) .
(1)在 中,由余弦定理 ,所以 ,由正弦定理可得直径 . .4 分 (2) .8 分
(3)记 与 的夹角为 ，连接 ，由题意可知 ， .9 分
在 中,由正弦定理 ,则 ,
且 为锐角，则 ，
可得 ,
由正弦定理 ,可得 ,
所以 表示为 的函数为 .13 分
因此
其中 为锐角, .
又 ，现取 ，则有 .17 分
注 第(3)问的后半部分使用投影向量的几何意义说明 点运动到与 平行的直径的右顶点时,便有
可酌情给分.

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