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高三数学试题
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 复数 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列双曲线的两条渐近线互相垂直的是
A. B. C. D.
4. 已知定义域为 的奇函数 的周期为 8,则下列结论一定成立的是
A. B. C. D.
5. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 如图,一滑轮组中有两个定滑轮 ,在从连接点 出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为 ，此时整个系统处于平衡状态，则
A. B.
C. D.
7. 已知 是函数 在 上的两个零点,则
A. B. C. D.
8. 已知 ,函数 的最大值为 0,则 的最小值为
A. B. C. 1 D. e
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 ,则
A. B.
C. D.
10. 在 中,角 所对的边分别为 ,下列各组条件中,能使得 存在且唯一的是
A. 外接圆的半径为 1
B.
C.
D.
11. 已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一点， 是圆 上一点,若 的最小值为 1,则下列结论正确的是
A. 当 时,
B. 的最小值为
C. 过点 作直线 与圆 相切,与 交于 两点,若 为线段 的中点,则这样的直线恰有 4 条
D. 过点 作圆 的两条切线,这两条切线与 交于 两点,若 ,则直线 的方程为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在平面直角坐标系中,角 的终边经过点 ,则 _____▲_____.
13. 已知正项等差数列 的公差为 为 的前 项和,若 是首项为 3 的等差数列,则 _____▲_____.
14. 如图,正方体 的棱长为 分别为 的中点,则三棱锥 外接球的体积为_____▲_____，过点 作三棱锥 外接球的截面，该截面面积的最小值为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求 .
16.(15分)
在三棱锥 中，平面 平面 ， ， .
(1)证明: 平面 .
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
17. (15分)
已知椭圆 的离心率为 ，下顶点为 ，右顶点为 ， .
(1)求 的方程；
(2) 是 的右焦点，过点 的直线 与 交于 ， 两点(异于点 )，若 平分 ，求 的方程.
18.(17分)
已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
(1)当 时，判断 的单调性.
(2)设 有 3 个零点 .
(1)求 的取值范围；
(1)证明 .
19. (17 分)
现有 个互不相同的点. 这 个点中任意两点之间都被随机赋予一个数值,且这 对点之间的数值恰好为 这 个互不相同的整数. 对于每个点,它会在其余 个点中,选择与之对应数值最大的点作为自己的“目标点”. 若点 的目标点是点 ,且点 的目标点也是点 ,则称 与 构成一对“双向目标点”.
(1)现有 四个互不相同的点,求点 与点 互为“双向目标点”的概率；
(2)当 时,设这 4 个点中构成的“双向目标点”的对数为 ,求 的分布列与数学期望 ;
(3)对于任意给定的 ，设这 个点中构成的“双向目标点”的对数为 ，求 关于 的表达式.
附:若随机变量 服从两点分布,且 ,则 .
高三数学试题参考答案
1. A 因为 ,所以 .
2. ,复数 在复平面内对应的点为 , -1 )，位于第四象限.
3. 的渐近线为 ,互相垂直，其他都不符合.
4.D 因为 的周期为 8,所以 ,又 为奇函数,所以 , 则 ,所以 .
5.B 当 时,令 ,则 ,充分性不成立; 当 时,因为 b) ,所以 ,必要性成立. 故 “ ” 是 “ <2”的必要不充分条件.
6. B 依题意, ,则 ,即 ,解得 ,所以 .
7. A 因为 ,所以 ,则 ,即 ,故
8. 由题可知 ,且 有解,结合 与 的图象可知,当 经过原点,且与 相切时, 的值最小. 设直线 与 相切于点 ,所以 解得 .
9. ACD 的最高次为 ,且 的系数为 ,所以 正确； 令 ,可得 , B 错误; 令 ,可得 ①,则 , C 正确; 令 ,可得 ②,由①-②,得 ,则 , D 正确.
10. AD 对于 A，因为 ， ， ，且 ，所以 的值唯一,即 存在且唯一;
对于 ,因为 ,所以 为钝角, ,因为 ,所以 ,与 为钝角矛盾,故 不存在;
对于 ,由 ,可得 ,因为 ,所以 可能是锐角,也可能是钝角，即 的形状不唯一；
对于 ，由余弦定理可知 ，所以 ， ， 的值唯一，即 存在且唯一.
11. 因为 的最小值为 1,所以 ,即 . 当 时,则 正确.
因为 ,所以 ,故 的最小值为 错误.
设 ,显然始终存在两条垂直于 轴的直线 . 当 的斜率存在,即 时,设 的斜率为 ,则 两式相减得 ,因为 与圆 相切,所以 ,即 ,不符合题意. 综上,这样的直线只有两条, 错误.
设 ,易知 ,则直线 的方程为 . ,即 ,因为直线 与圆 相切,所以 , 化简得 ,即 ,同理可得 ,故直线 的方程为 正确.
12. -3 由题可知 ,则 .
13.2 或 50 由题可知 ,所以 ,所以 ,则 . 因为 是等差数列,所以 ,则 ,解得 或 .
14. 如图,以 为原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,则 ,
2). 设三棱锥 外接球的球心为 ,半径为 ,则
解得 所以三棱锥
外接球的体积为 . 过点 作三棱锥 外接球的截面,当
与截面垂直时,该截面面积最小, ,最小截面
圆的半径 ,故该截面面积的最小值为 .
15. 解: (1) 当 时, . 2 分
当 时, ,
则 , 3 分
所以 ,即 , 5 分
当 时,满足 ,
所以 的通项公式为 . 6 分
(2) , 7 分
9 分
. 13 分
16.(1)证明:因为平面 平面 ， ， 平面 ，平面 平面 ,所以 平面 . 2 分
因为 平面 ,所以 . 4 分
因为 平面 平面 ,
所以 平面 . 6 分
(2)解:(方法一)取 的中点 ，连接 . 在 中，过点 作 ，垂足为 ，连接 .
因为平面 平面 平面 ,
平面 平面 ,所以 平面 . 7 分
因为 平面 ,所以 , 8 分
又因为 平面 平面
,所以 平面 . 9 分
因为 平面 ,所以 , 10 分
则 为二面角 的平面角. 11 分
易知 , 12 分
13 分
.
故二面角 的余弦值为 . 15 分
(方法二) 取 的中点 的中点 ,连接 ,
则 .
因为 平面 平面 ,所以 ,所以 .
在 中, 为 的中点,所以 . 8 分以 为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , . 10 分
易知平面 的一个法向量为 . 11 分
设平面 的法向量为 ,则 即
取 ,得平面 的一个法向量为 , 13 分
则 . 14 分
又二面角 的平面角为锐角,所以二面角 的余弦值为 . 15 分
17. 解:(1)由题可知 2 分
解得 , 4 分
所以 的方程为 . 5 分
(2)由(1)可知 ， . 当 与 轴重合时，显然不符合题意. 6 分
设直线 的方程为 .
由 得 .
由韦达定理得 , 8 分
直线 的斜率 . 9 分
易知直线 的斜率均存在,分别设为 .
因为 平分 ,所以可设 ,则令 ,化简可得 . 11 分
13 分
解得 ,即直线 的方程为 . 15 分
18.(1)解:当 时， ，令 ，
当 时，解得 , 2 分
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 , 4 分
即 ,故 在 上单调递增. 5 分
(2)(1)解:令 ，则 ，令 ，则 ，
当 时，解得 或 , 7 分
易知 在 和 上单调递减，在 上单调递增.
,当 时, ,当 时, ,
结合函数 的图象可得,当 有 3 个根时, 9 分
即当 有 3 个零点时, 的取值范围为 .
10 分
(ii) 证明: 由 (i) 可知 ,开方得 .
令 ,由 得 ,
则 .
要证 ,即证 ,即证 ,即证 . 14 分令 ,易知 .
令 ,则 ,当且仅当 时,等号成立.
所以 在 上单调递增,当 时, ,当且仅当 时,等号成立.
所以 在 上单调递增,当 时, ,
即当 时, ,故 ,当且仅当 时，等号成立，故得证. 17 分
19. 解: 设所有 对点之间的数值集合 ,其中 . 由于数值分配是完全随机的,则任取一对点,其两点间数值取集合 中任意一个值的概率均为 .
(1)4 个点共有 对点之间有数值，点 与点 互为“双向目标点”的充要条件:点 与点 之间的数值是所有与点 或点 关联的数值中最大的. 2 分
与点 关联的数值有 3 个,与点 关联的数值有 3 个,其并集共有 5 个互不相同的数值,在完全随机分配的情况下,这 5 个数值中每一个数值都有相等的机会获得其中的最大数值.
因此,点 和点 互为“双向目标点”的概率 . 4 分
(2)设这 4 个点中构成的“双向目标点”的对数为 ，所有 6 对点之间的数值中必定存在一个最大值，取得该最大值的两个点必定互为“双向目标点”，则 .
因为共有 4 个点,最多只能构成 2 对 “双向目标点”,所以 的所有可能取值为 1,2 .
5 分
当 时,意味着这 4 个点构成了两对没有公共顶点的“双向目标点”,此时所有 6 个数值中最大的两个数值恰好分配给互不相交的两对点.
将 4 个点分为互不相交的两对点,共有 种分法. 从 6 对点中任选两对点被赋予最大
的两个数值. 因为这两对点互不相交,其余的 4 条边必然是连接这两对点的边,所以只要这两条不相交的边对应 6 个数值中最大的 2 个, 那么与它们关联的任何其他边的数值必然小于这两个最大值,从而满足这两对点均满足 “双向目标点”的条件,选法有 种. 故 8 分
从而 ,
所以 的分布列为
1 2
9 分
故 . 10 分
(3)设变量 满足若点 与点 构成一对“双向目标点”，则 ，否则 ,则 的充要条件是点 与点 之间的数值是所有与点 或点 关联的数值中最大的. 12 分
与点 关联的数值有 个,与点 关联的数值有 个,其中点 与点 之间的数值为两者共有,计算并集时需扣除重复计算的 1 次.
故与点 或点 关联的总数值个数为 .
因为所有的数值分配是完全随机的,所以由对称性可知,这 个数值中每一个数值都有相等的机会成为其中的最大值,故点 与点 之间的数值成为最大者的概率为 . 15 分
“双向目标点”的总对数 ,在这 个点中,任意两点构成一对,共有 项相加. 由题意可知, 服从两点分布,这 个变量和的期望等于各变量概率之和,即
17 分

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