资源简介

2026 届高三年级第二次质量检测 数 学
注意事项:
1．本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 复数 ,则
A. 1 B. C. D. 3
2. 已知角 的顶点为坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 ,则
A. B. C. D.
3. 某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型, 需对采集的 4000 张图片进行人工标注, 图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类,已知四类图片的数量之比为 , 现采用分层抽样的方法抽取容量为 的样本对标注情况进行抽检,若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多 25 张,则
A. 80 B. 100 C. 120 D. 160
4. 定义集合 且 ,已知集合 ,若 , 则下列一定成立的是
A. B. C. D.
5. 设向量 ,则
A. “ ” 是 “ ” 的充分条件 B. “ ” 是 “ ” 的充分条件
C. “ ” 是 “ ” 的必要条件 D. “ ” 是 “ ” 的必要条件
6. 某同学每周进行两次游泳训练，每次游 5 趟或 6 趟. 第一次游 5 趟或 6 趟的概率均为 0.5 . 若第一次游 5 趟，则第二次游 5 趟的概率为 0.4 ，游 6 趟的概率为 0.6 ；若第一次游 6 趟，则第二次游 5 趟的概率为 0.6 , 游 6 趟的概率为 0.4 . 若一周至少游 11 趟为训练量达标, 则该同学一周训练量达标的概率为
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D.0.8
7. 已知有 4 个1 和 3 个-1,共 7 个数,排成一个数列 ,若对任意 ,前 项和 都满足 ,则满足上述条件的数列的个数为
A. 14 B. 20 C. 32 D. 40
8. 设函数 ,若 恒成立,且 在 上最大值与最小值的和为 0,则 的最小值为
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列函数是偶函数的是
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线 的渐近线与圆 相切,记 的左、右焦点分别为 为 上一点,且 与圆 交于 两点,则
A. 的离心率为 2 B. 的渐近线方程为
C. D. 若 ,则
11. 已知 ,则
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知平面 和直线 ,给出下列三个论断:
① ； ② ； ③ .
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:如果_____，则_____， 则_____. (只填写序号)
13. 抛物线 的焦点为 为 的准线与 轴的交点， 为 上一点，若 ,则 _____.
14. 已知集合 . 将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 . 记 为数列 的前 项和,若 且 , 则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在 中,角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 为 的中点，求 的长.
16.(15 分)
某中学开展劳动教育实践活动,学生进行某种蔬菜种植实验,实验分为育苗、定植、收获三个阶段. 已知每株蔬菜育苗成功的概率为 ,各株蔬菜育苗是否成功相互独立; 只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量 (单位: )服从正态分布 ，市场上该品种蔬菜的售价为 6 元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为 18 元.
(1)若对 10 株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为 Y，求至少有 9 株蔬菜育苗成功的概率与 (结果用 表示)；
(2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取 1 株，估计其单株利润为正的概率.
附:若随机变量 ，则
17. (15 分)
如图，在三棱锥 中，点 ， 分别在棱 ， 上， 平面 ， 平面 .
(1)证明: ；
(2)记直线 与平面 所成的角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，证明: 为定值;
(3)若 ， 为线段 的中点，设平面 与平面 的交线为 ， 为 上的点,求点 到平面 的距离的最大值.
18.(17分)
已知椭圆 经过点 为 的右焦点,且 与 轴垂直.
(1)求 的标准方程；
(2)设直线 与 交于 两点，且 (O 为坐标原点)，探究:是否存在定圆与直线 始终相切？若存在,求出该定圆的方程; 若不存在,说明理由;
(3)在(2)的条件下，求 面积的最大值，并求此时直线 的方程.
19.(17分)
已知函数 和 有相同的极小值，其中 .
(1)求a；
(2)证明:存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列;
(3)在(1)(2)的基础上，某学习小组通过指数与对数之间的关系，探究得出:存在直线 ,其与两条曲线 和 共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 请给出 与 满足的关系式,并说明理由.
2026 届高三年级第二次质量检测 数学参考答案
注意事项:答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B B A D A B
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 AD ABD BCD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. ②③① 13. 14. 1150
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
(1)因为 ，所以 ， 2 分由正弦定理有 ，解得 ；
(2)由 ，解得 ， 8 分因为 , 10 分所以 , 12 分所以 . 13 分
16. (15分)
(1)由题意，10 株蔬菜育苗相互独立，每株育苗成功的概率均为 ，因此育苗成功的株数 服从二项分布，
即 ,根据二项分布的期望公式可得: ; 3 分
7 分
(2)单株利润为正，即收入-成本 > 0，即 ，解得 ， 8 分
已知 ，即 ， ， ， 分
所以 , 14 分
所以估计单株利润为正的概率为 0.84135 .
17. (15分)
(1)因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 1 分
又因为 平面 平面 平面 ,所以 , 2 分又因为 平面 平面 ,
若 相交，则 平面 ，与 平面 矛盾， 3 分所以 ，所以 ， 4 分
(2)如图，过 作 平面 ，
分别以 为 轴建立空间直角坐标系 , 5 分
设 为平面 的法向量,所以 , 6 分
因为 平面 ,所以 是平面 的一个法向量,所以 , 7 分
所以 ,又 ,所以 即 . 9 分
(3)因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又平面 与平面 的交线为 平面 ,所以 , 10 分
为 上的点,则 ,
, 11 分
设 为平面 的法向量,
有 则 令 ,
所以平面 的一个法向量 , 12 分
所以点 到平面 的距离 , 14 分所以点 到平面 的距离的最大值为 . 15 分
18.(17分)
(1) 为椭圆 的右焦点， 与 轴垂直，
所以 ,解得 , 3 分
所以椭圆 的标准方程为 . 4 分
(2)①直线 斜率存在时,设直线 的方程为 ， 联立直线 与椭圆 的方程，得 ， 5 分
则 即 , 6 分
由 ,得 ,化简得 , 7 分
原点 到直线 的距离 为定值. 8 分
②直线 斜率不存在时,设直线 的方程为 ,带入椭圆方程为 ,
由 ,得 ,解之得 ,
此时原点 到直线 的距离 为定值. 9 分
综上,原点 到直线 的距离恒为 ,所以存在定圆 与直线 始终相切. 10 分
(3) 的面积 ，其中 为定值，所以求 的最大值即求 的最大值， 11 分
直线 斜率存在时, ,
令 ，则 ，则 13 分当 即 时, 取得最大值 , 14 分
又因为直线 斜率不存在时, , 15 分
所以 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 ， . 17 分
19.(17分)
(1)由 ，得 ，易知，若 存在极小值， ， 1 分
(0,1) 1
- - 0 +
单调递减 单调递减 e a 单调递增
由 ,得 , 2 分所以 ,又 ,所以 . 4 分
(0,1) (l, e) e (e,+oo)
- - 0 +
单调递减 单调递减 ae 单调递增
(2)证明:由(1)知 ， ，且它们的极小值为 ，
由(1)可知,当 时, 且单调递减,当 时, 且单调递减,
此时直线 与两条曲线 和 不可能有三个不同的交点,所以 , 6 分
又因为当 时, 时, ,
时, 时, ,
所以当 时, 分别与 和 各有两个交点, 7 分
若 ,则 ,解 ,即 ,
设函数 ,则 , 8 分
由于 ,所以函数 在 上单调递增,所以 , 又由于 ,所以函数 在 上单调递增,所以 , 所以函数 在 上单调递增,又 ,
所以 在区间 上存在唯一零点,记为 ,所以 即 , 10 分
取 ,
因为 ,所以 是 在区间 上的解,
因为 ,所以 是 在区间 上的解,
又由于 ,且 ,
所以存在直线 与两条曲线 和 共有三个不同的交点,从左到右三个交点的横坐标 成等比数列.
(3)
由(1)知 ,
由(2)知 是 的唯一零点，
由 得 ,即 ,
所以 是函数 的唯一零点,
同(2)中分析,可知 ,
所以 ,
所以 分

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