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高一数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:人教 A 版必修第一册至必修第二册第八章 8.2。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 下列几何体中, 是十面体的是 ( )
A. 七棱锥 B. 八棱锥 C. 七棱柱 D. 八棱台
2. 方程 的复数根为( )
A. B. C. D.
3. 已知非零向量 的夹角为 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 如图,用斜二测画法画出的水平放置的 的直观图为 ,且 与 轴平行, ，则 ( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知集合 ，且 ，则 的取值集合为( )
A. B.
C. D.
A. B. C. -1 D. 1
7. 已知 的内角 的对边分别为 的外接圆半径为 ,且 ，则 的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定的
8. 如图，点 ， 在边 上，以 为直径的半圆与等腰直角三角形 的直角边都相切， 是 所在平面内一点，则 的最小值为()
A. -2
B. -1
C.
D. 0
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知复数 满足 ，则()
A. 的虚部为 -1
B. 的共轭复数为
C. 为纯虚数
D. 在复平面内对应的点位于第二象限
10. 已知 均为单位向量，则( )
A.
B.
C. 向量 在向量 上的投影向量为
D. 的最小值为
11. 已知函数 的图象与 图象的所有交点的横坐标之积不大于 1 (若 的图象与 的图象只有一个交点,则这个交点的横坐标不大于 1 ),则称 与 是一组 “小积函数”。下列四组函数中，是一组“小积函数”的有( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 若点 ， ， ，且 ， ， 三点共线，则 _____.
13. 已知复数 满足 ，则 _____.
14. 已知码头 在码头 的正北方向，两码头相距 100 海里，在码头 测得海上某渔船 位于北偏东 方向，在码头 测得渔船 位于北偏东 方向，在码头 还测得另一艘货船 位于南偏东 方向，且货船 到码头 的距离为 海里，则货船 与渔船 之间的距离为_____海里。
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 的周长。
16.(15 分)
已知函数 ( ，且 )。
(1)求 图象经过的定点坐标；
(2)若 的定义域为 ,求不等式 的解集。
17. (15分)
将函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,再向左平移 个单位长度,得到奇函数 的图象。
(1)求 ；
(2)若 在 上的单调递减区间为闭区间 ，求 在 上的值域。
18.(17分)
在梯形 中, ,设 .
(1)用 ， 表示 ， ；
(2)若 ，且 ，求 的值；
(3)已知 ，且 的最小值为 ，求 的最大值。
19.(17分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 .
(2)已知 为 边上的一点，且 ， .
( i ) 求 ;
(ii) 若 是线段 上(不与 重合)的一动点，求 的最小值。
高一数学参考答案
1.D 七棱锥是八面体,八棱锥、七棱柱均是九面体,八棱台是十面体.
2.B 方程 的复数根为 .
3. 由 ,得 . 因为 ,所以 . 故 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
4. D 在 中, ,所以 .
5. . 当 时, . 当 时, , 则 ,得 或 . 故 的取值集合为 .
6. A .
7. 由正弦定理得 ,得 ,得 ,且 为锐角. 由 ,得 . 易得 . 当 时, 由 ,得 ,得 ,得 . 当 时, ,由 ,得 ,得 .
综上, 的形状是钝角三角形.
8. 设 为 的中点,连接 (图略). 易知 ,所以 .
9. 由 ,得 ,所以 的虚部为 的共轭复数为 正确, 错误. ,则 为纯虚数, 在复平面内对应的点 位于第一象限, 正确, 错误.
10. 正确；由 ,可得 . ,即 ,故 错误; 向量 在向量 上的投影向量为 正确; 设 ,则 ，所以 的最小值为点 到直线 的距离，故最小值为 ，D 错误.
11. ACD 对于 A，由 ，得 . 令 ，易得 是增函数，且 ,所以 只有一个零点 ,且 符合题意.
对于 的图象如图 1 所示，由图可知 的图象与 的图象有 2 个交点， 设这 2 个交点的横坐标为 . 因为 ,所以 ,得 不符合题意.
对于 ,易得 与 均为偶函数, 的图象如图 2 所示,由图可知 的图象与 的图象有 4 个交点,这 4 个交点的横坐标从小到大依次为 ,易得 ,所以 符合题意.
对于 的定义域为 的定义域为 在 上单调递减, 的图象如图 3 所示,由图可知 的图象与 的图象有 2 个交点,设这 2 个交点的横坐标为 . 由 ,得 ,得 . 因为 ,所以 ,即 , D 符合题意.
图 1
图 2
图 3
12. 因为 ,且 ,所以 ,得 .
13.2 设 ,则 ,得
14. 如图所示, ,
.
在 中,由 ,解得 海里,
在 中, 海里.
15. 解: (1) 因为 ,所以 . 3 分故 的面积为 . 6 分
(2)(方法一)由 得 或 8 分
由余弦定理 ,得 , 11 分
得 . 12 分
故 的周长为 . 13 分
(方法二) 由余弦定理 , 8 分
得 , 11 分
得 . 12 分
故 的周长为 . 13 分
16. 解: (1) 令 ，得 或 2， 2 分
得 , 4 分
所以 图象经过的定点坐标为 . 6 分
(2)由题意得 在 上恒成立， 7 分
则 ，得 . 8 分
因为函数 是增函数，函数 在 上单调递减，在 上单调递增, 9 分
所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 . 10 分
又 ,所以 或 , 13 分
得 或 . 故不等式 的解集为 . 15 分
17. 解: (1) 由题意得 . 3 分
因为 是奇函数，所以 ，得 . 5 分
又 ,所以 . 6 分
(2)由(1)知 .
由 ,得 , 8 分
所以 在 上的单调递减区间为 . 10 分
,由 ,得 . 12 分
得 , 14 分
所以 在 上的值域为 . 15 分
18. 解: (1) . 1 分
3 分
(2)(方法一) ， 5 分得 8 分
得 . 9 分
(方法二) 如图,过点 作 ,垂足为 .
由 ,得 ,则 .
易证四边形 是矩形,则 . 4 分建立如图所示的平面直角坐标系,设 ,则 , , 5 分
得 . 6 分
因为 ,所以 . 8 分
故 . 9 分
(3)由(2)可知 ，
则 ， 10 分
. 12 分
,当 时, 取得最小值,且最小值 .
13 分
令 ,由 ,得 , 14 分
则 -
16 分
当且仅当 ,即 时, 取得最大值,且最大值为 1 . 17 分
19. 解: (1) 由正弦定理得 , 1 分
得 , 2 分则 . 由 ,得 ,所以 ,则 . 3 分
因为 ,所以 . 4 分
(2)(i)在 中，由正弦定理得 . ① 6 分
在 中,由正弦定理得 . ② 8 分
因为 ,所以 . 9 分
得 . 10 分
(ii) 由余弦定理 ,得 . 11 分
结合 ,得 . 12 分
如图，作 (点 在 的下方)， ，垂足为 ，过点 作 ,垂足为 . 13 分
14 分
则 . 故 的最小值为 . 17 分

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