资源简介

高三联考数学
注意事项:
1. 答题的. 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知 都是实数，且 ，则
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
3. 已知 ,则
A. 3 B. -3 C. 2 D. -2
4. 清明节期间，甲、乙两市旅游消费数据如下:甲市游客总量 300 万人次，游客人均消费 1000 元； 乙市游客总量 200 万人次, 游客人均消费 1200 元. 此期间甲、乙两市游客的人均消费额为
A. 1060 元 B. 1080 元 C. 1100 元 D. 1120 元
5. 已知函数 的图象关于直线 对称,则
A. B. C. D.
6. 某 AI 大模型的算力规模每半年翻一番,初始算力为 ,经过 年后算力为 ,则 与 的函数关系式为
A. B. C. D.
7. 已知某圆锥的底面和某圆台的下底面重合, 它们的高均为 2 , 且圆台的上、下底面圆的半径之比是 ,圆锥的侧面积是 ,则该圆台的侧面积是
A. B. C. D.
8. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线与 交于 两点(点 在第一象限),若直线 的斜率为 ,则
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在等小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得都分分, 有选错的得 0 分.
9. 记等差数列 的前 项和为 ,若 . 则
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线 ,则下列结论正确的是
A. 的取值范围是
B. 的焦距与 的取值无关
C. 若 的离心率不小于 2,则 的取值范围为
D. 存在实数 ,使得点 在 上
11. 已知函数 ,则下列结论正确的是
A. 存在 ,使得
B. 记 的值域为 ,对任意 ,存在 ,使得
C. 若 ,则 的最大值为
D. 若 ,则 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知等比数列 满足 ,则 _____▲_____
13. 已知函数 有且仅有 1 个零点,则 _____▲_____.
14. 已知单位向量 满足 ，则 _____▲_____，向量 在向量 方向上的投形向量为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15.(13分)
设 的内角 的对边分别是 ,已知 .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 .
16. ( 15 分)
如图，在四棱锥 中、 平面 ，且 .
(1)证明, 平面 .
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长.
17. (15 分)
已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围.
18. (17分)
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 5 件. 该产品按箱售卖，每箱 30 元. 用户在使用某箱该产品时，若出现 1 件不合格品，则工厂赔偿 10 元；若出现 2 件不合格品，则工厂赔偿 20 元；若出现 件不合格品,则工厂赔偿 30 元. 设每件产品为不合格品的概率都为 , 且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记每箱产品中恰有 1 件不合格品的概率为 ，求 的极大值点 .
(2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案. 方案一: 从每一箱产品中随机抽 1 件检验, 如检验出不合格品, 则更换为合格品. 方案二: 从每一箱产品中随机抽 2 件检验,如检验出不合格品,则更换为合格品. 已知每件产品的检验费用为 2 元,以(1)中确定的 作为 的值,以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据, 应该选择方案一还是方案二
19. (17 分)
已知 为坐标原点,椭圆 的右顶点为 ,离心率为 ,过点 的直线 与椭圆 交于另一点 ,与直线 分别交于点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)证明: .
高三联考数学参考答案
1. 直接验算可知 .
2. A 因为 ，所以 ，所以 则 .
3. 由 ,得 ,解得 ,则 .
4. B 此期间甲、乙两市游客的人均消费额为 元.
5. A 依题意得 ,解得 ,令 ,则 .
6. 与 的函数关系式为 .
7.C 设圆台的上底面圆的半径为 ,则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为 ,圆锥的母线 . 圆锥的侧面积是 ,解得 ,则圆台的母线 ,侧面积为 .
8. 记 的准线为 ,过点 作 的垂线,垂足分别为 ,过点 作直线 的垂线, 垂足为 (图略). 设 . 因为直线 的斜率为 ，所以 ， ,则 . 因为 ,所以 ,即 ,所以 .
9. AC 设等差数列 的公差为 ,依题意得 解得 所以 , ,故选 AC.
10. 由题意得 ,则 正确.
的焦距为2,与 的取值无关, B 正确.
由 ,解得 ,结合 ,所以 的取值范围为 正确.
假设存在实数 ,使得点 在 上,则 . 当 时, ,所以 在 上无实数解, 错误.
11. . 当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,存在 , ,使得 , 正确.
为奇函数, 的极大值为 ,且当 时, ,所以 的值域为 . 取 ,不存在 ,使得 , B 错误.
不妨设 ,则 ,即 . 函数 的图象关于直线 对称,将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象, 与 的值域相同.
令 ,当 时, . 当 时, . 当 时, ,且 ,当且仅当 时,等号成立. 当 时,函数 单调递减,且 ,所以当 时, 取得最大值,最大值为 ,所以 的最大值为 ,即 的最大值为 正确.
不妨设 ,则 ,
变形可得 ,
所以 , .
当 时, ,要使得 取得最小值,则 . 若 ,则 ,解得 舍去 ,即 , 当且仅当 时,等号成立. 若 ,则 ,解得 ,即 , 当且仅当 时,等号成立.
当 时, ,而 ,矛盾,舍去.
综上, 的最小值为 正确.
12.16 设等比数列 的公比为 ,由 得 所以 .
13. 为偶函数,要使得 有且仅有 1 个零点,则 ,解得 .
经验证,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,且 ,符合题意.
14. 因为 ,所以 ,又 ,所以 ,向量 在向量 方向上的投影向量为 .
15. 解: (1) 因为 ,所以 , 2 分
解得 , 4 分
所以 的面积 . 5 分
(2)因为 ，所以 ， 6 分
又 ，所以 ，解得 ， 8 分
因为 ,所以 一定为锐角,所以 , 10 分
由余弦定理知 , 12 分
化简得 ,解得 或 . 13 分
16.(1)证明:设 ，因为 ，
所以 ,
所以 . 2 分
在 与 中,因为 ,
所以 ,从而 , 4 分
又 ,所以 ,即 . 6 分
因为 平面 平面 ,所以 ,
又 ,所以 平面 . 7 分
(2)解:以(1)中的 为坐标原点， ， 所在的直线分别为 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 . 8 分
设 ,因为 ,
所以 ,则 ,
所以 . 10 分设平面 的法向量为 ,
则 令 ,则 . 12 分设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
化简得 , 14 分
解得 或 (舍去),故 . 15 分
17. 解: (1) 当 时, ,易得 的定义域为 , 1 分
2 分
. 3 分
令 ,得 ,令 ,得 , 5 分
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 7 分
(2)由 对 恒成立，得 对 恒成立， 即 对 恒成立. 8 分
设函数 ,则 , 9 分
设函数 ,易得 在 上单调递减,所以 , 11 分
所以 , 12 分
则 在 上单调递减， 13 分
得 , 14 分
所以 ,即 的取值范围为 . 15 分
18. 解:(1)每箱产品中恰有 1 件不合格品的概率 , 2 分则 . 4 分
令 ,得 . 2. 当 时, ; 当 时, . 所以 的极大值点 . 2 . 6 分
(2)由(1)知 .2.
若选择方案一，则一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为 .
9 分
11 分
若选择方案二,则一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为 .
14 分
. 16 分
因为 ,所以应该选择方案一. 17 分
19.(1)解:由题可知 解得 2 分
所以椭圆 的方程为 . 3 分
(2)解:因为直线 到 轴的距离均为 ，所以 .
因为 ,所以 . 4 分
因为点 的纵坐标为 ,所以点 的纵坐标为 . 5 分
将 代入 ,得 ,即 . 6 分
故直线 的方程为 或 . 8 分
(3)证明:由题可知直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的方程为 ， ， . 当 时， , 10 分
由 得 . 11 分
因为 ,所以 ,
所以 . 当 时, . 12 分
又 , 13 分
15 分
所以 ，所以 . 16 分
当 或 时,经验证可得 .
综上, . 17 分

展开更多......

收起↑