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数学(一)
注意事项:
1. 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知复数 ,则 的虚部为
A. 1 B. i C. -1 D.
2. 已知集合 ，且 ，则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
3. 已知向量 ,若 ,则
A. B. C. 2 D.
4. 已知函数 是奇函数,则
A. -1 B. 1
C. -2 D. 2
5. 已知 ,则
A. 1 B.
C. D.
6. 直线 被圆 截得的弦长为
A. 1 B. C. 2 D.
7. 已知一圆台的上底面半径为 1,高为 ,体积为 ,则该圆台的侧面积为
A. B. C. D.
8. 已知 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， 的面积为 2( 为坐标原点),则
A. B. 点 的纵坐标为 4
C. D.
10. 已知函数 ,则
A. 曲线 在 处的切线方程为
B.
C. 不等式 的解集为
D. 当 时,
11. 已知数列 满足 ,则
A. 当 时,存在 ,使得对任意正整数 ,都有
B. 当 时,存在 和正整数 ,当 时,
C. 当 时,存在 和正整数 ,当 时,
D. 当 时,不存在 ,使得对任意正整数 ,都有
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 第 15 届全运会于 2025 年 11 月 9 日至 21 日在广州举行，为了解学生对全运会的了解程度，某教育部门从某高级中学的学生中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 300 人进行问卷调查，已知该中学商一学生 1 500 人，高二学生 2 000 人，高三学生 2 500 人，则高一年级应抽的学生人数为_____.
13. 已知 是双曲线 上关于原点 对称的两点， 是 的右焦点， ,则 的离心率为_____.
14. 若 , 当 , 使得 , 则实数 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求
(2)若 ，求 的周长的取值范围.
16.(本小题满分 15 分)
2025 世界人工智能大会于 2025 年 7 月 26 日至 28 日在上海市举行，大会号召“共商技术创新路线，共促技术成果赋能”. 某企业的 AI 产品销售部门统计了 1~5 月份的销售量(单位:万件):
月份 1 2 3 4 5
销售量 3 5 6 9 12
(1)已知可用线性回归模型拟合 与 的关系，求 关于 的经验回归方程；
(2)该企业科研部门从 1 月份与 4 月份的客户中分别随机抽取 2 位客户和 6 位客户进行电话回访，科研部门的工作人员甲从这 8 位客户中随机抽取 2 位进行回访，记甲回访客户中 1 月份的客户人数为 ,求 的分布列和数学期望.
附:经验回归方程 的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在直三棱柱 中， 为棱 上的动点，点 为 的中点.
(1)若 ，
(1)证明: 平面 ；
(II)求直线 与直线 的所成角的余弦值；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的值.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 ,设 的零点为 .
(1)求 的值；
(2)证明: 为单调数列，并求 中的最小项；
(3)证明: .
19. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍,且 经过点 .
(1)求 的方程；
(2)设 为坐标原点，过圆 上一动点 作 的两条切线，切点分别为 .
(1)证明: 恒为定值;
(II)求四边形 的面积的最大值.
数学(一) 参考答案
1. ,所以 的虚部为 -1 . 故选 C.
2. 由 ,得 ,所以 ,又 ,且 ,所以 . 故选 B.
3. 由 ,得 ,即 ,解得 ,所以 ,则 . 故选 D.
4. B 因为 为奇函数,而 是奇函数,所以 为偶函数,则 ,即 ,所以 ,所以 . 故选 B.
5. C 因为 ,所以 . 故选 C.
6. D 圆 的圆心为 ,在直线 上,圆的半径为 ,两平行直线 与 的距离为 ,所以圆心到直线 的距离 ,所以直线 被圆 截得的弦长 . 故选 D.
7. C 设圆台的下底面半径为 ,由题意知 ,整理得 ,解得 (负值舍去),设圆台的母线长为 ,则 ,所以该圆台的侧面积为 . 故选 C.
8. A 由 ,得 ,且 ,设 ,则 ,当 时, ,所以 在 上单调递增,设 ,则 ,所以 在 上单调递减,所以 ,即 ,所以 ,即 ,所以 . 故选 A.
9. ACD 由题意知 ,所以 , A 正确; 设 ,由 ,得 , B 错误; 将 代入 ，得 ，由抛物线的定义知 ， 正确； 的面积为 ， 解得 ,显然 为钝角,所以 , D 正确. 故选 ACD.
10. BCD 由题意得 ,则 ,又 ,所以曲线 在 处的切线方程为 ,即 错误; 因为 ,所以曲线 关于点 对称,所以 , B正确; 由 ,得 在定义域 上单调递减,由 ,得 解得 ,且 ,故原不等式的解集为 正确; 由 知 ,所以 ,由 ,得 ,因为 在其定义域内单调递减,所以 ,即 正确. 故选 BCD.
11. 对于 ,当 时, ,解得 ,当 时， 恒成立，故 正确；对于 ，当 时， ， ，解得 或 ,易知 ,由 可知,当 时, ,即 ,解得 ,所以一定存在 ,当 时, ,故 B 正确; 对于 , 当 时, ,令 ,可得 ,解得 或 ,令 ,解得 ,或 ,当 时,可得当 时,易求得 ; 当 时,可求得 ,故 正确,对于 ,当 时, ,令 ,则 ,解得 ,或 ,令 ,可得 ,解得 ,或 ,令 ,可得 ,解得 ,当 时,当 时, ,故 D 错误. 故选 ABC.
12.75 因为高一、高二、高三学生总人数为 6000 , 所以高一年级应抽的学生人数为 .
13. 记 的左焦点为 ，根据双曲线的对称性可知，四边形 为平行四边形，因为 ，所以四边形 为矩形,设 ,则 ,所以 ,根据双曲线的定义可知 ,则 ,所以 ,则 ,所以 ,解得 .
14. 由 ,得 ,则 ,解得 ; 由 ,得 ,解得 ,要使 R, ,使得 ,则 的区间长度不小于 解集的区间长度,所以 ,解得 ,故实数 的最小值为 .
15. 解: (1) 由 和余弦定理,得 , 2 分
则 , 3 分
显然 ,所以 , 5 分
又 ,故 . 6 分
(2)因为 ,所以 , 8 分
又 ,所以 , 9 分
所以 , 11 分
又 ,则 ,所以 ,所以 , 12 分
所以 ,
故 的周长的取值范围为 . 13 分
16. 解: (1) , 2 分
, 4 分
6 分
故 关于 的经验回归方程为 . 7 分
(2) 的取值可能为 0,1,2, 8 分
11 分
所以 的分布列为
0 1 2
15
13 分
则 . 15 分
17. ( 1 )( i )证明:因为 ，所以 为 的中点， 1 分
连接 ,因为 为 的中点,所以 ,且 为 的中点,所以 为 的中位线, 所以 , 3 分
因为 平面 平面 ,所以 平面 . 4 分
(ii)解:取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ，易证 ， ， 两两垂直，以 为原点,直线 分别为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为 ,所以 ,则 , ,所以 , 6 分
所以 , 8 分
故直线 与直线 的所成角的余弦值为 . 10 分
(2)解:在(ii)的坐标系下，设 ，
又 ,则 , 11 分
设平面 的一个法向量为 ,则 即 取 ,则 ,所以 12 分
易知 为平面 的一个法向量,
所以 , 13 分
整理得 ,解得 或 (舍), 14 分
所以 . 15 分
18.(1)解:当 时， 的定义域为 ，
,所以 在 上单调递增, 2 分
又 ,所以 在 内的唯一零点为 0,所以 . 4 分
(2)证明:由 的零点为 ，得 ，
则 , 5 分
两式相减,得 , 7 分
所以 , 8 分
又 ,所以 在 上单调递增,所以 , 9 分故 为递增数列,且 中的最小项为 . 10 分
(3)证明:令 ，则 ， 11 分
所以 在 上单调递增,则 ,所以 ,当且仅当 时等号成立.
又 ,所以 ,
因为 ,所以 , 12 分
则 ,当 时, ,所以 , 14 分
所以 , 16 分
又 ,所以 . 17 分
19.(1)解:由题意知 1 分
解得 , 3 分
故 的方程为 . 4 分
(2)(i)证明:设 ， ，若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，此时直线 的方程为 ，此时 ； 5 分
同理,若直线 的斜率不存在,则 .
若直线 的斜率都存在,设直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ,
由 得 , 6 分
因为直线 与椭圆 相切,则 ,
化简得 , 7 分
又 ，所以 ，代入上式得 ，
所以 ,即 ,所以 ,
解得 , 8 分
所以直线 的方程为 ,整理得 ,
设直线 的斜率为 ,直线 的方程为 ,同理可得直线 的方程为 ,
设 ,则 ,所以直线 的方程为 , 9 分
由 整理得 ,所以 ,
由上也可整理得 ,所以 , 10 分
又 ,所以 ,则 ,即 .
综上可知, 恒为定值 . 11 分
(ii) 解:由上可知,直线 的方程为 ,又 ,则 ,
则点 到直线 的距离为 , 12 分
原点 到直线 的距离为 , 13 分
由上可知 ,
则 14 分
15 分
所以四边形 的面积为 , 16 分所以当 时,四边形 的面积取得最大值 6 . 17 分

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