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重庆市第一中学校 2025-2026 学年高三下学期 4 月数学试题
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知正项数列 是公比不为 1 的等比数列， ，则 ( )
A. 7 B. 8 C. 12 D. 16
2. 复数 满足 (其中 为虚数单位),则复数 的虚部为( )
A. B.
C. D.
3. 已知集合 ，则 ()
A. B.
C. D.
4. 已知 的二项式系数之和为 32，则展开式中 的系数为( )
A. -80 B. -40 C. 40 D. 80
5. 一组数据共有 100 个数，其中 14 个数位于中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这 100 个数中，且平均数大于中位数，那么这组数据中小于平均数的数据占这 100 个数据的百分比是( )
A. 14% B. 36% C. 50% D. 64%
6. 若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”. 已知长方体 ， 下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是( )
A. 的长度
B. 的长度
C. 的长度
D. 的长度
7. 关于函数 ，下列说法不正确的是( )
A. 是偶函数
B. 最大值为 2
C. 是周期函数
D. 是周期函数
8. 椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，经过椭圆的另一个焦点.如图，设椭圆 的两个焦点分别为 ，光线由点 发出后射到椭圆 上的点 处，经反射后到点 ， 再经过 轴反射到椭圆 上的点 ，最后反射回点 ，若光线的总路程为 6，且 ，则直线 的斜率为( )
A. B. -2 C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 如图，平面四边形 中， 为正三角形， 为等腰直角三角形， 与 交于点 ， 若将 沿斜边 翻折，得到三棱锥 ，则下列说法正确的是( )
A. 在翻折过程中， 与 始终垂直
B. 在翻折过程中， 与 始终垂直
C. 在翻折过程中，三棱锥有可能是正四面体
D. 在翻折过程中，三棱锥有可能是正三棱锥
10. 某同学参加某高校面试时需要回答 三道题，他答对每道题的概率均为 ，且相互独立，每一道题若答对，则得 2 分，若答错，则扣 1 分；开始时他的得分为 0 分，记随机变量 为他答完第一道题时的得分， 为他答完所有题时的得分，用 、 分别表示随机变量 的期望和方差.则下列说法正确的是 ( )
A. B.
C. D.
11. 对于曲线 (其中 均为正数),下列说法正确的有( )
A. 曲线 是轴对称图形
B. 当 时，曲线 围成的封闭区域面积的取值范围为
C. 当 时，曲线 与曲线 有 4 个交点
D. 当 时，曲线 围成的封闭区域的面积小于
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知正方形 边长为 2， 为线段 的中点，若 于 ，则 _____.
13. 已知函数 ，若 有两个零点 ， ，则 _____.
14. 设集合 ，从 中任取两个不同的数，其和记为 ；集合 ，从 中任取两个不同的数，其和记为 ，则事件“ ”的概率 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知向量 ，且 ， .
(1)求 的值；
(2)在 中，内角 的对边分别为 . 若 ，求 的取值范围.
16. 如图，某几何体由半个圆锥(轴截面为 ) 和三棱锥 组成. 已知圆锥的底面半径为 1，高 为直径， 为底面圆周上异于 的动点， 为 的中点.
(1)若 ，证明:平面 平面 ；
(2)在点 运动的过程中，记直线 与底面 所成角为 ，求 的取值范围.
17. 已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若对任意 ，恒有 成立，求实数 的取值范围.
18. 已知抛物线 经过点 是抛物线 上异于点 的动点，且 .
(1)求直线 的斜率 (用 表示)；
(2)设不经过点 的直线 与 交于 两点，且直线 的斜率之和为 1.
①求证: 直线 恒过定点 ;
②若向量 ，且 ，求 的面积 的取值范围.
19. 已知正项数列 的首项 ，且满足: .
(1) 令 ，证明 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 是互不相同的正整数，求证: ;
(3)记 . 若对于任意 ，均存在正整数 ，使得 ，则称 具有“积回归性”. 请判断数列 是否具有“积回归性”，并证明你的结论.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A D B D A C A AD ABD ABD
1. B,由 ,即 .
2. A, ,虚部为
3. D,不等式 ,即 ,故 可化为 ,即 ,故 .
4. B, , ,令 ,得 , 所以 的系数为 . 选: B.
5. D,小于平均数的数有 个,占 .
6. A,设 A 正确; 可得{ ,据此无法解出 ,故 B 错误; 可得 ,据此无法解出 ,故 C 错误; 可得
{ _____; 据此无法解出 ，故 D 错误；选:A.
7. C, ,即 , 选项 A: 因为 ,所以 是偶函数; 选项 B: 当 时, ,即 ,此时 的范围为 ,所以当 时， 的最大值为 2，当 时， ，即 ，因此 的最大值为 2；选项 C:当 时， ，此时 的取值范围为[0,1]，所以 的范围为[0,2]，当 时，即 ， 因此 的值域为 ,最小值为 0 ; 选项 D: 因为 ,所以 是周期函数.
8. A，椭圆焦点 ，故 . 光线总路程为 . 已知总路程为 6,得 ,设 ,则 , 由椭圆定义: . 由反射性质: ,故 . ,解得 得 ，故 ，直线 的倾斜角为 ，斜率
9. AD,在翻折过程中, ,可得 平面 ,所以 平面 ，又 平面 ，所以 ；故 正确；当翻折使平面 平面 时，因为 ，平面 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ,所以 ,若 平面 ,所以 平面 ,因为 平面 ,所以 ,
易知 不成立，故此时 与 不垂直，故 B 错误；而正四面体为四个面均为等边三角形的三棱锥，显然 不是等边三角形，故 C 错误；在翻折过程中，当 的投影为 的中心 时,此时 平面 ,又 ,所以 ,此时三棱锥为正三棱锥,故 正确.
10. ABD, 的可能取值为 , ，记随机变量 为面试完成后答对题的数量， ， ,故 A 正确; ,故 B 正确；随机变量 与 之间没有确定的关系，故 错误； ，故 D 正确.
11. ABD,若 满足曲线 的方程,则 满足曲线 的方程,则曲线 关于坐标轴以及原点对称, A 正确; 当 时,曲线 在第一象限为线段 0),与坐标轴交于 ,则 ,且 , B 正确; 当 ,若 时,曲线 ,则 与 不会同时成立,曲线 与曲线 无交点, 错误; 当 时,曲线 , 可得曲线与 轴、 轴正半轴交点为 ，根据对称性曲线与两坐标轴的四个交点构成的四边形的面积为 ,则线段 ,即 ,而曲线 ,即 ，则曲线图形在其内部，故面积小于 ，D 正确.
12. ,设 ,因为 为线段 的中点,所以 ,则 , ,因为 ,所以 ,得 或 (舍),则 ,故 .
13. ,令 ,则 ,解得 或 ,情况一:
,即 ,在 内无解. 情况二: ,即 , 在 内,取 ,得 ; 取 ,得 . 当 时, ,不在范围内.故 , 因此 .
14. ，从集合 中任取两个不同的数，共有 种取法，其和分别为3,4,5,5,6,7，所以 时， 各有 1 种取法， 时，有 2 种取法.从集合 中任取两个不同的数，共有 种取法，其和分别为3,4,5,10， 5,6,11,7,12,13，所以 时，有 2 种取法， 其它取值都各有 1 种取法，当 时，公共取值只能是 3,4, 5, 6, 7. 对应的有利情况数分别为 1, 1, 4, 1, 1, 所以有利情况总数为 8.因此 , 故所求概率为
15. (1) ,即 .
已知 ，故 ，则 ，得 .
(2)已知 ，故 ，即 ， . 根据正弦定理得 ，
代入 化简得, ，因此: . 由 得 ，故 ，代入得 .
16.(1)因为 为直径，所以 ，又 ，所以 ， 则 ,又 为 中点,所以 ,因为 平面 平面 ,所以 ,
又 平面 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 . (2)以 为原点，以 所在直线为 轴，过点 且垂直平面 的直线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ，设 ，则 ,所以 , 平面 的一个法向量为 ,
则 ,
因为 ,所以 ,所以 .
17. (1) 当 时，函数 ，且 ，
可得 ,当 时,
,可得 ; 当 时, ,可得 ,
当 时， ，综上，当 时， 恒成立，所以 在区间 上单调递增，无单调递减区间.
(2) 函数 ，定义域为 ，若对于任意 时， 恒成立，即 ,可得 在 上恒成立,令 ,可得 ,当 时,由 ,可得 ,当 时,可得 ,
当 时,由 ,可得 ,综上,当 时, ,所以 在 上单调递减，当 时，由 ，此时 ，所以 因为 在 上恒成立，即 ，所以 ，
经验证: 当 时, ,可得 ,当 时,由 , 可得 单调递减；当 时，由 ，可得 单调递增， 所以 在 处取得最小值,且 ,此时对于任意 ,满足题意;
当 时,当 时, ,则存在充分接近 的 ,使得 ,即 , 即 ，此时不满足 恒成立，综上可得，实数 的取值范围为 .
18. (1) 将点 代入抛物线方程，得 ，所以抛物线 ，则 ，由于 ，则 ， 所以 ;
(2) ①设 ，直线 的方程为 ，所以 ，
联立 ，消去 并化简得: ，所以 ,所以 ,即 ,
所以 ,所以 ,所以直线 的方程为 ,即 ,所以直线 过定点,该点坐标为 ;
②由 ，可得 轴，且 ，联立 与 ，并令 ，得 ,则 ,且由 得 ,由 ,即 ,得 ,由于 得 ,且
,则 的面积
,
而 ,
由于 ,得 ,而 即 , 即 ,所以 ,且 ,则 且 ,由于 在 单调递减,在 单调递增，所以，当 ，当 ，当 ， 故面积 的取值范围为 .
19. (1) 由 可得 ,令 ,则 ,所以
,因此数列 是以 2 为首项,2为公差的等差数列,由 ,
因此当 时,有 ,得
由于 ，所以 ，所以 ，即 ，
当 时， ，符合上式，所以 ，
因为 是正项数列，所以 .
(2)由(1)得 ，由于 是互不相同的正整数，不妨设 ，
显然 ,并且 在 时单调递减,所以 ,
当 时， ，
当 时，由于 ，所以 ，
得 ,
即 ,
所以 ,
因此，对任意互不相同的正整数 ，都有 .
(3) 由 (1) 得 ,则 ,
对任意的 ,
所以 ,
不妨设 ,则
要使 ,即 ,得
即当 时,有 ,由于 是正整数,
因此对任意 ,均存在正整数 ,使得 ,即数列 具有“积回归性”.

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