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2025 学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学 高二年级数学学科试题
考生须知:
1. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟;
2. 答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；
3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试卷上无效;
4. 考试结束后, 只需上交答题卷。
第 I 卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的.
1. 已知复数 满足 ,则
A. B. 2 C. D. 4
2. 已知全集 ，集合 ，则
A. {1} B. {3} C. {1,2} D.
3. 已知向量 ，若 ，则
A. B.
C. D.
4. 下列椭圆中, 形状最接近于圆的是
A. B.
C. D.
5. 已知 ,函数 是偶函数,则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
6. 已知 ,则
A. B.
C. D.
7. 直线 与圆 相交于 两点,当 面积最大时, 的值为
A. 2 B. C. D. 4
8. 设 , e 是自然对数的底数,则下列结论正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在正方体 中, 分别为 的中点,则下列结论正确的是
A. 平面 B.
C. 平面 平面 D. 平面 平面
10. 已知函数 ,则下列说法正确的是
A. 是 的极值点
B. 时, 有 3 个零点
C. 时,
D. 时,过原点可作两条不同直线与 图象相切
11. 若数列 满足 ，则称数列 为 项 数列，所有 项 数列构成的集合记作 ,对任意数列 (注: 可以相同),记随机变量 ,则下列说法正确的是
A. 中有 81 个元素
B. 若 ，则 的所有可能取值的个数为 7
C. 当 时，
D. 若 的期望 ，则 的最小值为 67
第 II 卷
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知某圆锥的底面半径为 1，母线长为 2，则该圆锥的体积为_____▲_____.
13. 若多项式 ，则 _____▲_____.
14. 设抛物线 的焦点为 ,过 作一条直线与抛物线交于 两点, 为坐标原点, 的外接圆与 轴的另一个交点为 ，则 的取值范围为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)已知等差数列 满足 ，数列 的前 项和为 满足 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16. (本小题满分 15 分) 在 中,角 所对的边分别是 ,已知 , .
(1)求 ；
(2)若 上一点 满足 ,且 ,求 的面积.
17. (本小题满分 15 分) 如图 1, 为正三角形，四边形 为等腰梯形， ， ,现将 沿 翻折到 ,使 ,如图 2 所示.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)设 为侧棱 上一个动点，若二面角 的余弦值为 ，求 的长.
图 1
图 2
18. (本小题满分 17 分) 设双曲线 的右焦点为 ，已知 到一条渐近线的距离为 1,过 且垂直于 轴的直线被 所截得的弦长为 2 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设 是双曲线 上一点，已知双曲线 在 处的切线 的方程为 .
(i) 已知 分别交两条渐近线于 两点,求证: 的坐标原点) 面积是定值;
(ii) 若 在第一象限,设 与直线 交于点 ,证明: 平分 .
19. (本小题满分 17 分) 已知函数 , e 是自然对数的底数.
(1)若 ，判断 在区间 上的单调性，并说明理由；
(2)若 ， ，证明: 在区间 上有唯一极小值点 ，且 ；
(3)若 ，已知 在区间 上恰有两个零点 ， ， 设 ,记 在 上的最小值为 ,证明: . 参考数据: .
2025 学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学 高二年级数学学科参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D D A C C
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 ABD AC ABC
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 13. 10 14. .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15.【答案】
(1)由题意得 ，解得 3 分
由 得到 ,两式相减得 ,
,即 .5 分
又 是首项为 ，公比为 2 的等比数列
.7 分
(2)由条件得
由题意 ①,
于是 ②
①-②得 10 分
化简上式得
13 分 (注: 没有化出最简结果扣 1 分)
16.【答案】
(1)由 ，得到 ，即 ，于是 3 分
由 得到
,于是 ,即 .5 分结合条件可得 ,故 . .7 分
(2)由题意得 . .9 分
由正弦定理 得 ,
于是 .12 分
故 的面积为 .15 分
17.【答案】
(1)如图 1，分别取 中点 ， 中点 ，连结 、 、
显然 2 分
由条件得 .4 分
又 平面 .5 分
又 平面 ,故平面 平面 6 分
图 1
图 2
(2)由(1)知， 平面 ，以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
.8 分
设 ,
则
设平面 的一条法向量为 ,由 得
令 ,则 ,即 10 分
又平面 的一条法向量为 ,设二面角 的大小为 ,
由 为锐角,得
化简得 ,解得 或 (舍) 13 分
则 ,
故 . .15 分
18.【答案】
(1)由题意得 ，解得 ，双曲线的方程为 .4 分
(2)(i)联立 ，解得
联立 ,解得 , .6 分
由于 ,所以 .8 分
所以 的面积 .10 分
(ii) 法 1:
要证明 平分 ,即证
只需证 ,
只需证 ,即证 .12 分
易知 ,当 时,解得 ,故 .13 分
.15 分
又 ,故原命题得证. .17 分
法 2: 易知 ,当 时,解得 ,故 .11 分
由于
设
则 13 分
要证明 平分 只需证 与 共线 15 分
即证
即证 ,显然成立
平分 .17 分
19.【答案】
(1)当 时， ，则 .2 分由于 ,于是 ,故 在区间 上递增. .4 分
(2)当 时， ， ，
① 当 时，显然 在 上递增，且
由零点存在定理知必存在 使得 .6 分
② 当 时，可得
由上述讨论可知 在 递减, 递增,
故 是唯一极小值点,且有 8 分
则
.10 分
(3)当 时，
① ，显然 ，即 不存在零点，故 不合题意；
② 当 时，由于 ， ， ， 于是 至少 3 个零点,故 不合题意.
结合条件 ,可得 .12 分
由于 ,
.13 分
由条件得 ,则
① 当 时， 时， 恒成立；
② 当 时， .
在 递减,
当 时, .15 分
,
,综上所述, .17 分

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