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广东清远市2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列导数运算正确的是（）
A. B. C. D.
2.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
3.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）
A. 24 B. 48 C. 60 D. 72
4.关于排列组合数,下列结论错误的是（ ）
A. = B. =+
C. = D. +=
5.从4名男教师和2名女教师中选出3名教师，分配到3个班担任班主任(每班一个班主任)，要求男女教师都要有，则不同的安排方法种数为（）
A. 96 B. 72 C. 60 D. 16
6.函数的大致图象为（　　）
A. B.
C. D.
7.展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 30 D. 90
8.若函数f（x）=ex-ax2在区间（0，+∞）无零点但有2个极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. 0＜a＜e D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点（0，1）是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
10.身高各不相同的六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，则说法正确的是()
A. A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B. A与C同学不相邻，共有种站法
C. A，C，D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
11.设，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为 .
13.设是定义在R上的可导函数，且满足，则不等式解集为 ．
14.已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=-+12x+b在x=2处取得极小值5.
(1)求实数a,b的值;
(2)当x[0,3]时,求函数f(x)的最大值.
17.(本小题15分)
设函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间与极值；
(3)求出方程的解的个数.
18.(本小题17分)
已知的展开式中仅有第6项的二项式系数最大（结果用数值作答）.
(1)求的展开式中的系数；
(2)令，证明能被7整除；
(3)若，求实数.
19.(本小题17分)
已经函数，，其中.
(1)若，求的增区间；
(2)当，时，证明不等式恒成立；
(3)若有两个零点，求a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】AB
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为从男生中选2人有,从女生中选2人有，
所以共有=种.
故从男生和女生中各选2人，有60种选法；
（2）因为男生的甲和女生的乙必须在内，
所以即在剩下的7人中选2人，即有种.
故如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有21种选法；
（3）分三类：
第一类：甲在乙不在，有种；
第二类：乙在甲不在，有种；
第三类：甲乙都在，有种.
共有35+35+21=91种.
故如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有91种选法.
16.【答案】解：(1)f'(x) =-2ax+12，
因为f(x)在x=2处取得极小值5，
所以f'(2)=24-4a+12=0,
解得a=9,
此时f'(x)=-18x+12=6(x-1)(x-2)，
令f'(x)>0,解得x<1,或x>2,令f'(x)<0,解得1< x<2,
所以f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+)上单调递增，
所以f(x)在x=2时取极小值,符合题意，
所以a=9,f(x)=-+12x+b，
又f(2)=4+b=5,所以b=1，
综上,a=9,b=1；
(2) 由(1) 知f(x) =-+12x+1，
f'(x) =6( x-1) ( x-2)，
列表如下:
由于6<10,
故x[0,3]时,f=f(3)=10.
17.【答案】【详解】（1）由，
所以，且，
所以曲线在处的切线方程为，
即；
（2）因为，
令，得或，
所以当或时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以的单调递增区间为；的单调递减区间为.
的极大值为；的极小值为；
（3）由（2）可知函数的单调性和极值，
画出和得图象，
可得当或时，方程的解为1个；
当或时，方程的解为2个；
当时，方程的解为3个.

18.【答案】解：（1）方法一：展开式中仅有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，，
展开式的通项为Tr+1=，r=0，1，2，…，10，
令，得的系数为.
方法二：由题意得，解得，又，所以.
展开式的通项为Tr+1=，r=0，1，2，…，10，
令，得的系数为.
（2）证明：
，
所以能被7整除.
（3）
，
∴.
令得，
.

19.【答案】解：（1）若，，（）；
的定义域为，
，
令，解得，
所以若，的增区间为（或写）.
（2）当，时，要证明不等式恒成立，
即证明恒成立；
令，
∴，
当，∴，即在上单调递增，
∴，
即（），
令，
∴，
∵，∴，即在上单调递增；
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴成立，
即当，时，不等式恒成立.
（3）（）有两个零点，即方程有两个解；
等价于方程有两个解；
等价于与的图象有两个交点；
，
令，解得，
当时，，的图象单调递增；
当时，，的图象单调递减；
当时，有极大值也是最大值，；
时，，
时，，
∴，
即有两个零点时，a的取值范围为.

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