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2025-2026学年天津市滨海新区塘沽紫云中学高一（下）第一次学情检测数学试卷
一、单项选择题：本大题共12小题，共48分。
1.化简等于（　　）
A. B. C. D.
2.设平面向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 6
3.已知为不共线的非零向量，，，，则（　　）
A. A，B，C三点共线 B. A，B、D三点共线 C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线
4.设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于( )
A. B. C. 2 D. 3
5.已知一个水平放置的平面四边形ABCD的直观图是面积为2的正方形，则原四边形ABCD的面积为（　　）
A. 2 B. C. 2 D. 4
6.在△ABC中，a,b,c分别是内角A，B，C的对边，已知BC=3，AC=，sinB=，则角A=（　　）
A. B. C. 或 D. 或
7.已知向量=（3，4），=（5，0），那么向量在向量上的投影向量为（　　）
A. 3 B. 5 C. （3，0） D.
8.已知的三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c，则“”是“为直角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知=（1，3），=（m，4），若与的夹角为锐角，则实数m的取值范围是（　　）
A. （-∞，-12） B. （-12，+∞）
C. （-12，）∪（，+∞） D. （-12，）∪（，+∞）
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC的面积为（　　）
A. B. C. D.
11.如图在△ABC中，∠ABC=90°，F为AB中点，CE=3，CB=8，AB=12，则=（　　）
A. -15
B. -13
C. 13
D. 15
12.圣 索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为35m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为15°，则犇犇估算索菲亚教堂的高度CD约为（结果保留整数）（　　）
A. 44m B. 47m C. 50m D. 53m
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.i是虚数单位，复数= ．
14.已知单位向量，的夹角为45°，k-与垂直，则k=______．
15.下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，各侧棱也平行；
④被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中说法正确的序号有 .
16.若向量，满足||=3，|-|=5， =1，则||= .
17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cosA=______．
18.在平行四边形ABCD中，AB=2AD=2，，E，F分别为边BC，CD上的动点.若，，则= ；若，k∈[0，1]，则的取值范围是 .
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
已知复数z1=a+3i（a∈R），z2=3-i,且z1-z2为纯虚数.
（1）求a；
（2）若|z|=|z2|，且z-z1为实数，求z.
20.(本小题12分)
已知=（1，2），=（-3，1）．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；
（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．
21.(本小题12分)
在△ABC中，A，B，C的对边分别是a,b,c,已知（a-2b）cosC=c（2cosB-cosA）.
（1）求的值；
（2）若，△ABC的面积为，求c.
22.(本小题12分)
在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，=（cosA，sinA），=（cosA，-sinA），向量，的夹角为．
（1）求角A；
（2）若a=，求△ABC周长的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】D
13.【答案】4-i
14.【答案】
15.【答案】③④
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】3
[1，3]

19.【答案】3 z=1+3i 或z=-1+3i
20.【答案】解：（Ⅰ）=（1，2）-2（-3，1）=（1+6，2-2）=（7，0）．
（Ⅱ）=．
（Ⅲ）因为向量与互相垂直，
所以（） （）=0，即
因为=5，，
所以5-10k2=0，解得．
21.【答案】2
22.【答案】解：（1）∵=（cosA，sinA），=（cosA，-sinA），
∴由题知：||=||=1，
∵与的夹角为，
∴cos==cos2A-sin2A，即cos2A=-，
又∵0＜A＜，0＜2A＜π，
∴2A=，故A=．
（2）由正弦定理，得=1，
可得b=sinB，c=sinC，
又因为△ABC为锐角三角形，可得B∈（，），
可得b+c=sinB+sinC=sinB+sin（-B）=sinB+（cosB+sinB）=sinB+cosB=sin（B+），
由于B∈（，），可得B+∈（，），可得sin（B+）∈（，1]，
可得b+c=sin（B+）∈（，]，
可得△ABC周长a+b+c的取值范围为（，]．
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