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2025-2026学年河北省秦皇岛实验中学高二（上）月考数学试卷（1月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.椭圆+=1的焦点坐标为（　　）
A. （0，±3） B. （0，±4） C. （±3，0） D. （±4，0）
2.已知直线，则下列结论正确的是（　　）
A. 直线l的倾斜角为 B. 直线l过点
C. 直线l的一个方向向量为 D. 直线l的斜率为
3.过点P（2，-1）的直线与圆C：（x+1）2+（y-1）2=5相切，则切线长为（　　）
A. B. C. D.
4.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（　　）
A. B. C. D.
5.若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（　　）
A. B. C. 或 D. 或
6.“m＞2”是“方程表示双曲线”的（　　）条件.
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知点（1，1）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，则C的焦点到其准线的距离为（　　）
A. B. C. 1 D. 2
8.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2-2x+4y+4=0，则下列结论正确的是（　　）
A. 两圆相交 B. 公共弦方程为x-2y+4=0
C. 两圆有两条公切线 D. 公共弦长为
10.已知椭圆C：16x2+25y2=400的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则（　　）
A. 椭圆C的焦距为6 B. 存在点P，使得∠F1PF2为钝角
C. △PF1F2的周长为16 D. 若∠F1PF2=，则=
11.设抛物线C：y2=4x,F为其焦点，P为抛物线C上一点，则下列结论正确的是（　　）
A. 若P（1，2），则|PF|=2
B. 若P点到焦点的距离为3，则P的坐标为
C. 若A（3，2），则|PA|+|PF|的最小值为4
D. 过焦点F作斜率为2的直线与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是______．
13.过点且渐近线与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为 ．
14.双曲线的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8；M是双曲线上的一点，且|MF1|=5，则|MF2|= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C：x2+y2=4．
（Ⅰ）求过点P（2，1）且与圆C相切的直线方程；
（Ⅱ）已知直线x-y-m=0被圆C截得的弦长为，求实数m的值．
16.(本小题15分)
已知椭圆的左焦点为F（-1，0），短轴长为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F、斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积.
17.(本小题15分)
设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB中点M的横坐标为2，且|AF|+|BF|=6．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l（斜率存在）经过焦点F，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
已知一动圆与圆C1：（x+2）+y2=1、圆C2：（x-2）+y2=9都外切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程C；
（2）若直线y=kx-1与（1）中所得曲线C交于M、N两点，且|MN|=6，求k的值．
19.(本小题17分)
直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过点（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（2，1），直线与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
①求直线l的斜率；
②若 =0，求直线l的方程．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】9
15.【答案】解：（I）当x=2时，显然满足题意，
当斜率存在时，设直线方程为y-1=k（x-2），即kx-y+1-2k=0，
则圆心（0，0）到直线kx-y+1-2k=0的距离=2，
解得，k=-，此时直线方程为3x+4y-10=0；
（II）圆心（0，0）到直线x-y-m=0的距离d=，
由题意得，
所以m=2或m=-2．
16.【答案】解：（1）因为椭圆C的左焦点为F（-1，0），短轴长为2，
所以c=1，2b=2，
解得b=1，
则a2=b2+c2=2，
故椭圆C的方程为；
（2）易知直线l的方程为y=x+1，
不妨设A（x1，y1）B（x2，y2），
联立，
解得，，
则△AOB的面积S=S△OAF+S△OBF=
==．
17.【答案】解：（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则线段AB中点M的横坐标为x==2，
∴x1+x2=4，又|AF|+|BF|=x1+x2+P=4+P=6，解得P=2，
∴抛物线C的标准方程为y2=4x；
（II）由（I）知，抛物线C的焦点为F（1，0），
故可设直线的方程为y=k（x-1），k≠0，
联立方程组，消去y，
得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2==4，
解得k=±，
直线l的方程为y=±（x-1）．
18.【答案】解：（1）由题意设动圆半径为r,则|PC1|=1+r,|PC2|=3+r,∴|PC2|-|PC1|=2＜|C1C2|=4，
故圆心P的轨迹是以|C1C2|为焦点的双曲线的左支（去掉顶点），
其方程为．
（2）直线y= kx-1与联立得：（3-k2）x2+2kx-4=0，易知3-k2≠0，
设M（x1，y1），N（x2，y2） 则，
故|MN|=6==，
得10k4-57k2+77=0，
∴ 或 （舍去），
故答案为：k=-．
19.【答案】解：（1）离心率为，即e==，
椭圆过点（1，），可得+=1，
又a2-b2=c2，
解得a=2，b=1，
可得椭圆方程为+y2=1；
（2）①设直线l的方程为y=kx+t，
代入椭圆x2+4y2=4，可得
（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=-，x1x2=，
即有AB的中点横坐标为-，
纵坐标为t-k ，即，
由线段AB被直线OP：y=x平分，
可得= （-），
解得k=-，
直线l的斜率为-；
②若 =0，即（x1-2，y1） （x2-2，y2）=0，
且y1=-x1+t，y2=-x2+t，
即有（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+）x1x2-（2+）（x1+x2）+4+（t-1）2=0，
可得×（2t2-2）- 2t+4+（t-1）2=0，
解得t=1，
则所求直线方程为y=-x+1．
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