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2025-2026学年内蒙古包头九中外国语学校高二（下）月考数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.以下求导正确的是（　　）
A. B. （cosx）′=sinx
C. D. （3x）′=x 3x-1
2.设，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为（　　）
A. -1 B. -4 C. 1 D. 4
3.已知函数f（x）的图象如图所示，下列正确的是（　　）
A. f′（2）＜f′（3）＜f（3）-f（2）
B. f（3）-f（2）＜f′（2）＜f′（3）
C. f′（3）＜f′（2）＜f（3）-f（2）
D. f′（3）＜f（3）-f（2）＜f′（2）
4.函数y=xex的单调减区间是（　　）
A. （-∞，1） B. （-∞，-1） C. （1，+∞） D. （-1，+∞）
5.若函数f（x）=x3+x2+ax-1在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围（　　）
A. B. C. D.
6.若直线y=ax+b是曲线y=ex的一条切线，则b=（　　）
A. a（1+lna） B. a（1-lna） C. a（1+ea） D. a（1-ea）
7.若x＝-2是函数f(x)＝(x2＋ax-1)ex-1的极值点，则f(x)的极小值为（ ）
A. -1 B. -2e-3 C. 5e-3 D. 1
8.已知函数f（x）=exlna-ax（a＞1），若f（x）≥0恒成立，则实数a的值为（　　）
A. e B. C. e2 D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图是导函数y=f′（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A. （-1，3）为函数y=f（x）的单调递增区间
B. （3，5）为函数y=f（x）的单调递减区间
C. 函数y=f（x）在x=0处取得极大值
D. 函数y=f（x）在x=5处取得极小值
10.已知函数f（x）=x3-ax+2（a∈R），则（　　）
A. 当a＜0时，函数f（x）存在极值点
B. 若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为直线y=2x,则a=1
C. 点（0，2）是曲线y=f（x）的对称中心
D. 当a=1时，函数f（x）有三个零点
11.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），则下列命题正确的是（　）
A. 当x＞0时，f（x）=-e-x（x-1）
B. 函数f（x）有3个零点
C. f（x）＜0的解集为（-∞，-1）∪（0，1）
D. x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|＜2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=ln（x-1）过点（1，0）的切线方程为 .
13.已知函数f（x）=ex-ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
14.已知函数f（x）=e3x-1，g（x）=+lnx，若f（m）=g（n），则n-m的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求下列已知函数的导函数：
（1）f（x）=3x+x2；
（2）f（x）=cos2x-sin2x；
（3）y=（x+1）（x+2）（x+3）.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=lnx+x2+ax+2在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y=0垂直.
（1）求a；
（2）求f（x）的单调区间和极值.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=ex-ax．
（1）求函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，记函数f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）≤1．
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）若b=0，且f′（x）≥0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y=f（x）是中心对称图形；
（3）若f（x）＞e2-1当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=xlnx-k（x-1），k∈R.
（1）当k=1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有1个零点，求证：k＞1；
（3）若f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，求正整数k的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】BC
11.【答案】BCD
12.【答案】x-ey-1=0
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】f′（x）=3xln3+2x f′（x）=-2sin2x y′=3x2+12x+11
16.【答案】解：（1），则，
由题意可得，解得a=-3；
（2）由a=-3，故f（x）=lnx+x2-3x+2，
则，x＞0，
故当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
故f（x）的单调递增区间为、（1，+∞），f（x）的单调递减区间为，
故f（x）有极大值，
有极小值f（1）=ln1+12-3×1+2=0．
17.【答案】（1）解：由题知函数f（x）定义域为R，求导得f'（x）=ex-a，
①当a≤0时，f'（x）=ex-a＞0恒成立，
所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，当f'（x）=0时，解得x=lna，
所以f'（x）＜0时，x＜lna；f'（x）＞0时，x＞lna，
所以f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
综上所述：a≤0时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
（2）证明：由（1）得f（x）的最小值为g（a）=elna-alna=a-alna（a＞0），
设g（x）=x-xlnx，x＞0，则g'（x）=-lnx，
令g'（x）=0，得x=1，
当g'（x）＞0时，0＜x＜1；当g'（x）＜0时，x＞1，
所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以g（x）的最大值为g（1）=1-ln1=1，
所以g（a）≤1．
18.【答案】-2e；
证明见解析；
[，+∞）．
19.【答案】f（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
证明见解析；
3．
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