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北京市第一○一中学2025-2026学年度第二学期高一数学统练二
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.函数的图象的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
2.已知，，，则向量与向量的夹角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 135°
3.在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若＝m+n，则m﹣n的值为（　　）
A. ﹣ B. ﹣1 C. 1 D.
4.sin1.5，cos1.5，tan1.5的大小关系为( ).
A. tan1.5>sin1.5>cos1.5 B. sin1.5>tan1.5>cos1.5
C. sin1.5>cos1.5>tan1.5 D. tan1.5>cos1.5>sin1.5
5.直线y=1被函数f(x)=2(x+)(>0)的图象所截得线段的最小值为,则=( )
A. B. C. D. 3
6.已知实数是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知向量，满足，，则在上的投影为（ ）
A. B. 1 C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数在区间上的最大值是
9.在平面内，为的中点，动点满足，动点满足，则的最大值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
10.设函数，有下列四个命题：
①是奇函数；
②是周期函数；
③存在无数个零点；
④，，使得且.
其中真命题的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知平面向量，若与共线，则的值为 ．
12.已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则 .
13.已知，则 ．
14.已知函数，那么函数的最小正周期是 ：若函数在上具有单调性，且，则 .
15.已知ABC的外心是O,其外接圆半径为1,设=+,则下列论述正确的是 .
若=-1,=0,则ABC为直角三角形;
若==-1,则ABC为正三角形;
若=-1,=-,则ABC为顶角为的等腰三角形;
若=-,=-2,则++=-.
三、解答题：本题共3小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题25分)
已知.
（1）化简，并求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，，求的值.
17.(本小题25分)
设函数，已知，，在区间上单调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在．
(1)求的值；
(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：为函数的图象的一个对称中心；
条件②：直线为函数的图象的一条对称轴；
条件③：函数的图象可由的图象平移得到．
注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.(本小题25分)
在中，.
(1)设点为边靠近点的三等分点，，求的值；
(2)设点是线段的等分点，其中，.
（i）当时，求的值；（用含的式子表示）
（ii）求的值．（用含的式子表示）
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】-1
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】 ； ； ； ； ； ；
15.【答案】①②③
16.【答案】解：（1）由，
所以；
（2）；
（3）由得，，
又，所以，所以，
又，
所以.

17.【答案】解：（1）由，知，从而.
而在区间上单调，的周期为，
这意味着，即，故.
注意到，从而有：
，，
所以，，即，而，故.
从而，故.
若选择条件①，则为函数的图象的一个对称中心，从而这等价于，
所以，从而，故，
所以，由知，故，故，；
若选择条件②，则直线为函数的图象的一条对称轴，从而，
而在区间上单调，，故.
从而，所以，故，
所以，由知，故，故，；
若选择条件③，函数与的振幅不一致，无法通过平移得到，
故不能选择；
（2）条件等价于，关于的方程即在上恰有一个解.
记，则，从而和一一对应，
这就表明条件等价于关于的方程在上恰有一个解.
设，则在上递增，在上递减，，，.
此时，若，则，方程无解，不满足条件；
若，则当时，；
当时，.
故方程在上无解，不满足条件；
若，由，，，
知方程在和上各至少有一个根，
从而在上至少有两个根，不满足条件；
若，则当时，.
故方程在上无解；
而在上单调，且，，
所以方程在上恰有一个根.
这就表明方程在上恰有一个根，满足条件；
若，则，当且仅当时等号成立.
而，故当且仅当时等号成立，
故方程在上恰有一个根，满足条件.
综上，的取值范围是.

18.【答案】解：（1）解：因为，
而点为线段靠近点的三等分点，所以，所以，
所以.
（2）解：（i）由题意得，,,
,,
所以.
所以.
（ii）对任意正整数，且，，,
由，，
所以，
所以，，，
当为奇数时，，
当为偶数时，
所以，，.
所以
.

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