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2025-2026学年河北省保定市徐水区九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与2互为倒数的是（　　）
A. 5 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.1
2.如图，∠1是△ABC的外角，则∠1的度数为（　　）
A. 115°
B. 75°
C. 65°
D. 60°
3.河北省在每年4月23日“世界读书日”前后都会举办系列阅读活动.为了解学生们的阅读情况，数学老师统计某班40名学生30天内去图书馆的次数，并将结果绘制成如图所示的统计图，则40名学生去图书馆次数的众数是（　　）
A. 2次 B. 10人 C. 3次 D. 3.5次
4.若m＜1，则-2m的取值范围为（　　）
A. -2m＜2 B. -2m＞2 C. -2m＜-2 D. -2m＞-2
5.、将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱a的线段可以是（　　）
A. FG
B. EF
C. GQ
D. FP
6.数8×10-1在如图所示的数轴上的大致位置可能是（　　）
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，，求证：四边形ABCD是平行四边形.珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（　　）
A. AD=BC B. ∠A+∠B=180° C. AB=CD D. ∠B+∠C=180°
8.现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流I1，I2（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它们的图象如图所示.平行于R轴的直线l分别交两图象于点A，B.过点A，B分别作R轴的垂线，垂足为C，D，则图中阴影部分的面积表示的实际意义是（　　）
A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值
C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值
9.图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB=4，沿垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿OB向右平移至扇形O′A′C′，其中O′C′与交于点D，CD=2，如图2所示，则∠CBD的度数为（　　）
A. 25° B. 30° C. 45° D. 60°
10.如图，在平面直角坐标系中，A（-3，3），B（0，1），D（-6，-2），E（0，-6），F（0，-2），若以AB为边的三角形与△DEF位似，则这两个三角形的位似中心可能为（　　）
A. （0，6） B. （0，7） C. （-2，0） D. （-1.5，0）
11.已知两个正多边形的边数的比为4：1，每个内角度数的比为5：2，求这两个正多边形的边数.小明和小芳分别设了2种不同未知数，并列出方程.
小明设两个正多边形的边数分别为4x和x,列得方程：，
小芳设两个正多边形的每个内角度数分别为5y和2y,列得方程：.
则下列说法正确的是（　　）
A. 小明的方法正确 B. 小芳的方法正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确
12.任取一个非零整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数.就将该数除以2，这叫把该数进行1次运算.在平面直角坐标系中，将点（x,y）（其中x与y均为非零整数）中的x,y分别按上述运算得到新点的横、纵坐标.例如：点（-6，3）经过1次运算得到点（-3，10），经过2次运算得到点（-8，5）；以此类推.若点（a,b）（其中a,b均为非零整数）经过10次运算后得到点（1，-1），则点（a,b）不可能是（　　）
A. （210，-1） B. （210，-2） C. （210，-210） D. （210，-28）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图1所示的桔槔是一种原始的汲水工具，图2是示意图，架子OM⊥水平地面EF，杠杆AB绕点O旋转，当点A旋转到∠AOM=46°时，∠B的度数为 .
14.若与可以合并，则最小的正整数a是 .
15.将三张大小一样的正方形纸片按如图所示的方式重叠地放置在长方形ABCD内部，AB=10.将中间的正方形纸片上下平移时，阴影部分的面积和不变.设EF=m,则每个正方形纸片的周长为 （用含m的式子表示）.
16.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=16，AB=4，点E，F分别在边AD，BC上，且AE=4，小明将矩形纸片ABCD沿着EF折叠，点A，B分别落到点A′，B′处.在点F从点C运动到点B的过程中，当线段B′F与边AD有交点时，设交点为点P，则DP的最大值为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
分式计算的部分过程如图所示，按要求完成下列小题.
解：
=…第一步
（1）第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了______（填字母）；
A.整式乘法 B.因式分解
（2）请你在图中的虚框中完成该分式的计算.
18.(本小题9分)
定义：使a-b=ab-1成立的一对有理数a、b称为“相伴有理数对”，记作（a,b）.例如：因为5-1=5×1-1，所以（5，1）是“相伴有理数对”.
（1）判断数对是否为“相伴有理数对”.并通过计算说明理由；
（2）若（n,-n）是“相伴有理数对”.求n的值；
（3）若（x,y）是“相伴有理数对”，求（x+1）（y-1）+2的值.
19.(本小题9分)
在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图1所示的正整数后，背面向上，洗匀放好.
（1）以卡片上的数字作为三角形的三边长.从中随机抽取一张.上面的数字能构成三角形.该事件属于______（填“随机”“必然”或“不可能”）事件；
（2）先从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张，补全如图2所示的树状图.并求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率.（勾股数指可以构成直角三角形三边的一组正整数）
20.(本小题9分)
如图1所示的开元寺塔位于河北省定州市，是现存最高的砖木结构古塔.某综合实践小组尝试利用无人机（无人机限高50米）测算开元寺塔的高度AB.如图2和图3，当无人机位于高度为28米的C处（即CD=28米）时，测得塔顶A处的仰角α为45°.
（1）若CE=m米，则开元寺塔的高度AB为______米（用含m的式子表示）；
（2）嘉嘉发现.用现有数据.测量不出塔的高度.于是组内的淇淇又测量了下列两组数据：数据①：如图2，当无人机在C处时，测得塔底B处的俯角β为26.6°；数据②：如图3，当无人机从C处水平后退56米到达F时，测得塔顶处A的仰角γ为26.6°.请你任意选择一组数据.计算出开元寺塔的高度AB.（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5）
21.(本小题9分)
某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库.甲平均每小时扫描200件快递入库，乙平均每小时送150件快递出库.某天仓库里原有若干件快递，甲工作2小时后，乙开始工作，又过了3小时后，甲离开，乙按原速工作.当天仓库里的快递数量y（件）与时间x（小时）之间的部分关系图象如图所示.
（1）该天仓库里原有______件快递，点A的坐标为______；
（2）分别求2＜x≤5和5＜x≤10时，y与x之间的函数解析式；
（3）已知仓库里的快递数量不少于a件称作仓库“半饱和”，该天“半饱和”状态持续了小时，求a的值.
22.(本小题9分)
如图1和图2，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D在边AC上（不与点A，C重合），连接BD，并将BD绕点D逆时针旋转90°得到DE.
（1）如图1，连接CE，过点D作DF⊥AC，交BC于点F
①若AB=9，AD=5，则DF=______；
②求证：△BFD≌△ECD；
（2）如图2，将△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，过点A作AM⊥BC于点M，连接A′E，BE，DM.
①判断∠BMD与∠BA′E之间的数量关系，并说明理由；
②若A′E的最小值为，请直接写出AC的长.
23.(本小题9分)
【综合与实践】中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分.数学课上老师让同学们在各种形状的卡纸上做出扇面.
（1）小明想在如图1所示的直径为10的圆形卡纸⊙O（AB是直径）中，剪下扇形ABC（点C在⊙O上，且C为扇形的圆心）作为扇面.
①∠ACB的度数为______；
②请利用直尺和圆规在图1中画出扇形ABC；
（2）小冀设计出如图2所示的扇面，并标出相应数据：，（和所在圆的圆心是同一点），EG=12.要想准确在卡纸上画出该扇面，需要确定所在圆的圆心O1，如图2所示.
①小冀发现，请你帮他证明这一结论；
②在①的基础上，请你通过计算判断，小冀设计的扇面能不能从一张直径为28的圆形卡纸中完整裁出；（参考数据：）
③在①的基础上，小颖在如图3所示的正方形卡纸MNPQ中完整裁出了小冀设计的扇面，且正方形MNPQ的边PQ，MQ分别与相切于点K，T，点E，F分别在边MN，NP上，且整个图形关于直线NQ成轴对称，请直接写出正方形卡纸MNPQ的边长.（参考数据：，
24.(本小题9分)
如图1和图2，抛物线L：y=a（x+1）（x-3）（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，-3）.
（1）求a的值；
（2）将抛物线L沿x轴平移得到抛物线L′，抛物线L′的对称轴为直线x=d.
①抛物线L′的解析式为y′=______；
②在①的基础上，若对于任意实数x,都有y′≥-2x-2，求d的最小整数值；
（3）如图1，连接BC，M是直线BC下方抛物线L上一动点，当四边形ABMC的面积最大时，求点M的坐标；
（4）如图2，过点A作两条直线分别交抛物线L位于第四象限内的点P，Q，分别交y轴于点E，F，且OE OF=e.小明发现，当e为定值时，直线PQ必定经过某一定点，请你直接写出该定点的坐标（用含e的式子表示）.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】C
12.【答案】B
13.【答案】46°
14.【答案】3
15.【答案】40-8m
16.【答案】8
17.【答案】B
18.【答案】不是“相伴有理数对”，
根据题意可知，a=3，，
∴，
，
∵，
∴不是“相伴有理数对” n=-1 2
19.【答案】随机
20.【答案】（m+28
） 开元寺塔的高度AB为84米
21.【答案】200;（2，600） y=50x+500（2＜x≤5）；y=-150x+1500（5＜x≤10） a=650
22.【答案】①4；②∵DF⊥AC，
∴∠FDC=∠A=90°
∴DF∥AB，
∴∠DFC=∠ABC=45°，
∴△DFC为等腰直角三角形，
∴DF=DC，∠BFD=180°-45°=135°，
由旋转性质：BD=DE，∠BDE=90°，
∴∠BDF+∠FDE=90°，又∠EDC+∠FDE=90°，
∴∠BDF=∠EDC，
∵∠ECD=∠DCE+∠ACB=90°+45°=135°，
∴∠BFD=∠ECD，
在△BFD和△ECD中：
，
∴△BFD≌△ECD（SAS） ①∵将△ABD沿BD翻折得到△A′BD，
∴△ABD≌△A′BD，
∴AB=A′B，AD=A′D，∠BAD=∠BA′D=90°，∠ABD=∠A′BD，
∵BD绕点D逆时针旋转90°得到DE，
∴BD=ED，∠BDE=90°，
∴△DBE是等腰直角三角形，
∴∠DBE=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠DBE=45°，
∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠CBE，
∴∠ABD=∠CBE，
∵∠ABD=∠DBA′（翻折性质），
∴∠DBA′=∠CBE，
∴∠DBA′-∠CBA′=∠CBE-∠CBA′，
即：∠DBM=∠A′BE，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB=90°，
在△ABM中，∠BAM=45°，
∴，
∵AB=A′B，
∴，
∵△DBE是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在△BMD和△BA′E中，
∵，
∠DBM=∠A′BE，
∴△BMD∽△BA′E，
∴∠BMD=∠BA′E；②2
23.【答案】①∠ACB=90°；②扇形ABC，如图1即为所求； ①设和的公共圆心角为n°，
根据弧长公式得：=，=，
∴=；②小冀设计的扇面不能从一张直径为28的圆形卡纸中完整裁出；③正方形卡纸MNPQ的边长为
24.【答案】1 ①（x-d）2-4；②2 该定点的坐标为（3，-e）
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