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2025-2026学年福建省福州一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.在5，-，0，-这四个数中，最小的数是（　　）
A. 5 B. - C. 0 D. -
3.如图所示的几何体是一个被切去一角的正方体，则其左视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.下列运算正确的是（　　）
A. 3a2-a2=3 B. a a-1=1（a≠0）
C. （-3ab2）2=-6a2b4 D. （a+b）2=a2+b2
5.一次函数y1=-x+7与正比例函数y2=x,若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（　　）
A. x＞3 B. x＜3 C. x＞4 D. x＜4
6.一副三角板如图所示摆放，当AB∥DE时，∠1的度数为（　　）
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 75°
7.下列命题是真命题的是（　　）
A. 四条边都相等的四边形是正方形
B. 菱形的对角线互相垂直
C. 平行四边形、菱形、矩形都是轴对称图形
D. 顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形一定是菱形
8.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米.停车场内车道的宽度相等，若停车位的总占地面积为544平方米.求车道的宽度（单位：米），设停车场内车道的宽度为x米，根据题意所列方程为（　　）
A. （40-2x）（22-x）=544 B. （40-x）（22-2x）=544
C. （40-2x）（22-2x）=544 D. （40-x）（22-x）=544
9.如图，4个正方形的边长均为2r,则涂色部分的面积是2r×2r-πr2的图有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过点A（1，y1），B（4，y2），C（7，y3），记该抛物线的对称轴为x=h,若y2＜y1＜y3，则下列推断正确的是（　　）
A. 2.5＜h＜4 B. 4＜h＜5.5 C. 2.5＜h＜5.5 D. 1＜h＜2.5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若一元一次方程ax+b=0的解是x=1，则a,b的关系是互为 .
12.党的二十大报告明确指出，阅读能力是高质量人才素质的重要组成部分.下表是某班50名学生三月阅读量统计表，则该班学生三月阅读量的平均数为 .
三月阅读量（本） 1 2 3 4
人数 20 15 10 5
13.反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则k1，k2，k3的大小关系为 .（用“＜”连接）
14.将正五边形和正八边形按如图所示的方式摆放，则∠1的度数为 .
15.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，有两边的长为3，4，则斜边上的中线长为______．
16.图1所示的手机平板支架由托板、支撑板和底座构成，图2是其侧面结构示意图.已知托板AB=150mm,BC=80mm,托板AB固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板CD可绕点D转动.支撑板长CD=140mm,若∠DCB=75°，∠CDE=60°，点A到底座DE的距离是 mm.
三、解答题：本题共9小题，共92分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：.
18.(本小题5分)
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD的延长线上，连接AE、AF、EF，且∠AEF=∠AFE.求证：BE=DF.
19.(本小题5分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0.
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求k的值.
21.(本小题10分)
小雅和妈妈参加学校组织的“爱心义卖”活动.妈妈看中了一款标价为30元/件的学习用品.摊主提供两种购买方式：
方式A：直接打七折；
方式B：参与一次抽奖决定折扣.规则如下：
在一个不透明袋子里装有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球2个、蓝球2个.
顾客从中随机摸出一个球，不放回，再摸出第二个球.如果两次摸出的球颜色相同，则按标价打六折；如果颜色不同，则按标价打九折.
妈妈觉得“六折很便宜”，于是想选方式B.
请解答下列问题：
（1）求妈妈以六折价格买到该学习用品的概率；
（2）小雅说：“如果我们要买很多件，其实方式A可能更省钱.”你同意小雅的说法吗？请通过计算说明理由.
22.(本小题15分)
新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上.请按要求完成下列问题（其中作图部分不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）：
（1）S△ABC=______；sin∠ABC=______；
（2）请仅用无刻度直尺作出△ABC的垂心G；
（3）请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P；使.
23.(本小题15分)
以隧道横截面底部所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系测量，拱M的顶点C距地面（x轴）6米，隧道入口底部宽度AB为12米.
（1）求拱M所在抛物线的函数表达式；
（2）为应对不同降雨量，现准备在隧道内安装可调节的预警浮标F.浮标F可沿隧道中轴线（y轴）上下浮动.当水位上涨时，浮标F随水面上升，当它触发位于拱顶C的传感器时，警报响起、研究发现，浮标F触发警报时，水面宽度为米.请你求出此时浮标F所在水面的水位高度；
（3）为应对暴雨，现设隧道全长为300米，由于排水系统故障导致排水不畅，积水以1米/分钟的速度匀速上涨.一辆运送抢救物资的电动救援艇高为3米、宽为4米，忽略救援艇的长度和其没入水中部分的高度，在t=0时刻从隧道入口出发，以20千米/小时的速度匀速通过隧道.隧道内设置“动态安全通行系统”：当救援艇顶部与隧道顶部的净空高度（即救援艇顶部与隧道内部空间的最小垂直高度）≤0.3米时，系统判定为危险，禁止救援艇继续通行.设t=0时刻水面高度为1米.问：救援艇能否在触发危险警报前完全通过隧道？请通过计算说明理由.
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-3的图象过点A（1，s）、B（3，s），其中s是实数.
（1）求a、b之间的数量关系；
（2）已知该二次函数的最大值为3-2a2，且a＜0，求该二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若M（x1，m）、N（x2，m）是该函数图象上的两个不同点，且m≠0，求证：.
25.(本小题15分)
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC.⊙O是△ABC的外接圆，D是线段OB上一点，过点D作AB的垂线分别交BC于点E，交⊙O在点C处的切线于点F，连接OE.
（1）求证：EF=CF；
（2）若：
①当OE∥AC时，求EF的长度；
②如图2，当点D在线段OB上运动时（不与端点重合），EF与⊙O交于点G，延长FE交⊙O于点H，连接CG，CH，当CH为直径时，求OD的长.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】相反数
12.【答案】2
13.【答案】k1＜k2＜k3
14.【答案】27°
15.【答案】2或2.5
16.【答案】
17.【答案】．
18.【答案】见解析
19.【答案】，．
20.【答案】证明：∵x2-（2k+1）x+k2+k=0
∴a=1，b=-（2k+1），c=k2+k，
∴Δ=b2-4ac=（2k+1）2-4×1×（k2+k）=1＞0，
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根 k=-4或3
21.【答案】 同意小雅的说法，理由如下：
由（1）可知，按照方式B，以六折价格买到该学习用品的概率为，则以九折价格买到该学习用品的概率为，
设共买m件学习用品，
则利用B方式所花费用=（元）；利用A方式所花费用=30×0.7m=21m（元）；∵24m＞21m，
∴方式A更省钱
22.【答案】4; 如图，点G即为所作，
如图，点P即为所作．

23.【答案】 此时浮标F所在水面的水位高度为4米 救援艇能在触发危险警报前完全通过隧道
24.【答案】b=-4a y=-x2+4x-3 由题意，x1，x2是方程-x2+4x-3=m，即x2-4x+3+m=0的两个实数根，
∴，
∴，
∴
=
=
=
=
25.【答案】连接OC．
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥FC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵FD⊥AB，
∴∠BDE=90°，
∴∠BED+∠OBC=90°，
∵∠OCB+∠ECF=90°，
∴∠BED=∠ECF，
∵∠BED=∠CEF，
∴∠CEF=∠ECF，
∴EF=CF ①；②
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