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2025-2026学年河南省郑州五十七中八年级（下）第一次调研数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个三角形的两个内角分别是50°和60°，则第三个内角的度数是（　　）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A. x（x-2）=x2-2x B. （x+1）2=x2+2x+1
C. x+2=x（1+） D. x2-4=（x+2）（x-2）
3.若一个多边形的每个外角等于40°，则这个多边形的边数为（　　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
4.解不等式＜，解题依据错误的是（　　）
解：①去分母，得5（x+2）＜3（2x-1）
②去括号，得5x+10＜6x-3
③移项，得5x-6x＜-3-10
④合并同类项，得-x＜-13
⑤系数化1，得x＞13
A. ②去括号法则 B. ③不等式的基本性质1
C. ④合并同类项法则 D. ⑤不等式的基本性质2
5.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）
A. a2﹣1 B. a2+a
C. a2+a﹣2 D. （a+2）2﹣2（a+2）+1
6.某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示.要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（　　）
A. △ABC三条高线的交点处 B. △ABC三边垂直平分线的交点处
C. △ABC三条中线的交点处 D. △ABC三条角平分线的交点处
7.某超市花费1140元购进苹果100千克，销售中有5%的正常损耗，为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少应定为多少元？设售价定为每千克x元时不亏本，根据题意列不等式是（　　）
A. 100（1+5%）x＞1140 B. 100（1-5%）x＞1140
C. 100（1+5%）x≥1140 D. 100（1-5%）x≥1140
8.如图△ABC，直线MN为线段BC的垂直平分线，交AC于点D，连BD，若AD=3，AC=10，则BD长为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
9.若关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＞1，则下列各点可能在一次函数y=kx+b图象上的是（　　）
A. （2，0） B. （0，1） C. （-1，-4） D. （-1，2）
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA=∠DAC，则下列结论正确的是（　　）
①∠DCB=∠B；
②2CD=AB；
③△ADC是等边三角形；
④若∠E=30°，则DE=EF+CF.
A. ①②④
B. ①②③
C. ②③④
D. ①②
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式组的所有整数解的和为 .
12.如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB=BC，∠C=30°，∠1=80°，则∠2= ．
13.已知不等式组的解都是关于x的不等式3x≤2a-1的解，则a的取值范围是 .
14.甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n时，甲看错了m,分解结果为（x+9）（x-2）；乙看错了n,分解结果为（x-5）（x+2），则正确的分解结果为 .
15.如图等腰三角形ABC的底边长为8cm,腰长为5cm,一动点P（不与B，C重合），在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动 秒时，三角形ACP是直角三角形.
三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
按要求完成下列计算：
（1）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来.
（2）因式分解：3ax2+6axy+3ay2.
17.(本小题10分)
如图，已知线段a,利用尺规求作一个底边为a、高等于2a的等腰三角形.（保留作图痕迹，不写作法）
18.(本小题10分)
已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N，M，OM=ON，BM与AN相交于点P．求证：PM=PN．
19.(本小题10分)
某单位计划在“五一”小长假期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数为10～25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的费用，其余游客七五折优惠．设该单位参加旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需费用为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式．
（2）该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
20.(本小题10分)
如图①，六个小图形拼成一个大长方形，大长方形面积=长×宽=（a+2b）（a+b），六个小图形面积之和=a2+ab+ab+ab+b2+b2=a2+3ab+2b2，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2.
（1）仿照上面的方法，由图②可得等式：______；
（2）通过以上探究，我们发现可以利用长方形的面积进行因式分解，那么因式分解：a2+b2+2ab+ac+bc=______；
（3）利用（1）所得的等式，解决以下问题：已知a+b+c=5，a2+b2+c2=15，求ab+bc+ac的值.
21.(本小题10分)
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E．
（1）求证：AE=2CE；
（2）连接CD，若CE=，求CD的长．
22.(本小题15分)
（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，试确定∠A与∠D的数量关系．
（2）如图（b），BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，试确定∠A与∠E的数量关系．
（3）如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，试确定∠A与∠F的数量关系．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】-3
12.【答案】40°
13.【答案】a≥8
14.【答案】（x-6）（x+3）
15.【答案】1.75或4
16.【答案】-1≤x＜2，数轴上表示如下：
3 a（x+y）2
17.【答案】如图，△ABC即为所求．

18.【答案】证明：如图，连接OP，
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴∠ANO=∠BMO=90°，
在Rt△ONP和Rt△OMP中，
，
∴Rt△ONP≌Rt△OMP（HL）
∴PM=PN．
19.【答案】解：（1）由题意可得，y1=200×0.7x=140x，y2=200×0.75（x-1）=150x-150，
答：y1=140x，y2=150x-150；
（2）当140x=150（x-1）时，解得x=15，
即当x=15时，两家费用一样；
当140x＞150（x-1）时，解得x＜15，
即当10≤x≤14时，乙社费用较低；
当140x＜150（x-1）时，解得x＞15，
即当16≤x≤25时，甲社费用较低；
答：当人数为15人时，两家均可选择，当人数在10≤x≤14之间时选择乙旅行社，当人数16≤x≤25时，选择甲旅行社．
20.【答案】（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac） （a+b）（a+b+c） ab+bc+ac=5
21.【答案】（1）证明：如图，连接BE．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=60°．
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE．
∴∠A=∠ABE=30°．
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．
又∵在Rt△CBE中，∠EBC=30°，
∴CE=．
∴CE=，即AE=2CE．
（2）解：如图，连接CD、BE．
由（1）知，∠DBE=∠CBE．
∵∠ACB=90°，
∴EC⊥BC．
又∵∠DBE=∠CBE，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴ED=EC=．
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL）．
∴BD=BC．
由（1）知∠ABC=60°，
∴△BDC是等边三角形．
∴CD=BC．
在Rt△EBC中，∠BCA=90°，∠EBC=30°，
∴CE=．
∴BE=2CE=2．
∵△EBC是直角三角形，
∴BC===3．
∴CD=3．
22.【答案】解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠DBC+∠DCB=（180°-∠A），
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=90°+∠A；
（2）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，
∴∠ACE=∠ACM，∠CBE=∠ABC，
∵∠ACM=∠A+∠ABC，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠CBE+∠BCE+∠E=180°，
∴∠ABC+∠C+∠ACE+∠E=180°，
∴∠E=∠A；
（3）∵BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，
∴∠FBC=∠PBC，∠FCB=∠PCB，
∵∠PBC=180°-∠ABC，∠PCB=180°-∠ACB，
∴∠F=180°-∠FBC-∠FCB=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）
=（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠F=（180°-∠A）=90°-∠A．
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