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北师大版2025—2026学年七年级下册期中模拟直击考点卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，AF是∠BAC的平分线， DF∥AC，若∠1＝25°，则∠BDF的度数为（　　）
A．25° B．50° C．75° D．100°
2．已知，其中，为整数，则整数可能的取值有__________个．
A．2 B．4 C．6 D．8
3．若，则的值为（　　）
A．18 B．6 C．3 D．2
4．如果同一平面内有三条直线，那么它们的交点个数是(　　)
A．1或3 B．0或1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3
5．小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率
C．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
6．如图，在边长为a的正方形中，减去一个边长为b的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式（　　）
A． B．
C． D．
7．已知，，其中m，n为正整数，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知，于点，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（　　）
A．22 B．24 C．42 D．44
10．已知三条射线OA、OB、OC，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称OA、OB、OC组成的图形为“角分图形”.
如图（1），当OB平分时，图（1）为角分图形.
如图（2），点O是直线MN上一点，，射线OM绕点O以每秒的速度顺时针旋转至，设时间为，当t为何值时，图中存在角分图形.
小明认为 小亮认为
你认为正确的答案为（　　）
图（1） 图（2）
A．小明 B．小亮
C．两人合在一起才正确 D．两人合在一起也不正确
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为　 　．
12．若，，则的值为　 　.
13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，则∠BDE＝　 　。
14．计算： 　 　．
15．一个矩形的面积为 ，若一边长为 ，则另一边长为　 　．
16．已知，则的值为　 　；的值为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）
18．一个正方体盒子的棱长为0.4 m.
（1）这个盒子的体积是多少立方米(用科学记数法表示)
（2）若用来装棱长为1×10－2 m的小立方块，则需要多少个这样的小立方块才能将这个盒子装满？
19．不透明的箱子中有5件同型号的产品，其中3件是一等品，2件是二等品.将3件一等品分别记为A，B，C；2件二等品分别记为D，E.
（1）从这个箱子中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测.请用列举法求两次抽到的产品都是一等品的概率；
（2）向这个箱子中加入若干件同型号的一等品，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回.大量重复这个试验，若发现抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9，求加入的一等品约为多少件.
20．如图1，在四边形中，，．
（1）试说明：；
（2）如图2，将四边形沿折叠，点C与点重合，，，求的度数．
21．如图， 已知BD⊥AC， 点E为垂足， EF⊥AB于点 F， FE的延长线交CD于点G， 且∠B=∠C.
（1）若∠B=35°， 求∠AEF的度数.
（2）求证：CG=DG.
22． 阅读下面文字，回答后面问题：求的值。
解：令①
将等式两边同时乘5，得
②
②①，得，．
问题：
（1）求的值；
（2）求的值．
23．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D.（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）∠CBD的度数为　 　；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB的大小关系是否发生变化？若不变，请找出它们的关系，并说明理由；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数.
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北师大版2025—2026学年七年级下册期中模拟直击考点卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，AF是∠BAC的平分线， DF∥AC，若∠1＝25°，则∠BDF的度数为（　　）
A．25° B．50° C．75° D．100°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵DF∥AC，
∴∠FAC＝∠1＝25°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠FAC＝25°，
∴∠BAC＝50°，
∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BAC＝50°．
故答案为：B
【分析】由平行线的性质可得∠FAC＝∠1＝25°，由角平分线的定义可得∠BAC＝2∠FAC＝50°，利用平行线的性质可得∠BDF＝∠BAC＝50°．
2．已知，其中，为整数，则整数可能的取值有__________个．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵a、b为整数，
∴或或或或或或或，
或或或或或或或，
∴或14或11或10或或或或，
∴m的取值有8个，
故答案为：D．
【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后利用对应系数相等求出a、b的整数解即可．
3．若，则的值为（　　）
A．18 B．6 C．3 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：A.
【分析】由平方差公式可得x2-y2=(x+y)(x-y)，然后代入进行计算.
4．如果同一平面内有三条直线，那么它们的交点个数是(　　)
A．1或3 B．0或1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3
【答案】D
【解析】【解答】解：1、当三条直线相互平行时，任意两条直线都没有交点，所以交点个数为0；
2、当三条直线相交于一点时，有一个共同的交点，交点个数是1；
3、当两条直线平行，第三条直线与这两条直线相交时，第三条直线与两条平行线分别有一个交点，所以共有2个交点；
4、当三条直线两两相交且不过同一点时，每两条直线相交都会产生一个交点，所以交点个数为3；
综上所述，同一平面内三条直线的交点个数可能是0或1或2或3，
故答案为：D.
【分析】这道题主要考查平面中直线的位置关系，解题的关键在于全面考虑三条直线在平面内的不同位置关系，进而确定交点个数的所有可能性.
5．小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率
C．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
【答案】C
【解析】【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上的概率为，故A选项错误，不符合题意；
B、从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率为，故B选项错误，不符合题意；
C、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球，摸到红球的概率为，故C选项正确，符合题意；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率是50%，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】观察频率折线图可知这个实验结果的频率在30％~40％之间波动；再分别求出各选项中的的随机事件的概率，根据其概率可得到符合这一结果的实验可能的选项.
6．如图，在边长为a的正方形中，减去一个边长为b的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积；
第二个图形是梯形，则面积是．
则．
故答案为：C.
【分析】第一个图形中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，根据梯形的面积公式可得图2阴影部分的面积，然后根据两个图形阴影部分的面积相等进行解答.
7．已知，，其中m，n为正整数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：C.
【分析】将代数式变形为，再将，代入即可.
8．如图，已知，于点，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点H作，过点F作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理和角的运算即可求解.
9．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（　　）
A．22 B．24 C．42 D．44
【答案】C
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2；
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10；
由图3，得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b，a-b，a2+b2，ab这四个式子之间得关系.
10．已知三条射线OA、OB、OC，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称OA、OB、OC组成的图形为“角分图形”.
如图（1），当OB平分时，图（1）为角分图形.
如图（2），点O是直线MN上一点，，射线OM绕点O以每秒的速度顺时针旋转至，设时间为，当t为何值时，图中存在角分图形.
小明认为 小亮认为
你认为正确的答案为（　　）
图（1） 图（2）
A．小明 B．小亮
C．两人合在一起才正确 D．两人合在一起也不正确
【答案】D
【解析】【解答】∵ ∠DON=70°
∴ ∠DOM=110°
设射线OM的运动时间为t秒，则射线OM运动的∠M1OM=5°t.
当OD平分∠NOM1时，
∴ ∠DOM1=∠DON=70°
∴ ∠M1OM=40°
∴ 5°t=40°
∴ t=8
当OM1平分∠DON时，
∴ ∠DOM1=35°
∴ ∠M1OM=145°
∴ 5°t=145°
∴ t=29
综上，当t=8秒或29秒时，图中存在角分图形。
故小明的答案不完全对，小亮的答案不对。
故答案为：D
【分析】本题考查角度的计算和角平分线的应用。根据角分图形的定义，可讨论当OD为角平分线、OM1为角平分线两种情况分别计算。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为　 　．
【答案】12
【解析】【解答】解：
故答案为：12.
【分析】利用平行线的性质得到然后根据的和差解答即可.
12．若，，则的值为　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解：∵，，
∴=
故答案为：2.
【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的除法法则可得a3x-y=(ax)3÷ay，然后将已知条件代入进行计算.
13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，则∠BDE＝　 　。
【答案】15°
【解析】【解答】∵∠A=45°，∠BDC=60°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=15°．
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC=∠ABD=15°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠DBC=15°．
【分析】三角形的外角性质；角平分线的定义；平行线的性质．
14．计算： 　 　．
【答案】
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】根据单项式乘以多项式法则解题．
15．一个矩形的面积为 ，若一边长为 ，则另一边长为　 　．
【答案】 ．
【解析】【解答】∵（a2+2a）÷a=a+2，∴另一边长为a+2，故答案为：a+2．
【分析】将面积进行因式分解之后可得另一条边长。
16．已知，则的值为　 　；的值为　 　．
【答案】2；6
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴
=2；
∵
∴，即
∴
∴，解得：．
故答案为：2，6．
【分析】由移项，可得，，再将变形为，整体代入化简可得，进而将该式变形为，从而再整体代入即可求解；在方程的两边同时除以x可得，然后左右平方，将作为一个整体求解即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方法则（am）n=amn计算幂的乘法，然后根据幂的乘法法则aman=am+n计算幂的乘法，最后根据幂的除法法则计算即可；
（2）使用乘法分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，然后将所有结果相加，最后合并同类项即可：
（3）将括号内多项式中的每一项分别除以单项式，然后将每一步的结果相加即可。
18．一个正方体盒子的棱长为0.4 m.
（1）这个盒子的体积是多少立方米(用科学记数法表示)
（2）若用来装棱长为1×10－2 m的小立方块，则需要多少个这样的小立方块才能将这个盒子装满？
【答案】（1）解：0.4×0.4×0.4＝6.4×10－2(m3)．
答：这个盒子的体积是6.4×10－2 m3.
（2）解：因为一个小立方块的棱长为1×10－2 m，
所以需要6.4×10－2÷(1×10－2)3＝64 000(个)．
答：需要64 000个这样的小立方块才能将这个盒子装满．
【解析】【分析】(1)根据正方体的体积公式即可得出答案；
(2)先求出小立方块的体积，再用除法即可得出答案.
19．不透明的箱子中有5件同型号的产品，其中3件是一等品，2件是二等品.将3件一等品分别记为A，B，C；2件二等品分别记为D，E.
（1）从这个箱子中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测.请用列举法求两次抽到的产品都是一等品的概率；
（2）向这个箱子中加入若干件同型号的一等品，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回.大量重复这个试验，若发现抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9，求加入的一等品约为多少件.
【答案】（1）解：从这5件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测，所有可能的结果如下：
　 A B C D E
A 　 BA CA DA EA
B AB 　 CB DB EB
C AC BC 　 DC EC
D AD BD CD 　 ED
E AE BE CE DE 　
由上表可以看出，从这5件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测，可能出现的结果有20种，并且它们出现的可能性相等，其中两次抽到的产品都是一等品(记为事件M)有6种结果，即AB，AC，BA，BC， CA， CB， 所以
（2）解：设加入一等品的件数约为x件.
由题意可估计得 P (抽到产品是一等品)=0.9.
所以
解得 x=15，且符合题意.
答：加入一等品的件数约为15件.
【解析】【分析】
（1）先根据题意列出表格得到随机抽取1件进行检测，可能出现的结果有20种，其中两次抽到的产品都是一等品有6种结果，再根据概率公式得到，解答即可.
（2）根据频率估计概率得到 P (抽到产品是一等品)=0.9.，再根据概率公式计算即可解答.
20．如图1，在四边形中，，．
（1）试说明：；
（2）如图2，将四边形沿折叠，点C与点重合，，，求的度数．
【答案】（1）证明：因为，所以．
因为，所以．
所以．
（2）解：由折叠的性质，得，．
因为，所以．
所以．
由（1）得，
所以．
【解析】【分析】(1)由平行线的性质推出 得到 即可证明 结论；
(2)由折叠的性质得到 因此 由平行线的性质推出. ，求出 ，由三角形外角的性质求出 ，即可得到 的度数.
21．如图， 已知BD⊥AC， 点E为垂足， EF⊥AB于点 F， FE的延长线交CD于点G， 且∠B=∠C.
（1）若∠B=35°， 求∠AEF的度数.
（2）求证：CG=DG.
【答案】（1）解：因为 EF⊥AB 所以∠A+∠1=90°.
因为BD⊥AC， 所以∠A+∠B=90°.
所以∠1=∠B=35°， 即∠AEF=35°.
（2）证明：如图，
因为EF⊥AB 所以∠A+∠1=90°
因为 BD⊥AC， 所以∠BEF+∠1=90° 所以∠A=∠BEF
又因为∠BEF=∠3 所以∠3=∠A
同理 ∠2=∠B
因为 ∠B=∠C 所以∠2=∠C 所以EG=CG
又因为∠D+∠C=90° ∠2+∠3=90°
所以∠3=∠D
所以EG=DG
所以CG=DG.
【解析】【分析】(1)根据同角得余角相等得到∠1=∠B=35°即可；
(2)根据同角得余角相等得到∠A=∠BEF，然后等量代换得到∠3=∠A，然后证明出∠3=∠D得到EG=DG，即可证明出CG=DG.
22． 阅读下面文字，回答后面问题：求的值。
解：令①
将等式两边同时乘5，得
②
②①，得，．
问题：
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：令①
将等式两边同时乘2得
②
②①得
（2）解：令4T=，
则T=，①
将等式两边同时乘3得
则3T=，②
由②-①得，
2T=，
则=4T=.
【解析】【分析】(1)类比参考材料解题思路，通过构造新的数，使得与原数相减消除中间项；
(2)此处需注意为形成材料中的结构需先对每一项提因数4，后同材料处理方式形成错位相减即可计算出结果；
23．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D.（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）∠CBD的度数为　 　；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB的大小关系是否发生变化？若不变，请找出它们的关系，并说明理由；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数.
【答案】（1）50°
（2）解：∠APB与∠ADB的大小关系不变，∠APB＝2∠ADB.
理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN.
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN.
∴∠APB＝2∠ADB
（3）解：∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN.
∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD.
∴∠ABC＋∠CBD＝∠CBD＋∠DBN.
∴∠ABC＝∠DBN.
∵∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠ABC＋∠DBN＝50°.
∴∠ABC＝25°
【解析】【解答】解：（1）∵ AM∥BN，∠A＝80°，
∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠ABN=100°，
∵ BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN，
∴ ∠CBD =∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN=∠ABN=50°，
故答案为：50°.
【分析】⑴根据平行线性质知∠ABN的度数，根据角平分线定义知∠CBD =∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN=∠ABN.
⑵根据平行线性质知∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据角平分线知∠PBN＝2∠DBN，从而得∠APB＝2∠ADB.
⑶根据平行线性质知∠ACB＝∠CBN，结合题意∠ACB＝∠ABD得∠CBN＝∠ABD，从而得∠ABC＝∠DBN，计算出 ∠ABC的度数 即可.
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