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【决战期中·50道解答题专练】北师大版数学七年级下册期中复习测试卷
1．一个角的余角比它的补角的 还少50°，求这个角的度数．
2．完成下列推理说明：如图，已知∠1=∠2，证明AB∥CD．
证明：∵∠3=∠2 （ 　 　)
∠1=∠2 （ 　 　）
∴　 　=　 　 （　 　 ）
∴AB∥CD （ 　 　 ）
3．一个不透明的袋中装有2只红球和2只绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为 ；
（2）从袋中一次随机摸出2只球，通过树状图或列表法求这2只球颜色不同的概率．
4．一个长方形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，如果将长方形的长和宽各增加2cm.
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少
（2）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求(a-2)(b-2)的值.
5．完成下列说理过程，并在括号内填上相应的依据．
已知：如图，如果AB∥CD，AB，CD与直线EF分别相交于点M和N，MP平分∠AMF，NQ平分∠END．则MP∥NQ，试说明理由．
理由：
∵AB∥CD（已知）
∴∠AMF= ▲
∵MP平分LAMF（已知）
∴∠1= ▲ （角平分线的定义）
同理∠2=∠END，
∴∠1=∠2 ▲
∴MP∥NQ ▲
6．小宁是一名爱研究数学的中学生，他发现生活中有很多与数学相关的实例．请根据以下材料，完成相应的任务．
台灯中的数学问题
素材1 如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度，从而在使用时对人的眼睛起到保护的作用．
素材2 图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．小宁在解决问题时，他的思路是：过点作，则可以得到，如图③所示．
（1）任务1：根据素材2，过点作，可以得到的依据是______；
（2）任务2：当台灯处于最佳照明角度时，根据素材2中小宁的思路，求和的度数．
7． 如图，，，求的度数．
8． 若一个角的补角比它的余角的倍还多，则这个角的度数为多少度？
9．如图是用一些小长方形和小正方形拼成的一个大正方形．
（1）请用两种不同的方式表示图①的面积
方法1：______，
方法2：______，
（2）根据面积的两种不同表示方法可得到等式_____________；
（3）如果，，试求图②中阴影部分的面积．
10． 2023年的春节档电影竞争激烈，多部贺岁片上影，点燃新春，浓浓的年味让人们感受到了久违的热闹景象．小亮和小丽分别从《满江红》《无名》《流浪地球2》《 伴我“熊心”》四部电影中随机选择一部观看，将《满江红》表示为A，《无名》表示为B，《流浪地球2》表示为C，《 伴我“熊心”》表示为D．
（1）小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中《满江红》的概率为　 　；
（2）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．
11．今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C：，D：.并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中　 　，　 　，B等级所占扇形的圆心角度数为　 　．
（3）对甲、乙、丙、丁4名参加知识竞赛学生进行分组作业调查，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
12．已知：如图，，．
（1）求证：．
（2）若平分，平分，且，求的度数．
13．如图，在四边形中，，，求的度数.
14．如图，在三角形 中， 于点 ，点 在边 上，且 ．请你说明 与 互为余角的理由．
15．2023年3月19日，全国马拉松锦标赛（无锡站）正式鸣枪开跑．某校4名学生幸运成为该活动志愿者，负责某区域运动员的物资发放，其中男性2人，女性2人．
（1）若从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是 ．
（2）若从这4人中选2人进行物资发放，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
16．如图， ， 点 在同一条直线上． 设 ， 求 的度数．
17．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1，2，3，4，5，6，7，8的八个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字.若两次数字之积为奇数，则小颖胜；两次数字之积为偶数，则小丽胜.试分析这个游戏对双方是否公平？请说明理由.
18． 2023年9月，第19届亚运会在杭州举行，有20名志愿者参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．
（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；
（2）若该分会场的某项工作只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取1张，不放回，再取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
19． 某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛．设竞赛成绩为x分，若规定：当x≥90时为优秀，75≤x＜90时为良好，60≤x＜75时为一般，现随机抽取30位同学的竞赛成绩如表：
98 88 90 72 100 78 95 92 100 99
84 92 75 100 85 90 93 93 70 92
78 89 91 83 93 98 88 85 90 100
（1）本次抽样调查的样本容量是　 　，样本数据中成绩为“优秀”的频率是　 　；
（2）在本次调查中，A，B，C，D四位同学的竞赛成绩均为100分，其中A，B在九年级，C在八年级，D在七年级，若要从中随机抽取两位同学参加联盟校的党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出抽到的两位同学都在九年级的概率，并写出所有等可能结果．
20．如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°，试说明∠1＝∠2.（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（　 　）.
∴∠3+　▲　＝180°（等量代换）.
∴FG∥BD（　 　）.
∴∠1＝　▲　（　 　）.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝　▲　（　 　）.
∴∠1＝∠2（　 　）.
21．若多项式 和多项式 相乘的积中不含 项且含x项的系数是-3，求a和b的值．
22．为保障人们快捷、安全地出入地铁站，地铁站都修建有如图所示的进站闸口．某地铁站的进站口有四个闸口，分别记为A，B，C，D．李叔叔每天从该站乘坐地铁上班．
（1）当李叔叔进入该站闸口时，恰好选择C闸口的概率是　 　；
（2）请用树状图或列表法，求李叔叔恰好两次进入同一闸口的概率．
23．如图是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积（结果不化简）：
方法1：____________________；方法2：____________________．
（2）观察图2，请写出，三个式子之间的等量关系．
（3）若，结合（2）中的等量关系，求的值．
24．画图题：
（1）在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH．
（2）判断EF、GH的位置关系是.
（3）连接AC和BC，则三角形ABC的面积是．
25．小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题：
（1）小深抽到“纸巾”的概率是 ；
（2）小深中奖的概率是 ；
（3）请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是 ，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”．
26．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．（用列表法或画树状图分别求出两同学获胜的概率）
27．如图1，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2，可以得到________；
（2）若，，求的值．
28．某校师生为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制如下统计表：
零花钱数额/元 5 10 15 20
学生人数/名 a 15 20 5
根据表格中信息，回答下列问题：
（1）求a的值．
（2）求着50名学生每人一周内零花钱数额的中位数．
（3）随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为多少？
29．如图，已知，，试说明，请完成下列书写过程.
∵（已知）
∴_▲_（ ）
又∵
∴_▲_＝∠D（ ）
∴（ ）
30．如图，已知BC与DE相交于点O，EF∥BC，∠B=70°，∠E=70°，请说明AB∥DE．
31．如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，∠1=∠2，
（1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若∠A=70°，∠BCG=40°，求∠AGD的度数．
32．为参加学校举办的冬季运动会，九年级一班的嘉嘉、淇淇两名同学练习百米赛跑．操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道．
（1）若嘉嘉抽到2道，则淇淇抽到3道的概率是______；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道的概率．
33．某校组织代表队参加市“与经典同行”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组(x表示成绩，单位：分).A组：；B组：；C组：；D组：；E组：，并绘制如下两幅不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中两名女生的概率.
34．已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：
（1）画直线OA；
（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；
（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F．
35．如图，直线AB，CD相交于点O，已知、ON将成两个角，且．求的度数．
36．如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化．若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？

37．如图，，，，求的度数，请将解题过程填写完整.
解：∵（已知），
∴ ▲ （　　），
又∵（已知），
∴（ ），
∴（ ）
∴+ ▲ （ ），
∵（已知），
∴.
38．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有多少条鱼．若第三次打捞上10条，它们的质量分别为1.8，2，2.2，1.9，2.1，2.3，1.7，2，2.6，1，4千克，请估计这塘鱼的产量．
39．有一个转盘如图，转盘可以自由转动．
（1）让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率．
（2）让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率．
40．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为．
分段 成绩范围 频数 频率
A a m
B 20 b
C c
D 70分以下 10 n
（1）在统计表中，______，______，______；
（2）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
41．一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下：
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“車”字朝上的频数 14 18 38 47 52 78 88
相应的频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.56
（1）请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中剩余部分．
（2）如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是多少？
（3）在（2）的基础上，进一步估计：将该“車”字棋子，按照实验要求连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为多少？
42．某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 200 500 1000 1500 2000
优等品频数m 188 471 946 1426 1898
优等品频率 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
（1）画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图；
（2）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
（3）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
43．某校举行全校“红色文化词歌朗诵”比赛，九（1）班先班级内初赛，现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校决赛，如果采取随机抽取的方式确定人选．
（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是　 　；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
44．如图，在折线中，已知，延长、交于点，猜想与的关系，并说明理由．
45．若x，y，z是整数，且满足=2，求x，y，z的值．
46．观察并验证下列等式：
，
，
，
（1）续写等式：　 　；（写出最后结果）
（2）我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：　 　；（结果用因式乘积表示）
（3）利用（2）中得到的结论计算：
；
47．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点P为BC上一点(点P与B，C不重合)，设∠CDP＝∠α，∠CPD＝∠β，你能不能说明，不论点P在BC上怎样运动，总有∠α＋∠β＝∠B.
48．学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
（1）选取1张A型卡片，6张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是______（请用含a，b的代数式表示）；
（2）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为______；
（3）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．
49．某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
（1）样本容量是　 　，并补全直方图　 　；
（2）该年级共有学生800人，请估计该年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好都是男生的概率.
50．证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数，并且等于这两个数的和的两倍．
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【决战期中·50道解答题专练】北师大版数学七年级下册期中复习测试卷
1．一个角的余角比它的补角的 还少50°，求这个角的度数．
【答案】解：设这个角度数为x，它的余角为，补角为，根据题意得：
，
解得，
∴这个角度数为．
【解析】【分析】 设这个角度数为x，它的余角为，补角为 ，根据“ 这个角的余角比它的补角的 还少50° ”列出方程并解之即可.
2．完成下列推理说明：如图，已知∠1=∠2，证明AB∥CD．
证明：∵∠3=∠2 （ 　 　)
∠1=∠2 （ 　 　）
∴　 　=　 　 （　 　 ）
∴AB∥CD （ 　 　 ）
【答案】解：对顶角相等；已知；∠3；∠1；等量代换；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据直线平行的判定定理进行填写即可得到答案。
3．一个不透明的袋中装有2只红球和2只绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为 ；
（2）从袋中一次随机摸出2只球，通过树状图或列表法求这2只球颜色不同的概率．
【答案】（1）；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中这2只球颜色不同的结果数为8，
所以这2只球颜色不同的概率
【解析】【解答】解：(1)从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式计算；
（2）画树状图得到所有的等可能的结果，再找出符合条件的结果数，再利用概率公式解题．
4．一个长方形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，如果将长方形的长和宽各增加2cm.
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少
（2）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求(a-2)(b-2)的值.
【答案】（1）解：由题意得增加的面积为：，
（2）解：由题意得：
∴
∴
∴.
【解析】【分析】（1）根据题意得到增加的面积为：，利用多项式乘以多项式和整式的加减即可求解；
（2）根据题意得到：，化简得到 进而即可求解.
5．完成下列说理过程，并在括号内填上相应的依据．
已知：如图，如果AB∥CD，AB，CD与直线EF分别相交于点M和N，MP平分∠AMF，NQ平分∠END．则MP∥NQ，试说明理由．
理由：
∵AB∥CD（已知）
∴∠AMF= ▲
∵MP平分LAMF（已知）
∴∠1= ▲ （角平分线的定义）
同理∠2=∠END，
∴∠1=∠2 ▲
∴MP∥NQ ▲
【答案】解：∵AB∥CD（已知）
∴∠AMF=∠DNE
∵MP平分∠AMF（已知）
∴∠1=∠AMF（角平分线的定义）
同理：∠2=∠END，
∴∠1=∠2（等量代换）
∴MP∥NQ（内错角相等，两直线平行）
故答案是：∠DNE，∠AMF，等量代换，内错角相等，两直线平行．
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
6．小宁是一名爱研究数学的中学生，他发现生活中有很多与数学相关的实例．请根据以下材料，完成相应的任务．
台灯中的数学问题
素材1 如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度，从而在使用时对人的眼睛起到保护的作用．
素材2 图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．小宁在解决问题时，他的思路是：过点作，则可以得到，如图③所示．
（1）任务1：根据素材2，过点作，可以得到的依据是______；
（2）任务2：当台灯处于最佳照明角度时，根据素材2中小宁的思路，求和的度数．
【答案】（1）平行于同一直线的两条直线平行
（2）解：如图，过点C作，
，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
.
【解析】【解答】（1）解：由题意得（台灯水平放置，默认与平行），
∵过直线外一点作 ，
∴根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，
则．
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行.
【分析】（1）利用平行线的传递性分析求解即可；
（2）过点C作，先利用平行线的性质及角的运算求出，再结合AB//CD可得，再利用角的运算求出，最后求出即可.
（1）解：由题意得（台灯水平放置，默认与平行），
∵过直线外一点作 ，
∴根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，
则．
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；
（2）解：如图，过点C作，
，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
．
7． 如图，，，求的度数．
【答案】解：由图可知，，
，
．
，
．
【解析】【分析】根据∠1=∠2可证AB∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补，求解即可。
8． 若一个角的补角比它的余角的倍还多，则这个角的度数为多少度？
【答案】解：设这个角的度数是，则它的补角为：，余角为，
由题意，得：．
解得：．
答：这个角的度数为．
【解析】【分析】设这个角的度数是，则它的补角为：，余角为，再根据“一个角的补角比它的余角的倍还多”列出方程，再求解即可.
9．如图是用一些小长方形和小正方形拼成的一个大正方形．
（1）请用两种不同的方式表示图①的面积
方法1：______，
方法2：______，
（2）根据面积的两种不同表示方法可得到等式_____________；
（3）如果，，试求图②中阴影部分的面积．
【答案】（1），；
（2）＝；
（3）解：∵，，
∴图②中阴影部分的面积为两个三角形面积的和，
即：a×2b＋ab
＝ab＋ab
＝
＝
＝
＝
＝3．
∴图②中阴影部分的面积为3．
【解析】【解答】
（1）
解：图①中大正方形的边长为（a＋2b），面积为；
还可以表示为：边长为a的正方形的面积加上4个长为a宽为b的长方形的面积，再加4个边长为b的正方形的面积，即，
故答案为：，；
（2）
解：由（1）中面积的两种不同表示方法可得到等式为：
＝，
故答案为：＝；
【分析】
（1）图①分别看成一个大正方形的面积和边长为a的正方形的面积加上4个长为a宽为b的长方形的面积，再加4个边长为b的正方形的面积，即可求解；
（2）由（1）中的表示方法即可求解；
（3）先求出图②中阴影部分的面积表示为，再把已知条件代入计算即可求解．
（1）解：图①中大正方形的边长为（a＋2b），面积为；
还可以表示为：边长为a的正方形的面积加上4个长为a宽为b的长方形的面积，再加4个边长为b的正方形的面积，即，
故答案为：，；
（2）解：由（1）中面积的两种不同表示方法可得到等式为：
＝，
故答案为：＝；
（3）解：∵，，
∴图②中阴影部分的面积为两个三角形面积的和，即：
a×2b＋ab
＝ab＋ab
＝
＝
＝
＝
＝3．
故图②中阴影部分的面积为3．
10． 2023年的春节档电影竞争激烈，多部贺岁片上影，点燃新春，浓浓的年味让人们感受到了久违的热闹景象．小亮和小丽分别从《满江红》《无名》《流浪地球2》《 伴我“熊心”》四部电影中随机选择一部观看，将《满江红》表示为A，《无名》表示为B，《流浪地球2》表示为C，《 伴我“熊心”》表示为D．
（1）小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中《满江红》的概率为　 　；
（2）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，其中小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的有4种结果，
∴小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率为．
【解析】【解答】（1）∵共有4种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有1种，
∴P（ 他选中《满江红》 ）=，
故答案为：.
【分析】（1）利用概率公式分析求解即可；
（2）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
11．今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C：，D：.并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中　 　，　 　，B等级所占扇形的圆心角度数为　 　．
（3）对甲、乙、丙、丁4名参加知识竞赛学生进行分组作业调查，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
【答案】（1）被调查的总人数为（人），
∴C等级人数为（人），
补全图形如下：
（2）15；5；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有2种，
∴甲和乙恰好分在同一组的概率为．
【解析】【解答】解：（2）m%=×100%=15%，n%=×100%=5%，
B等级所占扇形的圆心角度数为360×=.
故答案为：15，5，.
【分析】（1）利用A等级人数除以其百分比，可得被调查的总人数，再分别减去其它等级人数即得C等级人数，然后补图即可；
（2）由m%=×100%，n%=×100%分别计算，即得m、n值，利用360°乘以B等级人数所占百分比可求出 B等级所占扇形的圆心角度数；
（3）利用树状图列举出共有12种等可能的结果，其中甲和乙恰好分在同一组的结果有2种，然后利用概率公式计算即可.
12．已知：如图，，．
（1）求证：．
（2）若平分，平分，且，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
又，
，
．
（2）解：由（1）得：，
，
，，
平分，
，
，
平分，
．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再结合可得，即可证出；
（2）先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得.
13．如图，在四边形中，，，求的度数.
【答案】解：∵，
∴AD∥BC，
∴①，
∵②，
①-②，得：2∠B=140，
∴∠B=70.
【解析】【分析】根据，可证AD∥BC，可得，结合即可求解.
14．如图，在三角形 中， 于点 ，点 在边 上，且 ．请你说明 与 互为余角的理由．
【答案】解： （已知），
（垂直定义），
（已知），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
∴ ，
即 与 互为余角．
【解析】【分析】根据垂直的定义得出∠1+∠CDE=90°，由，可得，利用两直线平行，内错角相等，得出，由等量代换得出.
15．2023年3月19日，全国马拉松锦标赛（无锡站）正式鸣枪开跑．某校4名学生幸运成为该活动志愿者，负责某区域运动员的物资发放，其中男性2人，女性2人．
（1）若从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是 ．
（2）若从这4人中选2人进行物资发放，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从这4人中选2人进行物资发放共有12种等可能的结果，其中，恰好选中一男一女的结果有8种，
则恰好选中一男一女的概率为，
答：恰好选中一男一女的概率为．
【解析】【解答】（1）解：因为从这4人中选1人进行物资发放，共有4种等可能的结果，其中，恰好选中女性的结果有2种，
所以从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：．
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：因为从这4人中选1人进行物资发放，共有4种等可能的结果，其中，恰好选中女性的结果有2种，
所以从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从这4人中选2人进行物资发放共有12种等可能的结果，其中，恰好选中一男一女的结果有8种，
则恰好选中一男一女的概率为，
答：恰好选中一男一女的概率为．
16．如图， ， 点 在同一条直线上． 设 ， 求 的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∴， 设 ，
∴，
解得 ，
.
【解析】【分析】根据平行线的判定推出，由平行线的性质可得 ，即可得到，计算求解即可.
17．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1，2，3，4，5，6，7，8的八个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字.若两次数字之积为奇数，则小颖胜；两次数字之积为偶数，则小丽胜.试分析这个游戏对双方是否公平？请说明理由.
【答案】解：根据题意列表如下：
　 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 4 5 6 7 8
2 2 4 6 8 10 12 14 16
3 3 6 9 12 15 18 21 24
4 4 8 12 16 20 24 28 32
5 5 10 15 20 25 30 35 40
6 6 12 18 24 30 36 42 48
7 7 14 21 28 35 42 49 56
8 8 16 24 32 40 48 56 64
共有64种情况数，其中两次数字之积为奇数的有16种，偶数有48种，
则小颖胜的概率是 ＝ ，小丽胜的概率是 ＝ ，
∵ ＜ ，
∴这个游戏对双方是不公平的.
【解析】【分析】根据表格找出总情况数以及两次数字之积为奇数、偶数的情况数，由概率公式分别求出小颖胜、小丽胜的概率，据此判断.
18． 2023年9月，第19届亚运会在杭州举行，有20名志愿者参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．
（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；
（2）若该分会场的某项工作只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取1张，不放回，再取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
【答案】（1）解：共20名志愿者，女生12人，选到女生的概率是：；
（2）解：不公平，
根据题意画图如下：
共有12种情况，和为偶数的情况有4种，
牌面数字之和为偶数的概率是，
甲参加的概率是，乙参加的概率是，比较
这个游戏不公平．
【解析】【分析】（1）根据概率计算公式，直接进行求值即可；
（2）根据树状图进行分析可得 牌面数字之和为偶数的概率是， 故而得出 甲参加的概率是，乙参加的概率是， 因为他们参加的概率不相同，故而得出 这个游戏不公平．
19． 某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛．设竞赛成绩为x分，若规定：当x≥90时为优秀，75≤x＜90时为良好，60≤x＜75时为一般，现随机抽取30位同学的竞赛成绩如表：
98 88 90 72 100 78 95 92 100 99
84 92 75 100 85 90 93 93 70 92
78 89 91 83 93 98 88 85 90 100
（1）本次抽样调查的样本容量是　 　，样本数据中成绩为“优秀”的频率是　 　；
（2）在本次调查中，A，B，C，D四位同学的竞赛成绩均为100分，其中A，B在九年级，C在八年级，D在七年级，若要从中随机抽取两位同学参加联盟校的党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出抽到的两位同学都在九年级的概率，并写出所有等可能结果．
【答案】（1）30；0.6
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽到的两位同学都在九年级的结果有2种，即BA，AB，
∴抽到的两位同学都在九年级的概率为＝，
所有等可能结果为：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC）
【解析】【解答】解：(1)本次抽样调查的样本容量是30，样本数据中成绩为"优秀"的频率是18÷30=0.6，
故答案为：30，0.6.
【分析】(1)由样本容量好频率的定义求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，抽到的两位同学都在九年级的结果有2种，即BA，AB，再由概率公式求解即可.
20．如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°，试说明∠1＝∠2.（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（　 　）.
∴∠3+　▲　＝180°（等量代换）.
∴FG∥BD（　 　）.
∴∠1＝　▲　（　 　）.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝　▲　（　 　）.
∴∠1＝∠2（　 　）.
【答案】解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（对顶角相等），
∴∠3+∠FHD＝180°（等量代换），
∴FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠2（角平分线的性质），
∴∠1＝∠2（等量代换），
故答案为：对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2，角平分线的定义，等量代换.
【解析】【分析】利用已知条件可得到∠3+∠FHD=180°，利用同旁内角互补，两直线平行，可证得FG∥BD，利用平行线的性质可证得∠1=∠ABD；再利用角平分线的定义可证得∠ABD=∠2，由此可推出∠2=∠1.
21．若多项式 和多项式 相乘的积中不含 项且含x项的系数是-3，求a和b的值．
【答案】解：∵（x2+ax+8）（x2-3x+b）=x4+（-3+a）x3+（b-3a+8）x2-（-ab+24）x+8b，
又∵不含x3项且含x项的系数是-3，
∴ ，
解得 ．
【解析】【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．根据结果中x3项且含x项的系数是-3，建立关于a，b等式，即可求出．
22．为保障人们快捷、安全地出入地铁站，地铁站都修建有如图所示的进站闸口．某地铁站的进站口有四个闸口，分别记为A，B，C，D．李叔叔每天从该站乘坐地铁上班．
（1）当李叔叔进入该站闸口时，恰好选择C闸口的概率是　 　；
（2）请用树状图或列表法，求李叔叔恰好两次进入同一闸口的概率．
【答案】（1）
（2）解：第一次
第二次
由图可知，两次进入闸口的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等，恰好选择同一闸口的结果有4种，
P（恰好选择同一闸口）．
【解析】【解答】解：（1）∵只有ABCD四个闸口，
∴当李叔叔进入该站闸口时，恰好选择C闸口的概率是，
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率即可求解；
（2）先根据题意画出树状图，进而得到两次进入闸口的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等，恰好选择同一闸口的结果有4种，从而根据等可能事件的概率即可求解。
23．如图是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积（结果不化简）：
方法1：____________________；方法2：____________________．
（2）观察图2，请写出，三个式子之间的等量关系．
（3）若，结合（2）中的等量关系，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：由（2）得：，∴．
【解析】【解答】（1）解：方法一：根据题意可得：图②中的阴影部分正方形的边长等于，
阴影部分面积等于；
方法二：图②中的阴影部分的面积等于：大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即阴影部分面积等于：．
故答案为：；
（2）
解：由上一问得：；
【分析】
（1）方法一∶求出阴影部分的边长，再根据正方形的面积公式进行计算；方法二∶用大正方形的面积减去小正方形的面积∶
（2）根据（1）得出的阴影部分的面积进行解答
（3）由（2）的规律得到，代入求值即可．
（1）解：方法一：根据题意可得：图②中的阴影部分正方形的边长等于，
阴影部分面积等于；
方法二：图②中的阴影部分的面积等于：大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即阴影部分面积等于：．
故答案为：；
（2）解：由上一问得：；
（3）解：由（2）得：，
∴．
24．画图题：
（1）在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH．
（2）判断EF、GH的位置关系是.
（3）连接AC和BC，则三角形ABC的面积是．
【答案】解：（1）如图（2）EF与GH的位置关系是：垂直；（3）设小方格的边长是1，则AB=2，CH=2，∴S△ABC=×2×2=10．
【解析】【分析】（1）过点C作5×1的矩形的对角线所在的直线，可得AB的垂线和平行线；
（2）易得EF与GH的位置关系是：垂直；
（3）根据三角形的面积公式解答．
25．小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题：
（1）小深抽到“纸巾”的概率是 ；
（2）小深中奖的概率是 ；
（3）请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是 ，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”．
【答案】（1）
（2）
（3）解：设计九张牌中有4张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾、牙刷，各1张，谢谢参与3张．
【解析】【解答】解：（1）由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，
抽到“纸巾”奖品的可能性是：；
故答案为：；
解：（2）由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个，
小深中奖的概率是
故答案为：；
【分析】（1）用“纸巾”对应牌的数量除以牌的总数量，即可得到答案；
（2）用“纸巾”、“牙刷”“太阳伞”、对应牌的数量和除以牌的总数量，列出算式，即可得到打哪；
（3）根据题意，本题答案不唯一，只要九张牌中有四张写着太阳伞，其他的五张包含纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与，即可得到答案．
（1）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，
抽到“纸巾”奖品的可能性是：；
故答案为：；
（2）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个，
小深中奖的概率是
故答案为：；
（3）解：设计九张牌中有4张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾、牙刷，各1张，谢谢参与3张．
26．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．（用列表法或画树状图分别求出两同学获胜的概率）
【答案】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果数，此时甲获胜的可能性有6种，乙获胜的可能性有10种，
故甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，而
所以游戏不公平.
【解析】【分析】此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12种等可能的结果数，根据概率公式分别求出甲与乙获胜的概率，再比大小即可.
27．如图1，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2，可以得到________；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）解：由（1）可知，，
，，
，
．
【解析】【解答】解：（1）由图2可知，，
故答案为：
【分析】（1）由图2可知，为大正方形的面积，为小正方形的面积，相减即可得到四块小长方形的面积和；
（2）根据（1）所得的等式可知，利用， 即可求出的值.
（1）解：由图2可知，，
故答案为：
（2）解：由（1）可知，，
，，
，
．
28．某校师生为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制如下统计表：
零花钱数额/元 5 10 15 20
学生人数/名 a 15 20 5
根据表格中信息，回答下列问题：
（1）求a的值．
（2）求着50名学生每人一周内零花钱数额的中位数．
（3）随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为多少？
【答案】解：（1）总人数50，所以a=50﹣15﹣5﹣20=10；
（2）共50人，中位数应该是排序后第25人和第26人的平均数，
故中位数为（10+15）÷2=12.5元；
（3）∵共50人，零花钱数额不大于10元的有25人，
∴随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为：=．
【解析】【分析】（1）用学生总数减去其他学生数即可得到本题答案；
（2）排序后找到位于中间位置或中间两数的平均数即可；
（3）用不大于10元的同学数除以总人数即可．
29．如图，已知，，试说明，请完成下列书写过程.
∵（已知）
∴_▲_（ ）
又∵
∴_▲_＝∠D（ ）
∴（ ）
【答案】解：∵AO∥CD（已知）
∴∠O=∠CFB（两直线平行，同位角相等）
又∵∠O=∠D
∴∠CFB＝∠D（等量代换）
∴OB∥DE（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：∠CFB；两直线平行同位角相等；∠CFB；等量代换；同位角相等两直线平行.
【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠O=∠CFB，结合∠O=∠D得∠CFB=∠D，再根据同位角相等，两直线平行，得OB∥DE.
30．如图，已知BC与DE相交于点O，EF∥BC，∠B=70°，∠E=70°，请说明AB∥DE．
【答案】解：∵EF∥BC，∠E=70°，
∴∠DOC=∠E=70°，
∵∠B=70°，
∴∠DOC=∠B，
AB∥DE．
【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠DOC=∠E=70°，求出∠DOC=∠B，根据平行线的判定得出即可．
31．如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，∠1=∠2，
（1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若∠A=70°，∠BCG=40°，求∠AGD的度数．
【答案】解：（1）DG与BC平行．理由如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠1=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BCD，
∴DG∥BC；
（2）∵DG∥BC，
∴∠AGD=∠BCG=40°．
【解析】【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同条直线的两直线平行由CD⊥AB，EF⊥AB得到CD∥EF，根据平行线的性质得∠1=∠BCD，由于∠1=∠2，则∠2=∠BCD，然后根据内错角相等，两直线平行可判断DG∥BC；
（2）根据平行线的性质由DG∥BC得到∠AGD=∠BCG=40°．
32．为参加学校举办的冬季运动会，九年级一班的嘉嘉、淇淇两名同学练习百米赛跑．操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道．
（1）若嘉嘉抽到2道，则淇淇抽到3道的概率是______；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道的概率．
【答案】（1）
（2）解：∵抽到的跑道等可能性，如下表所示：
淇淇
嘉嘉 1 2 3 4
1 　 （2，1） （2，1） （4，1）
2 （1，2） 　 （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） 　 （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） 　
，通过列表法可知：共有12种等可能性，符合题意可能性有6种，
∴设嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道为事件B，
．
【解析】【解答】（1）解：∵操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道，
又∵嘉嘉抽到2道，
∴还有3条可选择，
∴设淇淇抽到3道为事件A，
即；
【分析】本题考查简单概率计算，利用树状图或列表法求概率．
（1）根据题意可得：嘉嘉抽到2道，还有3条可选择，利用概率公式进行计算可求出答案；
（2）先通过列表法，找出所有等可能性的结果数，找出符合条件的结果数，利用概率公式进行计算可求出答案.
33．某校组织代表队参加市“与经典同行”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组(x表示成绩，单位：分).A组：；B组：；C组：；D组：；E组：，并绘制如下两幅不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中两名女生的概率.
【答案】（1）解：参加初赛的选手共有：8÷20%=40人，B组人数有：40×25%=10人，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：40.
（2）解：C组对应的圆心角是：，
E组人数占参赛选手的百分比是×100%=15%，
（3）解：记2名男生分别为男1，男2；记2名女生分别为女1，女2，列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 　 男1男2 男1女1 男1女2
男2 男1男2 　 男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2 　 女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1 　
共12种结果，其中包含1名男生1名女生的结果有2种，
即选到1名男生和1名女生的概率为．
【解析】【分析】（1）用A组人数除以其所占百分比，即得调查总人数，再用总人数乘以B组所占百分比即得B组人数，然后补图即可；
（2）利用360°乘以C组所占百分比即得扇形统计图中C组对应的圆心角度数；用E组人数除以总人数即得E组人数占参赛选手的百分比；
（3）利用树状图列举出共12种等可能结果，其中包含1名男生1名女生的结果有2种，然后利用概率公式计算即可.
34．已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：
（1）画直线OA；
（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；
（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F．
【答案】解：（1）作法：①连接OA，②作直线AO；
（2）作法：连接正方形AHGB的对角线BH交AG于点D；
（3）作法：①取线段AD的中点F，连接EF．
【解析】【分析】（1）根据两点确定一条直线作图；
（2）由正方形的对角线互相垂直来作图；
（3）根据平行线的性质：两直线平行，对应线段成比例，来作图即可．
35．如图，直线AB，CD相交于点O，已知、ON将成两个角，且．求的度数．
【答案】解：由，可设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】可设，，则，由对顶角相等可得，据此求出x值，即得∠AON的度数.
36．如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化．若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？

【答案】解：如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：
过点P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：
∵l1∥l2，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
如图③，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．
理由如下：
∵l1∥l2，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

【解析】【分析】当P点在C、D之间运动时，首先过点P作PE∥l1，由l1∥l2，可得PE∥l2∥l1，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD．
当点P在C、D两点的外侧运动时，由直线l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等与三角形外角的性质，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．
37．如图，，，，求的度数，请将解题过程填写完整.
解：∵（已知），
∴ ▲ （　　），
又∵（已知），
∴（ ），
∴（ ）
∴+ ▲ （ ），
∵（已知），
∴.
【答案】解：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴.
故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补.
【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等，得∠2=∠3，结合已知，利用等量代换得∠1=∠3，根据 内错角相等，两直线平行 ，得DG∥AB，由两直线平行，同旁内角互补，即可算出∠AGD的度数.
38．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有多少条鱼．若第三次打捞上10条，它们的质量分别为1.8，2，2.2，1.9，2.1，2.3，1.7，2，2.6，1，4千克，请估计这塘鱼的产量．
【答案】解：设鱼塘中的鱼共有x条，
则 = ，
解得：x=1200，
经检验x=1200是原分式方程的解，
则鱼塘中估计有1200条鱼；
∵ =2，
∴1200×2=2400，
答：估计这塘鱼的产量约为2400千克．
【解析】【分析】通过对30条鱼作上记号，有记号的鱼占鱼塘中鱼数量的比为一定值，它近似的可看成是200条鱼中5条有记号的鱼的比例，即可求出鱼的总条数；再通过随机打捞出10条鱼的平均质量可以估计出池塘中鱼的平均质量，求出池塘中鱼的总质量。
39．有一个转盘如图，转盘可以自由转动．
（1）让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率．
（2）让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率．
【答案】（1）解：如图，将黄色区域平分成两部分，
这样把一个圆平均分为三部分，红色区域只占一部分，
所以，指针落在红色区域的概率为
（2）解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况，
∴两次指针都落在黄色区域的概率为：
【解析】【分析】（1）利用转盘可得到所有等可能的结果数及指针落在红色区域的情况数，再利用概率公式进行计算.
（2）根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落在黄色区域的情况，再利用概率公式进行计算.
（1）解：如图，将黄色区域平分成两部分，
这样把一个圆平均分为三部分，红色区域只占一部分，
所以，指针落在红色区域的概率为．
（2）解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况，
∴两次指针都落在黄色区域的概率为：；
40．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为．
分段 成绩范围 频数 频率
A a m
B 20 b
C c
D 70分以下 10 n
（1）在统计表中，______，______，______；
（2）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）5，0.4，15
（2）解：∵A段共有5人，男生比女生少1人
∴设A段女生有x人，则男生有（x-1）人
∴x+x-1=5
∴x=3
∴x-1=2
即段有男生2人，女生3人，记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1
男1男2 男1女1 男1女2 男1女3
男2 男2男1
男2女1 男2女2 男2女3
女1 女1男1 女1男2
女1女2 女1女3
女2 女2男1 女2男2 女2女1
女2女3
女3 女3男1 女3男2 女3女1 女3女2
任选2人参加复赛共20种结果，并且它们出现的可能性相等，
其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有12种，
∴恰好选到1名男生和1名女生的概率P=．
【解析】【解答】
（1）解：∵D段所对应扇形圆心角为72°∴D段所对应的频率
∴总人数为：（人，
∴C段的频数：（人，
B段对应的频率：
∴A段的频数：（人，
故答案为：5，0.4，15；
【分析】
本题主要考查了频数和频率的关系，以及概率的求法，解题的关键是熟练掌握概率公式，即随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数。
（1）在扇形统计图中，整个圆的圆心角是360°，各部分扇形圆心角度数与360°的比值=该部分在总体中所占的频率，根据扇形统计图中D段对应扇形圆心角为，可得出D段的频率，根据D段频数为10和频率计算公式：频率=频数÷总数，可得出总人数为：（人，再根据C段频率为0.3和频数计算公式：频数=频率×总数，可得出：C段的频数：（人，根据B段频数为20，总人数为50和频率计算公式：频率=频数÷总数，可得出总人数为： B段对应的频率： ，最后根据总人数50人，B段频数为20，C段频数为15人，D段频数为10人，从而得出A段频数（人，即可得出答案；
（2）根据第（1）问可知：A段共有5人，由男生比女生少1人，可设女生有x人，则男生有x-1人，根距男生比女生少1人可列出关于x的一元一次方程：x+x-1=5，解得x=3，说明女生有3人，男生有2人根据男女生人数可列表格可知：任选2人参加复赛共20种结果，并且它们出现的可能性相等，其中其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有12种，然后根据概率计算公式，代入数据即可得出答案．
41．一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下：
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“車”字朝上的频数 14 18 38 47 52 78 88
相应的频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.56
（1）请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中剩余部分．
（2）如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是多少？
（3）在（2）的基础上，进一步估计：将该“車”字棋子，按照实验要求连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为多少？
【答案】解：（1）所填数字为：120×0.55=66，88÷160=0.55；
折线图：
（2）如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是0.5．
（3）根据（2）的结果估计连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为0.5．
【解析】【分析】（1）根据图中信息，用频数除以实验次数，得到频率，由于试验次数较多，可以用频率估计概率；描点连线，可得折线图．
（2）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，即可估计概率的大小．
（3）列举出抛掷两次可能会出现的情况，用概率公式求解即可．
42．某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 200 500 1000 1500 2000
优等品频数m 188 471 946 1426 1898
优等品频率 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
（1）画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图；
（2）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
（3）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
【答案】解：（1）如图；
（2）这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（3）①∵袋中一共有球5+13+22=40个，其中有5个黄球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：=；
②设从袋中取出了x个黑球，由题意得
≥，解得x≥8，
故至少取出了9个黑球．
【解析】【分析】（1）根据统计表中的数据，先描出各点，然后折线连结即可；
（2）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（3）①用黄球的个数除以球的总个数即可；
②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于 ，列出不等式，解不等式即可．
43．某校举行全校“红色文化词歌朗诵”比赛，九（1）班先班级内初赛，现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校决赛，如果采取随机抽取的方式确定人选．
（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是　 　；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
【答案】（1）
（2）解：由题意得：
A B C D
A 　 （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） 　 （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） 　 （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） 　
∵总共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的结果有8种，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率＝．
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为．
【解析】【解答】解：（1） 根据题意，共有4位学生，如果选派一位学生代表参赛，根据概率公式可知，选派到的代表是A的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）找到总数和符合情况数，根据概率公式进行计算即可；
（2）通过列表法或树状图法列举情况，然后根据概率公式进行计算即可
44．如图，在折线中，已知，延长、交于点，猜想与的关系，并说明理由．
【答案】解：．理由如下：
延长交于点，
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以．
．
【解析】【分析】根据平行线的判定由
可得
，再利用平行线的性质可得
，再结合
可得
，所以
，再利用等量代换可得
。
45．若x，y，z是整数，且满足=2，求x，y，z的值．
【答案】解：∵=2
∴=2 ，
∴=2，
∴=2，
∴2y+4z-3x·32x-2y-z·5y-z=2，
∴，
解得：x=3，y=2，z=2.
【解析】【分析】将等式左边变形为底数为2或3或5的幂的形式，利用同底数幂相等时，幂的指数也相等，据此解答即可.
46．观察并验证下列等式：
，
，
，
（1）续写等式：　 　；（写出最后结果）
（2）我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：　 　；（结果用因式乘积表示）
（3）利用（2）中得到的结论计算：
；
【答案】（1）225
（2）
（3）解：原式
．
【解析】【解答】解：（1）原式，
故答案为：225；
（2）原式，
故答案为：；
【分析】（1）根据规律可得出：（1+2+3+4+5）2=152=225；
（2）根据规律可得出 ： （1+2+3+...+n）2==；
(3)首先把底数写成3的倍数形式： =（3×1）3+（3×2）3+（3×3）3+...+（3×20）3，进而得出=27×，进而根据（2）的结论，把n=20代入进去即可。
（1）解：原式，
故答案为：225；
（2）解：原式，
故答案为：；
（3）解：原式
．
47．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点P为BC上一点(点P与B，C不重合)，设∠CDP＝∠α，∠CPD＝∠β，你能不能说明，不论点P在BC上怎样运动，总有∠α＋∠β＝∠B.
【答案】解：过点P作PE∥CD交AD于E，则∠DPE＝∠α.
∵AB∥CD，∴PE∥AB.
∴∠CPE＝∠B，即∠DPE＋∠β＝∠α＋∠β＝∠B.故不论点P在BC上怎样运动，总有∠α＋∠β＝∠B
【解析】【分析】 过点P作PE∥CD交AD于E，根据平行线性质得∠DPE＝∠α，由平行的传递性得PE∥AB，根据平行线性质得∠CPE＝∠B，从而即可得证.
48．学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
（1）选取1张A型卡片，6张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是______（请用含a，b的代数式表示）；
（2）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为______；
（3）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．
【答案】解：（1）9，；
（2）；
（3），
理由：设长方形MNPQ的长为x，
，
，
，
∵ S为定值，即S将不随x的变化而变化，
∴，
∴时，S为定值．
【解析】【解答】解：（1）A型卡片的面积为a2，B型卡片的面积为b2，C型卡片的面积为ab，∵ a2+6ab+9b2=（a+3b)2，
∴ 应取9张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是a+3b，
（2）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为（a+b）的正方形，
D型卡片的面积为（a+b）2-4ab，
由图可得D型卡片是一个边长为（a-b）的正方形，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab；
故答案为：（1）（a-b）2=（a+b）2-4ab；
（2）故答案为：9；a+3b；
【分析】（1）根据卡片的面积利用完全平方公式即可求得；
（2）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积，即可求得；
（3）设长方形的长为x，利用x、a、b表示出S1和S2，再根据，且S为定值，即可求得．
49．某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
（1）样本容量是　 　，并补全直方图　 　；
（2）该年级共有学生800人，请估计该年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好都是男生的概率.
【答案】（1）50；
（2）解：F组发言的人数所占的百分比为：10%，
所以，估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为：800×（8%+10%）=144（人）
（3）解：∵A组发言的学生为：50×6%=3人，有1位女生，
∴A组发言的有2位男生，
∵E组发言的学生：4人，
∴有2位女生，2位男生．
∴由题意可画树状图为：
∴共有12种情况，所抽的两位学生恰都是男生的情况有4种，
∴所抽的两位学生恰好都是男生的概率为 。
【解析】【解答】（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E组发言人数占8%，
∴B组发言的人数占20%，
由直方图可知B组人数为10人，
所以，被抽查的学生人数为：10÷20%=50人，
∴样本容量为50人．
F组人数为：50×（1-6%-20%-30%-26%-8%）
=50×（1-90%）
=50×10%，
=5（人），
C组人数为：50×30%=15（人），
E组人数为：50×8%=4人
补全的直方图如图；
【分析】（1）根据B的人数以及占比，可得出样本容量，根据样本容量以及占比，得出C、F的人数，补全直方图。
（2）根据样本的占比，估计出全年级的发言次数不少于12次的人数。
（3）画出树状图，表示出所有的情况，找到两位学生都是男生的情况，从而得出概率。
50．证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数，并且等于这两个数的和的两倍．
【答案】证明：设较小的奇数为2n-1，则较大的奇数为2n+1，
∵（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数；
∵2n+1+2n-1=4n，
∴（2n+1）2-（2n-1）2=2【（2n+1）+（2n-1）】，
∴两个连续奇数的平方差等于这两个数的和的两倍.
【解析】【分析】设较小的奇数为2n-1，则较大的奇数为2n+1，分别求出这两个数的平方差和这两个数的和，即可得证.
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