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北师大版2025—2026学年八年级下册期中真题汇编培优卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为（　　）
A．25cm B．15cm或25cm C．20cm D．20cm或25cm
3．如图，已知等腰三角形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．若，则下列不等式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知点P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O=40°，若△OAP是钝角三角形，则∠A的取值范围是（　　）
A．0°＜∠A＜50°
B．0°＜∠A＜180°
C．0°＜∠A＜40°或90°＜∠A＜140°
D．0°＜∠A＜50°或90°＜∠A＜140°
6．下列命题中，是假命题的是（　　）．
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．对顶角相等
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
7．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　）
A．两个锐角都大于45° B．有一个锐角小于45°
C．两个锐角都小于45° D．有一个锐角大于45°
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列结论①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF.正确的是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
10．在下图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点． 已知 是两格点， 如果 也是图中的格点， 且使得 为等腰三角形， 则点 的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，交于点，，则　 　.
12．一副三角板按如图所示放置，点A在 DE上，点F在BC上，若∠EAB=35°，则∠DFC=　 　.
13．如图，在平面直角坐标系中，若将绕点O逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是 　 　．
14．不等式的最小整数解是　 　．
15．关于x的不等式组无解，则a的取值范围是　 　．
16．若一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，则称这个圆是这条线段的“关联圆”．如图，已知，，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段．以射线上的一动点为圆心，半径为2作，若是的“关联圆”，则的取值范围为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）解不等式：，并把解集表示在数轴上；
（2）解不等式组： .
18． 食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐经调查发现，每天开餐时，约有人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列食堂目前开放了个售餐窗口规定每人购餐份，每分钟每个窗口能出售午餐份，前分钟每分钟有人进入食堂排队购餐每一天食堂排队等候购餐的人数人与开餐时间分钟的关系如图所示，
（1）求的值．
（2）求开餐到第分钟时食堂排队购餐等候的人数．
（3）若要在开始售餐分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
19．如图，在△中，，是角平分线，于点，点在上，．
（1）求证：
（2）若，，写出的长．
20．已知三个实数a， b， c满足a-2b-c=0， a+2b-c<0。
（1）证明： b<0。
（2）若a-4b+c=3，且b>-3，求a+c的取值范围。
21． 2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行.某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售，已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个.
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量；
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个.
22．点为平面直角坐标系的原点，点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为．
（1）当点的横坐标是4时，求的面积；
（2）用含的式子表示，并写出的取值范围；
（3）求周长的最小值．
23．直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．
（1）在图1中，若∠BCE=40°，求∠ACF的度数；
（2）在图1中，若∠BCE=α，直接写出∠ACF的度数（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，探究：写出∠ACF与∠BCE的度数之间的关系，并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师大版2025—2026学年八年级下册期中真题汇编培优卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：四个选项中，AD选项对应的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B选项对应的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形；C选项对应的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形。
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。本题结合轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行图形分析即可得出答案。
2．等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为（　　）
A．25cm B．15cm或25cm C．20cm D．20cm或25cm
【答案】A
【解析】【解答】解：当腰为5时，5+5＝10，所以不能构成三角形；
当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5＝25．
故答案为：A．
【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质计算求解即可。
3．如图，已知等腰三角形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵，，
∴∠ABC=∠C=，
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠C=70°，
∴∠CBE=180°-∠C-∠BEC=40°，
∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=70°-40°=30°，
故答案为：C。
【分析】利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
4．若，则下列不等式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
B. ∵，∴ ，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵，∴，故该选项不正确，符合题意；
D. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
5．如图，已知点P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O=40°，若△OAP是钝角三角形，则∠A的取值范围是（　　）
A．0°＜∠A＜50°
B．0°＜∠A＜180°
C．0°＜∠A＜40°或90°＜∠A＜140°
D．0°＜∠A＜50°或90°＜∠A＜140°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠O=40°，
若∠A为钝角， 则90°<∠A < 180°-40°，
即90°<∠A<140°，
若∠A为锐角， 则0°<∠APN <90°，
∵∠APN =∠O+∠A，
∴∠A+40°<90°，
∴0°<∠A <50°，
综上， ∠A的取值范围为0°<∠A<50°或90°<∠A<140°，
故答案为：D .
【分析】由∠O=30°可分两种情况： 若∠A为钝角， 则90°<∠A<180°-40°， 可直接求解∠A的范围； 若∠A为锐角， 则0°<∠APN < 90°， 再根据三角形外角的性质可求解.
6．下列命题中，是假命题的是（　　）．
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．对顶角相等
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】D
【解析】【解答】解：A.根据两直线平行的判定，A选项是真命题，不符合题意，A错误；
B.根据两直线平行的性质，B选项是真命题，不符合题意，B错误；
C.根据对顶角的性质，C选项是真命题，不符合题意，C错误；
D.根据三角形外角的性质“外角大于不相邻的任何一个内角”可知，D选项是假命题，符合题意，D正确．
故选：D．
【分析】本题考查命题的真假.根据平行线的判定定理，据此可判断A选项；根据平行线的性质： 两直线平行，同旁内角互补，据此可判断B选项；根据对顶角的性质： 对顶角相等，据此可判断C选项；根据三角形外角的性质“外角大于不相邻的任何一个内角”，据此可判断D选项.
7．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　）
A．两个锐角都大于45° B．有一个锐角小于45°
C．两个锐角都小于45° D．有一个锐角大于45°
【答案】A
【解析】【解答】解：用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中：两个锐角都大于45°.
故答案为：A.
【分析】用反证法证明时，应先假设结论不成立，据此判断.
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，
解不等式，得：；
解不等式，得：；
即不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故答案为：A
【分析】先分别解不等式①和②，进而得到不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可求解。
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列结论①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF.正确的是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：∵BE是中线，
∴ ，
∴S△ABE＝S△BCE(等底同高的两个三角形面积相等)，故①正确；
∵CF是角平分线，
∴ ，
∵AD是高，
∴ ，
∵ ，
，
，
，故②正确；
根据已知条件不能推出 ，故③错误；
∵AD是高，
∵CF是角平分线，
即 ，故④正确.
故答案为：C.
【分析】由中线的概念可得AE=CE，根据等底同高的两个三角形面积相等可判断①；由角平分线的概念可得∠ACF=∠BCF，由同角的余角相等可得∠ABC=∠CAD，由外角的性质可得∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，据此判断②；由同角的余角相等可得∠ACB=∠BAD，由角平分线的概念可得∠ACB=2∠ACF，推出∠BAD=2∠ACF，据此判断④.
10．在下图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点． 已知 是两格点， 如果 也是图中的格点， 且使得 为等腰三角形， 则点 的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：①作线段AB的垂直平分线交格点于P1，P2，P3，P4，则AP=BP，△ABP为等腰三角形，故这样的格点有4个；
如图：
②以点B为圆心，AB为半径画圆，交网格于格点P5，P6，则BA=BP，△ABP为等腰三角形，故这样的格点有2个；
如图：
③同样，以点A为圆心，AB为半径画圆，交网格于格点P7，P8，则AB=AP，△ABP为等腰三角形，故这样的格点也有2个；
如图：
故一共有8个.
故答案为：D.
【分析】分AP=BP，BA=BP，AB=AP，三种情况，分别寻找点P的位置和个数，即可得到结论.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，交于点，，则　 　.
【答案】20
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
故答案为：20．
【分析】根据直角三角形的性质先解得，，再根据三角形内角和解得，再根据各边的关系直接计算即可.
12．一副三角板按如图所示放置，点A在 DE上，点F在BC上，若∠EAB=35°，则∠DFC=　 　.
【答案】100°
【解析】【解答】解：记AC和DF相交于点G，如图：
由题意得：∠E=∠B=90°，∠D=∠EFD=45°，∠BAC=60°，∠C=30°，
∵∠EAC是△ADG的外角，∠EAB=35°，
∴∠EAB+∠BAC=∠EAC=∠D+∠DGA.
∴35°+60°=∠DGA+45°，
∴∠DGA=50°.
∴∠FGC=50°，
∴∠GFC=180°－50°－30°=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据三角形的外角性质求出∠DGA的度数，进而可得∠FGC的度数，再利用三角形的内角和定理即可得到结论.
13．如图，在平面直角坐标系中，若将绕点O逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵点B坐标为，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，由旋转可知，，由同角的余角相等得，从而用AAS判断出，由全等三角形的对应边相等得，即可得出答案．
14．不等式的最小整数解是　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵2x-1>3，
∴ 2x>4，
∴ x>2，
∴ 最小整数解为3，
故答案为：3
【分析】先解不等式，然后根据最小整数解即可求得答案.
15．关于x的不等式组无解，则a的取值范围是　 　．
【答案】a≥1
【解析】【解答】解：，解得：
∵此方程组无解：
∴a-3≤2a-4，解得： a≥1
故答案为： a≥1
【分析】先求出方程组的解，再根据无解的性质即可求出答案.
16．若一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，则称这个圆是这条线段的“关联圆”．如图，已知，，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段．以射线上的一动点为圆心，半径为2作，若是的“关联圆”，则的取值范围为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：以为原点，为轴建立平面直角坐标系，
依题意，，，
取的中点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段．
∴以点为旋转中心，将点逆时针旋转，得到线段点，则，
∵，
∴，
∴，
∵，设，
依题意，时，在上，且点在点的左侧时，取得最小值，
∴，
解得：或（舍去）
∴
当时，在上，且点在点的右侧时，取得最小值，
∴，
解得：或（舍去）
∴
∴
故答案为：．
【分析】建立平面直角坐标系，即可得到点的坐标，然后分和两种情况根据勾股定理列方程解题即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）解不等式：，并把解集表示在数轴上；
（2）解不等式组： .
【答案】（1）解：

（2）解：解不等式①得：；
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：
【解析】【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
18． 食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐经调查发现，每天开餐时，约有人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列食堂目前开放了个售餐窗口规定每人购餐份，每分钟每个窗口能出售午餐份，前分钟每分钟有人进入食堂排队购餐每一天食堂排队等候购餐的人数人与开餐时间分钟的关系如图所示，
（1）求的值．
（2）求开餐到第分钟时食堂排队购餐等候的人数．
（3）若要在开始售餐分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
【答案】（1）解：根据“等候购餐的人数开餐时排队人数前分钟新增排队人数购餐后离开的人数”，得，
解得，
的值是．
（2）解：当时，设排队等候购餐的人数与开餐时间的关系为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
．
当时，，
开餐到第分钟时食堂排队购餐等候人；
（3）解：设同时开放个窗口，则，解得，
所以至少需同时开放个售票窗口．
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，计算求解即可；
（2）设线段的解析式为，将坐标和代入，利用待定系数法求得解析式，然后计算当时的函数值即可；
（3）设同时开放个窗口，根据题意列出不等式，计算求解即可．
19．如图，在△中，，是角平分线，于点，点在上，．
（1）求证：
（2）若，，写出的长．
【答案】（1）证明： ∵AD平分∠BAC， DE⊥AB， ∠C =90°，
∴CD= DE， ∠BED =∠C=90°.
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，
∴CF=BE
（2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴ Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC= AE.
∵AC=6， AB=10，
∴BE = AB-AE = AB-AC =4.
∴AF = AC-CF = AC-BE =2
【解析】【分析】(1)利用角平分线的性质可得DC =DE，再利用HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB， 即可证明结论；
(2)利用HL证明Rt△ACD≌Rt△AED， 可得AC= AE， 根据BE=AB-AE求出BE的长， 进而可求出AF的长.
20．已知三个实数a， b， c满足a-2b-c=0， a+2b-c<0。
（1）证明： b<0。
（2）若a-4b+c=3，且b>-3，求a+c的取值范围。
【答案】（1）证明 ：∵，
∴，
∵，
∴，
即4b<0，
∴.
（2）解：∵，b＞－3
∴－3＜，
∴－12＜4，
∴-9＜4b+3<3，
∵a－4b＋c＝3
∴a＋c＝3＋4b
∴－9＜a＋c＜3.
【解析】【分析】(1)根据“ a-2b-c=0， a+2b-c<0 ”得关于b的不等式，求解不等式即可得b的取值.
(2)根据题意，结合（1）的结论推导出b的取值，再代入 a-4b+c=3 即可得 a+c的取值范围 .
21． 2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行.某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售，已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个.
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量；
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个.
【答案】（1）解：设购进“冰墽墩”摆件个，“冰墩墩”挂件个
依题意，得
解得
答：购进“冰墩墩”摆件80个，“冰墩墩”挂件100个
（2）解：设购进“冰墩墩”挂件个，则购进“冰墩墩”摆件个
依题意，得
解得
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个
【解析】【分析】 （1）设购进“冰墩墩”摆件x个，“冰墩墩”挂件y个，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合购进“冰墩墩”摆件和挂件共180个”和“共花费了11400元”分别列出方程，联立组成方程，解这个方程组即可得出结果；
（2）设购进“冰墩墩”挂件m个，则购进“冰墩墩”摆件（180-m）个，利用“总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量）”，可列出一元一次不等式，解这个不等式，再取最大值即可．
22．点为平面直角坐标系的原点，点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为．
（1）当点的横坐标是4时，求的面积；
（2）用含的式子表示，并写出的取值范围；
（3）求周长的最小值．
【答案】（1）解：x+y=6，当X=4时y=6，故P(4，2)，如图1，
∴的面积为4；
（2）解：由题意知，，∵点在第一象限，
∴，
解得，，
即，；
（3）解：作的图象，分别交轴于点，如图2，作关于的对称点于，连接交于点，连接，. OA是定值4，当、P、A三点共线OP+AP=O，三角形周长最小。
当时，，即；
当时，，即；
∵，
∴，
由轴对称的性质可知，垂直平分，
∴ ，
∴，
∴，
∵周长为
当三点共线时 OP+PA=
∴周长最小为
∴周长的最小值为．
【解析】【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．（1）先求出P(4，2)，如图1， 根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，根据点在第一象限，求出x的取值范围，再根据三角形面积公式求出含有x的式子表示出S；
（3）作的图象，分别交轴于点，并求出C、D的坐标，如图2，作关于的对称点于，连接交于点，连接，，由于OC=OD，可知∠CDO=45°，由轴对称的性质和三角形内角和性质可求得， ，，可求得，用勾股定理求出，由周长为，可知当三点共线时，周长最小为，计算求解即可．
23．直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．
（1）在图1中，若∠BCE=40°，求∠ACF的度数；
（2）在图1中，若∠BCE=α，直接写出∠ACF的度数（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，探究：写出∠ACF与∠BCE的度数之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图1，∵∠ACB=90°，∠BCE=40°，
∴∠ACD=180°﹣90°﹣40°=50°，∠BCD=180°﹣40°=140°，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF= ∠BCD=70°，
∴∠ACF=∠DCF﹣∠ACD=70°﹣50°=20°；
（2）解：如图1，
∵∠ACB=90°，∠BCE=α°，
∴∠ACD=180°﹣90°﹣α°=90°﹣α，∠BCD=180°﹣α，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF= ∠BCD=90°﹣ α，
∴∠ACF=90°﹣ α﹣90°+α= α；
（3）解：∠ACF= ∠BCE．理由如下：
如图2，
∵点C在DE上，
∴∠BCD=180°﹣∠BCE．
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF= ∠BCD= （180°﹣∠BCE）=90°- ∠BCE．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠ACB﹣∠BCF=90°﹣（90°- ∠BCE）= ∠BCE．
即：∠ACF= ∠BCE．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质，以及直角三角形的直角，计算得出∠ACF的度数。（2）同第一问的原理，用α表示出∠ACF的度数。（3）利用角平分线的性质，以及直角三角形的直角，计算出∠ACF与∠BCE的关系。
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